2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.5.1正弦函数的图像学案含解析北师大版必修4

PAGE§5正弦函数的图像与性质5．1正弦函数的图像学问点正弦函数的图像[填一填]正弦函数的图像(1)图像：正弦函数y＝sinx的图像，又称为正弦曲线，如图所示．(2)画法：在平面直角坐标系中描出五个关键点：(0,0)，(eq\f(π,2)，1)，(π，0)，(eq\f(3,2)π，－1)，(2π，0)．然后再依据正弦函数的基本形态，用光滑曲线将这五个点连接起来，得到正弦函数的简图，这种画正弦曲线的方法称为“五点法”．[答一答]怎样用五点法画正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像？提示：画正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像，有五个关键点，它们是(0,0)，(eq\f(π,2)，1)，(π，0)，(eq\f(3π,2)，－1)，(2π，0)，因此描出这五个点后，正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像的形态基本上就确定了．在描点时，光滑的曲线是指经过最高点或最低点的连线，要保证近似“圆弧”的形态，经过位于x轴的点时要变更“圆弧的圆心的位置”．1．y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝sinx，x∈R的图像间的关系(1)函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像是函数y＝sinx，x∈R的图像的一部分．(2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图像与函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像形态完全一样，因此将y＝sinx，x∈[0,2π]的图像向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)就可得到函数y＝sinx，x∈R的图像．2．“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线作出正弦函数图像的方法．该方法作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”的实质是在函数y＝sinx的一个周期内，选取5个分点，也是函数图像上的5个关键点：最高点、最低点及平衡点，这五个点大致确定了函数一个周期内图像的形态．(3)“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精确度不高的状况下常用此法，要切实驾驭好．另外与“五点法”作图有关的问题常常出现在高考试题中．3．关于“五点法”画正弦函数图像的要点(1)应用的前提条件是精确度要求不是太高．(2)五个点必需是确定的五点．(3)用光滑的曲线顺次连接时，要留意线的走向，一般在最高(低)点的旁边要平滑，不要出现“拐角”现象．(4)“五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像，要得到整个正弦函数图像，还要“平移”.类型一画正弦函数的图像【例1】用“五点法”画函数y＝－2＋sinx，x∈[0,2π]的简图．【思路探究】本题主要考查正弦型函数y＝sinx－2的图像的画法．在区间[0,2π]内找出关键的五个点，列表，并在平面直角坐标系内画出图像；也可以先画出函数y＝sinx的图像，然后向下平移2个单位长度得到函数y＝sinx－2的图像．【解】法1：按五个关键点列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－10－2＋sinx－2－1－2－3－2利用正弦函数的性质描点，如下图的实线部分．法2：先用“五点法”画出函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像(如图中的虚线部分)，再将其向下平移2个单位长度即可得到函数y＝－2＋sinx，x∈[0,2π]的图像(如图中的实线部分)．规律方法函数y＝sinx＋m的图像既可以用五点法画出，也可以将函数y＝sinx的图像向上(m>0)或向下(m<0)平移|m|个单位长度得到．用“五点法”作函数y＝2sinx，x∈[0,2π]的图像．解：列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝2sinx020－20描点、连线，得函数y＝2sinx，x∈[0,2π]的图像，如图．类型二利用正弦线求角的范围【例2】利用三角函数线，求满意下列条件的角α的集合：(1)sinα＝eq\f(1,2)；(2)sinα≤－eq\f(1,2).【思路探究】先借助单位圆作出正弦线，然后找出符合条件的角的集合．【解】(1)如图(1)．故使sinα＝eq\f(1,2)的α的集合为{α|α＝eq\f(π,6)＋2kπ或α＝eq\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z}．图(1)(2)如图(2)．在Rt△OMP中，|OP|＝1，|MP|＝eq\f(1,2)，∴∠MOP＝eq\f(π,6).故使sinα≤－eq\f(1,2)的α的集合为{α|2kπ－eq\f(5π,6)≤α≤2kπ－eq\f(π,6)，k∈Z}．规律方法留意终边相同的角的表示方法及角的旋转方向．利用单位圆中的正弦线求满意sinα≥eq\f(\r(3),2)的角α的集合．解：如图所示．使sinα≥eq\f(\r(3),2)的α的集合为{α|2kπ＋eq\f(π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}．类型三正弦曲线的应用【例3】推断方程x＋sinx＝0的根的个数．【思路探究】转化为推断函数y＝－x和y＝sinx的图像的交点个数．【解】在同始终角坐标系中画出y＝－x和y＝sinx的图像，如图所示．由图知y＝－x和y＝sinx的图像仅有一个交点，则方程x＋sinx＝0仅有一个根．规律方法关于方程根的个数问题，往往是运用数形结合法构造函数，转化为函数图像交点的个数问题．将本例中的方程改为“x2－sinx＝0”，试推断根的个数．解：在同始终角坐标系中画出y＝x2和y＝sinx的图像，如图所示．由图知y＝x2和y＝sinx的图像有两个交点，则方程x2－sinx＝0有两个根．——易错警示——忽视函数的定义域致误【例4】若x是三角形的最小角，则y＝sinx的值域是________．【错解】(0,1]【正解】由三角形内角和为π知，若x为三角形中的最小角，则0<x≤eq\f(π,3)①，由y＝sinx图像(如图)知y∈(0，eq\f(\r(3),2)]．【错解分析】忽视①处x为最小角，x实际范围为(0，eq\f(π,3)]，认为x为三角形的内角，有x∈(0，π)或x∈(0，eq\f(π,2)]，从而得出错误答案．【答案】(0，eq\f(\r(3),2)]【防范措施】深化挖掘题目中的条件要重视对题目条件的挖掘和充分的应用，否则会导致错误．如本例中用到了三角形中的最小角，须要在记住三角形内角和为π的基础上，推导出最小角的范围(0，eq\f(π,3)]．函数y＝lg(eq\r(3)＋2sinx)，x∈[0,2π]有意义时，x的取值范围是[0，eq\f(4,3)π)∪(eq\f(5,3)π，2π]．解析：由题意知，eq\r(3)＋2sinx>0，则sinx>－eq\f(\r(3),2).由y＝sinx，x∈[0,2π]的图像(如图)可知x的取值范围为[0，eq\f(4,3)π)∪(eq\f(5,3)π，2π]．一、选择题1．函数y＝sinx的图像与x轴的交点有(D)A．0个 B．3个C．6个 D．多数个2．函数y＝sinx在某个区间上是减函数，则该区间可以是(D)A．[0，eq\f(π,2)] B．[0，π]C．[π，2π] D．[eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)]解析：由y＝sinx的图像可知4个选项中只有D正确．3．关于正弦函数y＝sinx的图像，下列说法错误的是(D)A．关于原点对称 B．有最大值1C．与y轴有1个交点 D．关于y轴对称解析：由正弦函数y＝sinx的图像可知，它关于原点对称，有最大值1，最小值－1，并且与y轴有一个交点，坐标为(