《第一章-预备知识》章末复习

高中数学精选资源3/3《第一章集合》章末复习知识网络建构答案=1\*GB3①确定性②互异性③无序性④列举法⑤描述法⑥真子集⑦子集③相等关系⑨，且}⑩，或eq\o\ac(○,11)eq\o\ac(○,12)必要eq\o\ac(○,13)充分eq\o\ac(○,14)充要eq\o\ac(○,15)“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”eq\o\ac(○,16)，x具有性质eq\o\ac(○,17)，x不具有性质eq\o\ac(○,18)“有些”“有个”“存在”eq\o\ac(○,19)，x具有性质eq\o\ac(○,20)，x不具有性质eq\o\ac(○,21)如一元一次方程eq\o\ac(○,22)二元一次方程eq\o\ac(○,23)一元二次方程eq\o\ac(○,24)一元一次不等式eq\o\ac(○,25)一元二次不等式eq\o\ac(○,26)一元一次函数eq\o\ac(○,27)一元二次函数eq\o\ac(○,28)，当且仅当时，等号成立知识要点整合一、集合的概念与表示1.集合的定义：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合.集合中的每个对象叫作这个集合的元素.元素的主要特征：确定性、互异性、无序性.2.常用集合的表示：3.集合常用的表示方法：自然语言、列举法、描述法.自然语言的特点是富有表现力，是最基本的语言形式，但是具有多义性，有时难于表达，适用范围非常广泛；列举法的特点是直观、明了，但有局限性，适用于元素个数较少的有限集；描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于所含有元素较多的有限集或无限集.4.集合的分类：有限集、无限集、空集例1若集合中只有一个元素，则实数a的值是（）A.0B.0或1C.1D.不能确定解析集合A中只有一个元素，有两种情况：当时，由，解得，此时，满足题意；当时，，此时，满足题意.故集合A中只有一个元素时，a的值是0或1.答案B例2设为实数，，.记集合，.若分别为集合S,T的元素个数，则下列结论不可能正确的是（）A.且B.且C.且D.且解析当时，，.若，则；若，则；若，则.当时，，.若|，则；若，则|，若，则.故只有D不可能正确.答案D二、集合间的基本关系子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若，则，那么称集合A是集合B的子集.任何一个集合都是它本身的子集空集是任何集合的子集.集合相等：对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等.真子集：对于两个集合A与B，如果，且，那么称集合A是集合B的真子集.空集：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.端点值：已知两集合间的关系求参数的取值范围时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的条件，常用数轴解决此类问题.例3（1）集合，，则下列关系正确的是（）A.B.C.D.（2）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.解析（1），即A中的元素；而，即B中的元素，.（2）在数轴上标出A,B两集合如图所示，结合数轴知，若，则.答案（1）B（2）C例4若集合，集合，则A与B间的关系是（）A.B.C.D.解析因为整数包括奇数与偶数，所以或.当时，；当时，，故.答案D例5已知全集，.（1）求；（2）若，求实数m的取值范围.解析（1）求出集合A，根据全集为R，即可求出A的补集；（2）根据，可得，解出m的取值范围即可.答案（1）因为，又全集，所以.（2）因为，且，所以，所以，即实数m的取值范围是.三、集合的基本运算集合的运算主要包括交集、并集和补集运算，这也是高考对集合部分的主要考查点有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得答案；有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算；还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.例6（1）已知集合，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.（2）已知集合，，则中的元素个数为（）A.0B.1C.2D.3（3）已知集合，，且，则a的取值范围是（）A.B.C.D.解析（1）因为，，所以，.（2）联立解得或因此中的元素个数为2.（3），.，由数轴知（如图所示）.答案（1）A（2）C（3）A例7（1）已知集合,，则的子集的个数为（）A.0B.1C.2D.3（2）设集合，，则_____.解析（1）由题意得，集合的子集的个数为2.（2）集合，，又，.答案（1）C（2）四、必要条件与充分条件的判定1.定义法：直接判断“若，则q”“若q，则p”的真假.2.等价法：对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法进行判断.3.利用集合间的包含关系判断：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若，则A是B的充要条件.例8（1）设，则“或”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（2）设，则“且”是“”的（）A.充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（3）已知命题p：，q:，若p是q的充要条件，则_____.解析（1）由或，此时得不出，但当时，不等式或恒成立.（2）因为且.易证，所以充分性满足，反之，不成立，如，满足，但不满足且，所以且是的充分不必要条件.（3）由题意得p：，q:，因为p是q的充要条件，所以，即.答案（1）B（2）A（3）例9已知，，其中均为实数.证明：对于任意的，均有成立的充要条件是.解析要从充分性和必要性两个方面进行证明，充分性是由，证明对于任意的，均有；必要性是由对于任意的，均有成立，证明.答案因为，所以函数的图象的对称轴方程为，且，当时，.先证必要性：对于任意的，均有，即，所以.再证充分性：因为，当时，y的最大值为.所以对于任意，，即.即充分性成立.五、全称量词命题与存在量词命题1.在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.2.