中考数学复习专题3几何证明与计算课件VIP

专题三几何证明与计算例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，以CD为底边向右作等腰三角形CDE，CE＝DE，使∠CDE＝∠A，DE与BC交于点F.类型1利用特殊三角形的性质证明与计算(1)求证：△CDF是直角三角形.

◀思路引导▶求两个三角形的面积比：1.两个三角形同底(等底)，面积比等于高之比；2.两个三角形等高(同高)，面积比等于底之比；3.两个三角形相似，面积比等于相似比的平方.1.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F.(1)求证：△ADF是等腰三角形；证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠F＋∠C＝90°，∠BDE＋∠B＝90°，∴∠F＝∠BDE.∵∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形.(2)若∠F＝30°，EC＝3，BD＝4，求AC的长.解：∵∠F＝30°，DE⊥BC，EC＝3，∴CF＝2EC＝6.设AF的长为x，则AD＝x，∵AB＝AC，∴CF－AF＝BD＋AD，即6－x＝4＋x，解得x＝1，∴AF＝1，∴AC＝CF－AF＝6－1＝5.例2：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，△DEC是由△ABC绕点C按顺时针方向旋转α角(0＜α＜180°)得到的，且点A的对应点D恰好落在直线BC上，如图①.[2023南平二检12分]类型2利用全等三角形证明与计算(1)判断直线CE与直线AB的位置关系，并证明；解：CE∥AB.证明如下：由旋转的性质可得，∠DCE＝∠ACB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠DCE，∴CE∥AB.(2)当∠ADC＝2∠BAC时，求∠BAC的大小；解：设∠BAC＝x，则∠ADC＝2∠BAC＝2x.由旋转的性质可得，AC＝DC，∴∠CAD＝∠ADC＝2x，∴∠ACB＝∠ADC＋∠CAD＝4x.∵∠B＝∠ACB，∴∠B＝4x，在△ABC中，∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＝180°，∴x＋4x＋4x＝180°，解得x＝20°，即∠BAC＝20°.(3)如图②，F为线段AD的中点，点G在线段AB上且AG＝AF，当点E在线段AD上时，求证：AB＝AE＋2BG.证明：如图②，连接CF，CG.由旋转的性质可知∠BAC＝∠D，CB＝CE，CA＝CD，∴∠CAD＝∠D，∴∠BAC＝∠CAD.∵AG＝AF，AC＝AC，∴△AGC≌△AFC，∴CG＝CF，∠AGC＝∠AFC.

◀思路引导▶第(3)问要证AB＝AE＋2BG，只需证明EF＝BG，易得AC平分∠BAD，可以通过角平分线构造对称的全等三角形，从而解决问题.角平分线常见辅助线：①角平分线(OB)＋垂两边(OE⊥AB，OF⊥BC)则△BEO≌△BFO；②角平分线＋自垂线(EF⊥BO)则△BEO≌△BFO；③角平分线＋截等长(BE＝BF)，则△BEO≌△BFO.2.(1)【问题提出】如图①，Rt△ABC和Rt△CDE，已知∠ACE＝∠B＝∠D＝90°，AC＝CE，B、C、D三点在一条直线上，AB＝5，DE＝6.5，则BD的长度为____________.11.5解：如图②，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.∵DE⊥BC，CD⊥AC，∴∠E＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝180°－90°－∠DCE＝∠CDE.(2)【问题初探】如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积.

(3)【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境.如图③所示，在河流BD的周边规划一个四边形ABCD森林公园，按设计要求，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD的面积为12km2，且CD的长为6km，则河流另一边森林公园△BCD的面积为______km2.6

例3：【一题多解】如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，点D在边AB上，∠BAC＝∠DEC＝90°.类型3利用相似三角形证明与计算(1)求证：△ACE∽△BCD；

(2)探索AC，AD，AE的数量关系，并证明；

(3)若CA平分∠DCE，且AD＝2，求△EDC的面积.[2024漳州二模12分]解：如图，过点D

作DG⊥BC于点G，∵CA平分∠DCE，∴∠ECA＝∠DCA，由(1)得∠BCD＝∠ECA，∴∠BCD＝∠DCA.∵DG⊥BC，AD⊥AC，∴DG＝AD＝2.在Rt△BDG中，∠B＝45°，DG＝2，

◀思路引导▶[1]证明相似的方法：“AA”、“SAS”、“SSS”、平行线.[2]证明三个线段的数量关系，通常的思路是“截长”或“补短”，探索时可以在最长的线段上截取一段等于较短两条线段中的一段，并设法证明另一段等于第三条线段(或其倍数).[3]结合(1)的结论可得∠BCD＝∠ACD，即CD平分∠ACB，故可利用角平分线的性质得线段相等，再解直角三角形.

3.如图①，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上(不与点B，C重合)，点E在AB边上，且∠AED＝∠ADB，过点A作AF⊥DE于点F，G是BD的中点，连接FG.(1)当AD＝CD时，求证：DE∥AC；证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠AED＝∠B＋∠BDE，∠ADB＝∠ADE＋∠BDE，且∠AED＝∠ADB，∴∠B＝∠ADE，∴∠C＝∠ADE.∵AD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ADE，∴DE∥AC.(2)∠FGD与∠ABC之间的数量关系为__________________；∠FGD＝2∠ABC(3)如图②，过点A作AH⊥BC于点H，求证：FG＝GH.[2024宁德一模改编]证明：如图②，连接HF.

∵AH⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFD＝∠AHC＝∠AHB＝90°.由(1)知∠ADE＝∠ACH.∴l△AFD∽△AHC.

例4：如图，已知直线l1∥l2.(1)在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1之间的距离恰好等于l与l2之间的距离；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)类型4尺规作图和几何证明与计算解：如答图①，直线l就是所求作的直线.(2)在(1)的条件下，若l1与l2之间的距离为2，点A，B，C分别在l，l1，l2上，且△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积.[2024福建10分]

②如答图③，当∠ABC＝90°，BA＝BC时，分别过点A，C作直线l1的垂线，垂足为M，N，∴∠AMB＝∠BNC＝90°.∵l∥l1∥l2，直线l1与l2之间的距离为2，且l与l1之间的距离等于l与l2之间的距离，

◀思路引导▶[1]可根据要求先画出最后结果的草图，再联系相关的尺规作图，从而得到画图思路；[2]题目未给出等腰直角三角形的直角顶点，故需要分三种情况进行讨论，可利用等腰直角三角形构造“一线三垂直”全等，然后计算面积即可.