2024-2025学年高中物理第二章机械振动2简谐运动的描述教案新人教版选择性必修第一册VIP

PAGE11-2简谐运动的描述一、描述简谐运动的物理量1．振幅振动物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离叫作振动的振幅．振幅是标量，用A表示，单位是米(m)．振幅是反映振动强弱的物理量，振幅越大表示振动越强．2．周期和频率做简谐运动的物体完成一次全振动所须要的时间叫作振动的周期．单位时间内完成全振动的次数叫作振动的频率．周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量．它们的关系是T＝1/f.在国际单位制中，周期的单位是秒．频率的单位是赫兹，1Hz＝1s－1.3．相位用来描述周期性运动的物体在各个时刻所处的不同状态的物理量．二、简谐运动的表达式简谐运动的正弦函数表达式可以写成x＝Asin(ωt＋φ)．其中A代表简谐运动的振幅；ω叫作简谐运动的“圆频率”，它与周期的关系是ω＝eq\f(2π,T).它和周期、频率都表示简谐运动的快慢；ωt＋φ代表简谐运动的相位，其中φ称为初相位．从简谐运动的正弦函数表达式中，我们知道(ωt＋φ)表示相位，你能据此表达式导出相位的单位吗？提示：由ω＝eq\f(2π,T)及ωt＋φ知ωt＋φ＝eq\f(2π,T)t＋φ，其中φ表示角度，eq\f(2π,T)t也表示角度，所以其单位应为角度的单位——弧度．考点一描述简谐运动的物理量1．振幅说明：振幅的两倍(2A振幅、位移和路程的关系振幅位移路程定义振动物体离开平衡位置的最大距离从平衡位置指向振子所在位置的有向线段运动轨迹的长度矢、标性标量矢量标量改变在稳定的振动系统中不发生改变大小和方向随时间做周期性改变随时间增加联系①振幅等于最大位移的大小；②振子在一个周期内的位移等于零，在一个周期内的路程等于4个振幅，在半个周期内的路程等于2个振幅1在一个稳定的振动系统中，振幅是不变的，它与振动系统的周期频率或质点的位移无关.2振幅是标量，它没有负值，也无方向，它等于振子最大位移的大小，却不是最大位移.2．全振动(1)如图，假如从振子向右通过O点的时刻起先计时，它将运动到M，然后向左回到O，又接着向左运动到达M′，之后又向右回到O.这样一个完整的振动过程称为一次全振动．若从图中P0点向右运动起先计时，经验的一次全振动应为P0→M→P0→O→M′→O→P0.(2)全振动的等时性：不管以哪里作为起先探讨的起点，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的．(3)对一次全振动的相识对做简谐运动的物体，某一阶段的振动是否为一次全振动，可以从以下两个角度推断：①从物体经过某点时的特征物理量看，假如物体的位移和速度都回到原值(大小、方向与初始状态完全相同)，即物体完成了一次全振动．②看物体在这段时间内通过的路程是否等于振幅的四倍．3．周期eq\a\vs4\al(【拓展延长】)简谐运动的周期与什么因素有关？简谐运动的周期公式：T＝2πeq\r(\f(m,k)).公式中m为做简谐运动物体的质量，k为做简谐运动物体受到的合外力跟位移大小的比值．(特例：水平方向的弹簧振子，k指弹簧的劲度系数)4．频率(1)单位时间内完成全振动的次数，叫作振动的频率，用f表示．(2)单位：在国际单位制中，频率的单位是赫兹(Hz)．(3)意义：频率是表示物体振动快慢的物理量．频率越大，表示振动得越快；频率越小，表示振动得越慢．(4)频率与周期的关系：T＝eq\f(1,f).(1)简谐运动的频率(周期)由振动系统本身的因素确定，与振幅和其他因素无关，因此又称固有频率(周期)．(2)简谐运动的频率不是用来描述振动物体某时刻运动快慢的物理量，而是用来描述完成一次全振动快慢的物理量．简谐运动的振幅和周期(频率)分别表示振动的强弱和快慢，各自是独立的，即振动的强弱与振动的快慢没有关系．或者说：周期(频率)与振幅无关．5．相位在物理学中，我们用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态．【例1】如右图所示，弹簧振子以O为平衡位置在BC间做简谐运动，则()A．从B→O→C为一次全振动B．从O→B→O→C为一次全振动C．从C→O→B→O→C为一次全振动D．从D→C→O→B→O为一次全振动【审题指导】思路1：全振动的意义是什么？物体完成一次全振动时，肯定回到了初位置，且以与原来相同的速度回到初位置．思路2：全振动中路程与振幅有固定关系，即一次全振动通过的路程是振幅的4倍．【解析】一次全振动不是必需从平衡位置起先计时，只要再次同向经过某一位置，就完成了一次全振动，运动时间就是一个周期，运动的路程为4个振幅．【答案】C(多选)如图，弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，B、C间距离是10cm，B→C运动时间是1s，则(CD)A．振动周期是1s，振幅是10cmB．从B→O→C振子做了一次全振动C．经过两次全振动，通过的路程是40cmD．从B起先运动经过3s，振子通过的路程是30cm解析：明确描述振动的物理量，弄清它们之间的关系是解题的关键．由题，BC间距离为10cm，则振幅A＝5cm，B→C运动时间为1s，则周期T＝2s．故A错误；从B→O→C，振子通过的路程是两个振幅，不是一次全振动，B错误；经过两次全振动，通过的路程s＝8A＝40cm，C正确；从B起先经过3s，振子振动了1.5个周期，通过的路程s＝1.5×4A＝【例2】一质点在平衡位置O旁边做简谐运动，从它经过平衡位置起起先计时，经0.13s质点第一次通过M点，再经0.1s其次次通过M点，则质点振动周期的值为多少？【审题指导】由于振动的往复性，质点经过某一位置时因速度方向不确定会导致多解．【解析】将物理过程模型化，画出详细情景．