全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.3.“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系：（1）一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.（2）与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.例10（1）下列命题不是全称量词命题的是（）A.任何一个实数乘以零都等于零B.自然数都是正整数C.高一（1）班绝大多数同学是团员D.每一个实数都有大小（2）命题p:“”，则（）A.p是假命题；命题p的否定是：B.p是假命题；命题p的否定是：C.p是真命题；命题p的否定是：D.p是真命题；命题p的否定是：解析（1）A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一（1）班存在部分同学是团员，故C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题.（2）由于不成立，故“”为假命题.根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“”的否定是“”.答案（1）C（2）B例11（1）下列命题不是存在量词命题的是（）A.有些实数没有平方根B.能被5整除的数也能被2整除C．在实数范围内，有些一元二次方程无解D.有一个m使与异号（2）命题“能被7整除的数是奇数”的否定是_____.解析（1）选项中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项B中不含存在量词，故不是存在量词命题.（2）原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是“存在一个能被7整除的数不是奇数”.答案（1）B（2）存在一个能被7整除的数不是奇数六、不等式的性质及应用1.利用不等式的性质判断命题的真假，从条件入手利用性质看能否推出结论，一定要注意不等式性质成立的条件；对于假命题，只需举出一个反例即可.2.利用不等式的性质来确定某个代数式的取值范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向不等式的两边才可以相加”，这种转化不是等价变形，当在解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心、谨慎，应先建立待求范围与已知范围的等量关系，最后通过不等关系的性质运算求得待求式子的取值范围.例12如果满足且，则下列选项中不一定成立的是（）A.B.C.D.解析，，.对于A：，A正确.对于B：，B正确.对于C:，C错，即C不一定成立.对于D:，D正确.答案C例13（1）若且，则下列不等式中正确的是（）A.B.C.D.（2）若，，则的取值范围为_____.解析（1）由及知.又，.（2）.又，.答案（1）A（2）七、基本不等式及应用1.利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正”“二定”“三相等”“一正”，即所求最值的各项必须都是正值；“二定”，即含变量的各项的和或积必须是常数；“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能取得最大值或最小值利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知条件和欲求式子，运用“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件，具体可归纳为：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般需用其他方法多次使用基本不等式求最值时，要注意等号能否成立.2.利用基本不等式证明不等式应注意，累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式的证明问题可重新组合，使题干转化成基本不等式的形式，再使用有附加条件的不等式的证明，应注意观察已知条件和所证不等式之间的联系.例14已知函数，当时，y取得最小值b，则_____.解析，因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，此时，所以.答案3例15某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同的速度v行驶，单位：m/s）、平均车长l（单位：m）的值有关，其公式为.（1）如果限定车型，，则最大车流量为_____辆/小时;（2）如果限定车型，，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加_____辆/小时.解析（1），则.由基本不等式得（当且仅当时，等号成立），得（辆/小时）.（2），则·由基本不等式（当且仅当时，取号），得（辆/小时），比（1）中的最大车流量增加（辆/小时）.答案（1）1900（2）100八、一元二次不等式及其应用只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式.一元二次不等式与其对应的函数、方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式中二次项系数的符号和对应一元二次方程的根在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转化；要注意一元二次不等式的解集与二次项系数的联系解有关不等式的应用问题，关键是弄清题目中错综复杂的关系，将题目中的不等关系用不等式表示出来，进而转化为数学问题.例16解关于x的不等式.解析解含参数的一元二次不等式，需按参数分类讨论.答案方程的解为,函数的图象开口向上，则当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为.例17已知甲厂以x千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.解析（1）根据题意构建一元二次不等式模型；（2）构建利润关于x的函数，求其最大值.答案（1）根据题意，得或.又，.（2）设利润为y元，则,故时，.即甲厂应该选取6千克/小时的生产速率，最大利润是457500元.核心素养梳理一、数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养主要包括：理解运算对象的基础上，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等数学运算是解决数学问题的基本手段.