2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2.3充分条件必要条件学案含解析新人教B版必修第一册

PAGE1.2.3充分条件、必要条件学习目标1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件、必要条件的含义,理解集合、性质、定理与它们的关系;2.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的含义,理解数学定义与充要条件的关系;3.通过充分条件、必要条件的推断,提升逻辑推理素养;(重点)4.通过充分条件、必要条件的应用,培育数学运算素养.(难点)第1课时充分条件、必要条件自主预习预习课本P30~32,思索并回答下列问题.1.两个定义:(1)充分条件(2)必要条件2.充分条件、必要条件与集合之间的关系.3.充分条件、必要条件与判定定理与性质定理之间的关系.课堂探究探究一给出下列命题:(1)假如两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也相互平行;(2)在直角三角形中,假如一个锐角等于30°,那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半;(3)假如x>2,那么x>3;(4)假如a>b且c>0,那么ac>bc.思索:(1)这四个命题都是怎样的形式?推断这四个命题的真假.(2)这种形式的命题假如是真命题,p与q的关系用符号怎样表示?p,q分别为对方的什么条件?(3)这种形式的命题假如是假命题,p与q的关系用符号怎样表示?(4)如何用符号表示上例中的(2)(4)?(5)这种形式的命题假如是真命题,写出它的四种不同的表达形式.并写出命题(4)的四种表达形式.例1推断下列命题中,p是否是q的充分条件,q是否是p的必要条件?(1)p:x∈Z,q:x∈R;(2)p:x是矩形,q:x是正方形.变式1下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的什么条件?(1)若x=1,则x2-4x+3=0;(2)若x2=y2,则x=y;(3)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等;(4)若a>b,则ac>bc.小结:探究二(1)已知集合A={x|x≥0},B={x|x>-1},推断两个集合之间的关系,并用数轴表示;(2)推断命题“假如x≥0,那么x>-1”的真假;(3)思索(1)(2)中集合关系与命题真假之间的联系;(4)请你再举出一个例子来说明(可借助维恩图表示),能否将这一结论推广?例2已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(x-3)<0,若q是p的充分条件,则a的取值范围为.

探究三给出以下两个命题:(1)菱形的对角线相互垂直;(2)对角线相互垂直的平行四边形是菱形.思索:(6)推断这两个命题的真假;假如是真命题,说明它们分别是菱形的什么定理?(7)假如是真命题,改写成四种不同的表达形式.(8)你能发觉充分条件、必要条件与定理之间的关系吗?请举例说明.例3说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理,假如可以,写出其中涉及的充分条件或必要条件.(1)形如y=ax2(a是非零常数)的函数是二次函数;(2)矩形的对角线相等.核心素养专练1.使x>3成立的一个充分条件是()A.x>4 B.x>0C.x>2 D.x<22.(多选题)对随意实数a,b,c,给出下列命题,正确的是()A.“a=b”是“ac=bc”的充分条件B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的必要条件C.“a>b”是“a2>b2”的充分条件D.“a<5”是“a<3”的必要条件3.有下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中可以成为x2<1的一个充分条件的全部序号为.

4.指出下列命题中p是q的什么条件?(1)p:x2=2x+1,q:x=2x(2)p:a2+b2=0,q:a+b=0.5.已知p:3x+m<0,q:x2-2x-3>0,若p是q的一个充分条件,求m的取值范围.第2课时充要条件自主预习预习课本P33~34,思索并回答下列问题.1.三个定义:(1)充分不必要条件(2)必要不充分条件(3)充要条件2.充要条件与集合之间的关系.3.充要条件与定义之间的关系.课堂探究探究一1.已知p:x>3,q:x>2,(1)推断p是否是q的充分条件,p是否是q的必要条件?(2)推断q是否是p的充分条件,q是否是p的必要条件?2.已知p:x≥0,q:x有意义,推断p是否是q的充分条件,p是否是q的必要条件?例1在△ABC中,推断∠B=∠C是否是AC=AB的充要条件.变式1已知a+b≠0,证明a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.例2推断下列各题中,p是q的什么条件?(1)p:x>1,q:x>0;(2)p:|x|=1,q:x=1;(3)p:|x|=1,q:x2=1;(4)p:x>1,q:x<2.小结:(1)怎样推断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件?(2)这种题目可能有几种结果?p与q之间有怎样的推出关系?探究二类比上节课中充分条件、必要条件与集合和判定定理、性质定理的关系:(1)找寻充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件与集合的关系;(2)以等边三角形为例,说明充要条件与定义之间的关系?一个数学对象可以有多个定义吗?例3已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为.

