44指数函数幂函数对数函数增长的比较课件高一上学期数学北师大版

4.4指数函数,幂函数,对数函数增长的比较北师2019版必修上册核心知识目标核心素养目标1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异.3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题.通过三种函数的增长特征的实际应用,培养数学建模素养.1859年,当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后,一场可怕的生态灾难爆发了.兔子是出了名的快速繁殖者,在澳大利亚它没有天敌,数量不断翻番.兔子每年能生产4到6次,一窝6−10只情境导入1950年,澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿只,这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭到了极大损失.绝望之中,人们从巴西引入了多发黏液瘤病,以对付迅速繁殖的兔子.整个20世纪中期,澳大利亚的灭兔行动从未停止过.这种现象能否用我们所学的数学知识来解释呢？请进入本节的学习！

给定常数a,b,c,指数函数y=ax(a>1)、对数函数y=logbx(b>1)、幂函数y=xc(x>0,c>0)都是增函数；而且当x的值趋近于正无穷大时,y的值都是趋近于正无穷大的,那么,这3个增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢？探究点1幂函数与对数函数的增长情况x22242628210212214216248163264128256y=log2x246810121416举例比较一下,幂函数(x>0)与对数函数y=log2x的增长情况:列表

幂函数与对数函数增长速度的比较

幂函数y=xc(x>0,c>0)比对数函数y=logbx(b>1)增长快,而且快很多.当b>1,c>0时,即使b很接近于1,c很接近于0,都有y=xc比y=logbx增长快.探究点2指数函数与幂函数的增长情况x202428210214220y=2x221622562202421638421048576y=x100124002800210002140022000举例比较一下,指数函数y=2x与幂函数y=x100(x>0)的增长情况:列表

指数函数与幂函数增长速度的比较

当x的值充分大时,指数函数y=ax(a>1)比幂函数y=xc(x>0,c>0)增长快,而且快很多.当a>1,c>0时,即使a很接近于1,c很大,都有y=ax比y=xc增长快.【总结提升】y=ax(a>1),y=logbx(b>1)和y=xc(x>0,c>0)这三个函数彼此之间增长快慢的比较,而且感受到:随着自变量x的增大,y=ax的函数值增长远远大手

y=xc的数值增长;而y=xc的数值增长又远远大于y=logbx的函数值增长.当底数a>1时,由于指数函数y=ax的值增长非常快,人们称这种现象为“指数爆炸”。知识探究·素养培育探究点一

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较[问题]观察如表给出的函数值:xf(x)=2xg(x)=x2h(x)=log2x121024413891.5850416162532252.3219664362.58507128492.80748256643(1)函数f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值有什么共同的变化趋势?(2)函数f(x),g(x),h(x)增长的速度有什么不同?提示:(1)函数f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值增大.(2)各函数增长的速度不同,其中f(x)=2x增长得最快,其次是g(x)=x2,最慢的是h(x)=log2x.知识点:三种函数的增长趋势y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)增减性在(0,+∞)上

增函数.图象的变化趋势随x增大,近似与y轴平行随x增大,近似与x轴平行α值较小(α<1)时,增长较慢;α值较大(α>1)时,增长较快增长速度①随x增大,y=ax增长速度越来越大,并且当a越大时,y=ax增长的速度越快.随x增大,y=ax增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.②随x增大,y=logax增长速度越来越慢,并且当a越大时,y=logax增长速度越慢.③存在一个x0,当x>x0时,有ax>xα>logax[例1](1)下列函数中,增长速度最快的是(

)(A)y=2021x(B)y=x2021(C)y=log2021x(D)y=2021x(2)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表:x151015202530y1226101226401626901y22321024377681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数型函数变化的变量是

.解析:(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从题表中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,因此可知y2关于x呈指数型函数变化.答案:(2)y2变式训练1−1:三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如表:x1357911y15135625171536356655y2529245218919685177149y356.106.616.957.207.40则关于x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(

)(A)y1,y2,y3(B)y2,y1,y3

(C)y3,y2,y1(D)y3,y1,y2解析:由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较,可知指数函数增长最快,对数函数增长最慢,由题中表格可知,y1是幂函数,y2是指数函数,y3是对数函数,故选C.方法总结几类增长速度不同的的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数函数模型.(3)增长速度较慢的函数模型是对数函数模型.探究点二一次函数、指数函数、对数函数模型的比较[例2]函数f(x)=1.1x和g(x)=lnx+1的图象如图所示,设两个函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且

x1<x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数,并比较

f(x)与g(x)的大小(以x1,x2为分界点);解:(1)曲线C1对应的函数为f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数为g(x)=lnx+1.当x<x1时,f(x)>g(x);当x1<x<x2时,f(x)<g(x);当x>x2时,f(x)>g(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2021),g(2021)的大小.解:(2)因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(13)<g(13),f(14)>g(14),所以1<x1<2,13<x2<14,所以x1<6<x2,2021>x2.从题图可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2021)>g(2021).又g(2021)>g(6),所以f(2021)>g(2021)>g(6)>f(6).变式训练2−1:函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x−1的图象如图所示.解:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x−1,C2对应的函数为f(x)=lgx.(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;(2)以两个图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较.解:(2)当x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).方法总结由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数,图象呈直线上升的函数是一次函数.拓展探索素养培优[典例]某汽车制造商在2021年初公告:公司计划2021年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如表所示:年份/年201820192020年产量/万辆81830如果我们分别将2018,2019,2020,2021定义为第一、二、三、四年,现在你有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系?[素养演练]某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本y(单位:元/102

kg)与上市时间x(单位:天)的数据如表:时间x50110250种植成本y150108150(1)根据上述表格中的数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本y与上市时间x的变化关系y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=a·bx,y=alogax;(2)利用你选取的函数,