通过高中数学的学习，能进一步发展数学运算能力，能借助运算方法有效解决实际问题，能通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.本章中集合的基本运算、基本不等式、一元二次不等式及其解法就体现了数学运算核心素养.例1设集合，.（1）若，求实数a的值；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若，，求实数a的取值范围.解析（1）由，得，将2代入B中的方程，可以求出a的值，然后验证是否满足集合的条件，不满足的舍去；（2）由，得，根据集合的关系求实数a的取值范围；（3）由，得，根据集合的关系求实数a的取值范围.答案由题意知.（1），将代入B中的方程，得，所以或.当时，，满足条件；当时，，也满足条件.综上可知，a的值为或.（2）.对于方程，=1\*GB3①当，即时，，满足条件；②当，即时，，满足条件；.③当，即时，才能满足条件，此时a的值不存在.综上可知，a的取值范围是.（3）.对于方程，=1\*GB3①当时，即时，，满足条件；②当时，即时，，不满足条件；③当，即时，此时只需且即可.将代入B中的方程，得或；将代入B中的方程，得.且.综上可知，a的取值范围是或或或或.例2若正实数满足，求的最小值.解析已知和式与积式的混合等量关系式，求和式的最值，利用基本不等式将积式转化为和式，通过解不等式求解.答案方法一：，（当且仅当时，取等号），，.令，则,，，即.方法二：由，，，得（当且仅当时，取“=”），即，.又，，即.的最小值为18.又，的最小值为12.二、逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.本章中充要条件的证明与利用不等式的性质证明不等式就体现了逻辑推理核心素养.例3已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.解析可以分充分性和必要性两个方面进行证明，也可以用等价法进行证明.答案方法一：充分性：由及，得，即.必要性：由，得,即.因为，所以，所以.所以的充要条件是.方法二：.因为，所以.所以，即的充要条件是.例4已知，证明.解析要证明，只要证明即可，通过分解因式证明.答案.，..三、数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式数学建模是应用数学方法解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.本章中基本不等式的实际应用与一元二次不等式的实际应用就体现了数学建模核心素养.例5经观测，某公路段在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间有函数关系.（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？（精确到0.01）（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？解析（1）关键是对式子变形，通过分子、分母同除以v，使得分母能用基本不等式求最值；（2）把分式不等式通过等价变形转化为一元二次不等式进行求解.答案（1）（当且仅当,即时，取等号）.故当千米/小时时，车流量y最大，最大车流量约为11.08千辆/小时.（2）根据题意有：，化简得，即，所以.所以汽车的平均速度应控制在这个范围内.四、直观想象直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物形态与变化，利用图形理解和解决问题的过程.直观想象是发现数学结论和解决数学问题的重要素养，表现在能利用图形探索和解决数学问题，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路直观想象是发现和提出数学命题、分析和理解数学命题、探索和形成论证思路的重要手段，是构建抽象结构和进行逻辑推理的思维基础，是培养创新思维的基本要素.直观想象是数学核心素养之一，体现了数形结合的重要思想.本章中利用数轴、Venn图等求解集合问题以及利用元二次函数的图象解一元二次不等式就体现了直观想象核心素养。例6设，，求.解析首先明确集合中的元素，集合A是一元二次方程的根的集合，集合B是满足不等式的自然数集，然后直接观察或借助Venn图写出交集.答案由题意可得，，用Venn图表示集合如图所示.依据交集的定义可得.例7求下列不等式的解集：（1）；（2）；（3）.解析先画出对应的一元二次函数的图象，根据图象写出解集.答案（1）对于方程，，方程的两根为.画出函数的图象，如图（1）所示.由图可得原不等式的解集为.（2）原不等式等价于.对于方程,，方程的两根为,画出函数的图象，如图（2）所示.由图可得原不等式的解集为.（3）对于方程，方程有两个相等的实数根为.画出函数的图象，如图（3）所示.由图可得原不等式的解集为.高考真题再现考点1集合的运算1.主要考查角度：（1）求集合的交、并、补的运算；（2）已知集合相等，求参数的值；（3）集合间基本关系的判断；（4）已知集合间的基本关系，求参数的取值范围.2.一般以选择题或填空题的形式进行考查，在高考中分值一般为5分，属于容易题.例1（2019·全国Ⅱ）已知集合，则（）A.B.C.D.解析.答案C例2（2019·全国I）已知集合，，，则（）A.B.C.D.解析因为，，所以.又，故.答案C例3（2019·浙江）已知全集，集合，，则（）A.B.C.D.解析因为，，所以.又，所以.答案A考点2必要条件与充分条件1.主要考查角度：充分条件与必要条件的判断.2.一般以选择题或填空题的形式进行考查，在高考中分值一般为5分，属于容易题.例4（2019·天津）设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由，解得.因为，故“”是“”的必要而不充分条件.答案B例5（2017·天津）设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由，解得.因为，故“”是“”的必要而不充分条件.答案B考点3全称量词与存在量词1.主要考查角度：（1）全称量词命题与存在量词命题的真假判断；（2）全称量词命题与存在量词命题的否定改写.2.一般以选择题或填空题的形式进行考查，在高考中分值一般为5分，属于容易题.例6（2017·山东改编）已知命题p：，命题q：若，则.其中为真命题的是_____.（填p或q）解析因为方程的根的判别式，又对于二次函数，其图象开口向上，所以恒成立，所以p为真命题；对于命题q，取，则，而，所以q为假命题.答案p例7（2016·浙江）命题“，使得”的否定形式是（）A.，使得B.，