核心素养专练1.设p:b2-4ac>0(a≠0),q:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.“同位角相等”是“两直线平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.b2=ac是ab=bc成立的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设命题甲:{x|0<x<3},命题乙:{x||x-1|<2},那么甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0,p是q的条件.

6.p:两个三角形相像;q:两个三角形全等,p是q的条件

7.填空:(1)a=0是ab=0的条件;

(2)a≠0是ab≠0的条件;

(3)a>c是ab2>cb2的条件;

(4)ab2>cb2是a>c的条件.

参考答案第1课时充分条件、必要条件自主预习略课堂探究略核心素养专练1.A2.ABD3.②③④4.(1)p是q的必要条件;(2)p是q的充分条件5.解:p:x<-m3,q:x>3或x<-1∵p是q的充分条件,∴-m3≤-1,解得m≥3第2课时充要条件自主预习略课堂探究略核心素养专练1.A2.C3.B4.A5.充分不必要6.必要不充分7.(1)充分不必要;(2)必要不充分;(3)必要不充分;(4)充分不必要.学习目标1.通过实例,了解充分条件与必要条件的概念,了解数学命题和数学推理之间的关系,提高逻辑推理素养;2.理解充分条件与必要条件,提升数学抽象和逻辑推理素养;3.会用自然语言、符号语言表示充分条件与必要条件,加强数学抽象素养的培育.自主预习1.下列语句中是命题的是()①x2-3=0;②与一条直线相交的两条直线平行吗?③3+1=5;④对随意x∈R,5x-3>6A.①③ B.②③ C.②④ D.③④2.推断下列语句是否为命题,若是,请推断真假并改写成“若p,则q”的形式.(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗?(2)三角形中,大角所对的边大于小角所对的边;(3)当x+y是有理数时,x,y都是有理数;(4)1+2+3+…+2014;(5)这盆花长得太好了!课堂探究导入新课1.充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系pq

pq

条件关系p是q的条件

q是p的条件

p不是q的条件

q不是p的条件

思索1:(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同?(2)以下五种表述形式:①p⇒q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗?问题探究一:例1下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的什么条件?(充分不必要条件,必要不充分条件,既是充分条件也是必要条件,既不充分也不必要条件)(1)若x=1,则x2-4x+3=0;(2)若函数y=x,则函数为递增的;(3)若x为无理数,则x2为无理数;(4)若x=y,则x2=y2.即时训练1下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的什么条件?(充分不必要条件,必要不充分条件,既是充分条件也是必要条件,既不充分也不必要条件)(1)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等;(2)若a>b,则ac>bc.问题探究二:例2若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,求a的最大值.要点归纳设集合A={x|x满意p},B={x|x满意q},则p⇒q可得;q⇒p可得;p⇔q可得.若p是q的充分不必要条件,则A是B的.

即时训练2例2中“x<a”改为“x>a”,其他条件不变,求a的最小值.小组合作探究:充分条件和必要条件的应用例3(1)“x2=4”是“x=m”的必要条件,则m的一个值可以是()A.0 B.2 C.4 D.16(2)已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(x-3)<0,若q是p的充分条件,则a的取值范围为.

要点归纳应用充分条件和必要条件的两个思路:(1)条件与结论:确定p和q谁是条件,谁是结论.(2)p⇒q和q⇒p的应用:充分条件确保p⇒q为真,必要条件确保q⇒p为真.即时训练3使x>3成立的一个充分条件是()A.x>4 B.x>0C.x>2 D.x<2评价反馈1.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.“x2>2017”是“x2>2016”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件核心素养专练1.“x>0”是“x≠0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的()A.充分条件B.必要条件C.既不是充分条件也不是必要条件D.无法推断3.a<0,b<0的一个必要条件为()A.a+b<0 B.a+b>0C.ab>1 D.ab4.(多选)已知p:x2-2x+a=0有实根,则p的充分不必要条件为()A.a≤0 B.a≤1C.a<2 D.a<15.有下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中可以成为x2<1的一个充分条件的全部序号为.

6.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空:(1)“ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”是“ac<0”的.

(2)“△ABC≌△A'B'C'”是“△ABC∽△A'B'C'”的.

7.已知p:x<-2,q:x<a,若p是q的必要条件,求实数a的取值范围.参考答案自主预习1.D2