2023-2024学年七年级数学下册 专题02 角度计算的经典八大模型（原卷版）

专题02角度计算的经典八大模型【题型1双垂直模型】双垂直模型【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【典例1】AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C＝50°，求∠BHD．【变式1-1】如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（）A．90° B．120° C．150° D．160°【变式1-2】在△ABC中，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE和∠BHC的度数．【题型2A字模型】A字模型图1【条件】图1中三种情况【结论】∠1=∠2图2【结论】∠1+∠2=∠3+∠4【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°∴∠1+∠2=∠3+∠4图3【结论】∠1+∠2=180°+∠A【证明】∠1+∠2=（∠AED+∠A）+（∠ADE+∠A）=180°+∠A【典例2】探索归纳：（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝．（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝．（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是．（4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．【变式2-1】如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．90° B．135° C．270° D．315°【变式2-2】如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，∠1+∠2＝235°，则∠A＝度．【变式2-3】在如图所示的四边形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则∠1+∠2＝度．【变式2-4】如图，四边形ABOC中，∠BAC与∠BOC的角平分线相交于点P，若∠B＝16°，∠C＝42°，则∠P＝°．：8字模型【条件】AE、BD相交于点C【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.【典例3】图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．【变式3-1】（2023秋•石嘴山校级期中）如图1的图形我们把它称为“8字形”．（1）如图1，求证：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；（3）如图3，直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，请直接写出∠P与∠B、∠D的数量关系是．【变式3-2】（2023春•汝阳县期末）如图，∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P．（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度数；（2）直接写出∠D，∠C，∠P的数量关系；（3）若∠CAD与∠CBD的大小发生变化，（2）的结论是否仍然成立？若成立，说明理由，若不成立，写出成立的式子．【变式3-3】（2023秋•太平区期末）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，AD，BC相交于点O，连接AB，CD得到“8”字图形ABDC．（1）如图1，试说明∠A+∠B＝∠C+∠D的理由；（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索∠E与∠A、∠C间的关系；（3）如图3，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ＝∠ABC，∠EDP＝∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请探索∠P与∠A、∠C的关系．：飞镖模型图1图2图3【条件】四边形ABPC如图1所示【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.【典例4】探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°．②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．【变式4-1】一个零件的形状如图，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，检验工人量得∠CDB＝148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．【变式4-2】附加题：如图，试说明：①∠BDC＞∠A；②∠BDC＝∠B+∠C+∠A．如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？【变式4-3】如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D＝40°，则∠C为（）A．20° B．15° C．30° D．25°模型5风筝模型【典例5】（2023秋•兰山区校级月考）现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠，折成如图的形状．（1）若∠1＝25°、∠2＝35°，求∠A的度数；（2）猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．【变式5-1】（2022秋•萍乡期末）如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝180°﹣α﹣β B．γ＝α+2β C．γ＝2α+β D．γ＝α+β【变式5-2】（2023秋•合江县期中）如图，在△ABC中，∠1＝120°，∠2＝50°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠C的度数是（）A．40° B．35° C．50° D．45°【变式5-3】（2023•青岛模拟）如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（）A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°【变式5-4】（2022秋•邯山区校级期末）如图，将△ABC一角折叠，若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝（）A．40° B．100° C．140° D．160°模型6：双内角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.【结论】∠P=90°+∠A.【典例6】【问题】如图①，在△ABC中，∠A＝74°，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．求∠D的度数，对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形内角和180°）．∴∠ABC+∠ACB＝（等式性质）．∵∠A＝74°（已知），∴∠ABC+∠ACB＝（等量代换）．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠DBC＝∠ABC（角平分线的定义）．同理，∠DCB＝；∴（∠ABC+∠ACB）＝（等式性质）．∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝（等式性质）．【拓展】如图②，在△ABC中，∠A＝β，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．则∠D＝（）．【应用】如图③，在△ABC中，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB．若∠E＝146°，则∠A＝．【变式6-1】（2023秋•天津校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2，依次类推，∠ABD4与∠ACD4的平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A．60° B．56° C．94° D．68°【变式6-2】如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．（1）当BE＝5，CF＝3，则EF＝；（2）当BE＞CF时，若CO是∠ACB的外角平分线，如图2，它仍然和∠ABC的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，试判断EF，BE，CF之间的关系，并说明理由．【变式6-3】（1）如图（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°求∠BOC的度数．（2）如图（2），△A′B′C′外角的平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数．（3）由（1）、（2）可以发现∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？设∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的数量关系？这个结论你是怎样得到的？模型7：双外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.【结论】∠P=90°-∠A.【典例7】（2023秋•咸安区校级期中）如图1，点P是△ABC两外角平分线的交点．（1）若∠A＝50°，则∠P＝°；（2）探究∠P与∠A的数量关系并说明理由；（3）如图2，点P是四边形ABCD相邻两外角平分线的交点，请直接写出∠P与∠A，∠D的数量关系．【变式7】（2022春•淅川县期末）[规律探索]探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律：在三角形中，由三角形的内角平分线外角平分线所形成的角存在一定的规律．规律1：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90°加上第三个内角度数的一半；规律2：三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．[问题呈现]如图①，点P是△ABC的内角平分线BP与CP的交点，点M是△ABC的外角平分线BM与CM的交点，则∠P＝90°+∠A，∠M＝90°﹣∠A．说明∠P＝90°+∠A如下：∵BP、CP是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ABC．∴∠A+2（∠1+∠2）＝180°．…………①∴∠1+∠2＝90°﹣∠A．∴∠P＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°+∠A．请你仔细阅读理解上面的说理过程，完成下列问题：（1）上述说理过程中步骤①的依据是．（2）结合图①，写出说明∠M＝90°﹣∠A的说理过程．[拓展延伸]如图②，点Q是△ABC的内角平分线BQ与△ABC的外角（∠ACD）平分线CQ的交点．若∠A＝50°，则∠Q的大小为度．模型8：内外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACE的角平分线【结论】∠P=∠A【典例8】（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．【变式8-1】（2023秋•红古区期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°【变式8-2】（2023•长阳县一模）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交C