设质点从平衡位置O向右运动到M点，那么质点从O点到M点运动时间为0.13s，再由M点经最右端A点返回M点经验时间为0.1s，如图甲、乙所示．依据以上分析，可以看出从O→M→A历时0.18s，依据简谐运动的对称性，可得到T1＝4×0.18s＝0.72s.另一种可能如图丙所示，由O→A→M历时t1＝0.13s，由M→A′历时t2＝0.05s，则eq\f(3,4)T2＝t1＋t2，故T2＝eq\f(4,3)(t1＋t2)＝0.24s，所以周期的可能值为0.72s和0.24s.【答案】0.72s或0.24s一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则(C)A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt肯定等于T的整数倍B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt肯定等于eq\f(T,2)的整数倍C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度肯定相等D．若Δt＝eq\f(T,2)，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度肯定相等解析：弹簧振子做简谐运动的图像如图所示，图中A点与B、E、F、I等点的振动位移大小相等，方向相同．由图可知，A点与E、I等点对应的时间差为T或T的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为T或T的整数倍，因此A选项不正确．图中A点跟B、C、F、G等点的振动速度大小相等，方向相反，由图可知A点与C、G等点对应的时间差为eq\f(T,2)或eq\f(T,2)的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为eq\f(T,2)或eq\f(T,2)的整数倍，因此B选项不正确．假如t时刻和(t＋Δt)时刻相差一个周期T，则这两个时刻的振动状况完全相同，加速度肯定相等，选项C正确．假如t时刻和(t＋Δt)时刻相差半个周期，则这两个时刻振动的位移大小相等，方向相反，弹簧的长度明显是不相等的，选项D也不正确.考点二简谐运动的表达式1．简谐运动的表达式：x＝Asin(ωt＋φ)．(1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移，t表示振动的时间．(2)A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅．(3)ω称为简谐运动的圆频率，它也表示做简谐运动的物体振动的快慢．ω与周期T及频率f的关系为ω＝eq\f(2π,T)＝2πf.所以简谐运动的表达式也可写成：x＝Asin(eq\f(2π,T)t＋φ)或x＝Asin(2πft＋φ)．(4)φ表示t＝0时，简谐运动的质点所处的状态，称为初相位或初相．(5)(ωt＋φ)代表了简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位．2．相位差(1)相位差是指两个相位之差，在实际应用中常常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，它反映出两个简谐运动的步调差异．设两频率相同的简谐运动的振动方程分别为x1＝A1sin(ωt＋φ1)，x2＝A2sin(ωt＋φ2)，它们的相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1.可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差．(2)若Δφ＝φB－φA>0，则称B的相位比A的相位超前Δφ或A的相位比B的相位落后Δφ；若Δφ＝φB－φA<0，则称B的相位比A的相位落后Δφ或A的相位比B的相位超前Δφ.1在比较相位或计算相位差时，肯定要用同种函数来表示振动方程.2相位差的取值范围：－π≤φ≤π；相位每增加2π就意味着完成了一次全振动.【例3】(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100t＋\f(π,2)))m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100t＋\f(π,6)))m．比较A、B的运动()A．振幅是矢量，A的振幅是6m，B的振幅是10mB．周期是标量，A、B周期相等为100sC．A振动的频率fA等于B振动的频率fBD．A的相位始终超前B的相位eq\f(π,3)【审题指导】1．振动位移公式x＝Asin(ωt＋φ)，各物理量分别表示什么？2．振动的超前、落后由什么物理量确定？【解析】振幅是标量，A、B的振动范围分别是6m、10m，但振幅分别为3m、5m．A错．A、B振动的周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,100)s＝6.28×10－2s，B错；因TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φA－φB＝eq\f(π,3)为定值，D对，故选C、D.应用简谐运动的表达式解决相关问题时，首先明确振幅A、周期T、频率f的对应数值，其中T＝eq\f(2π,ω)，f＝eq\f(ω,2π)；然后把确定的物理量与所要求解的问题相对应，找到关系．【答案】CD某质点做简谐运动，其位移随时间改变的关系式为x＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)t))cm，则下列关于质点运动的说法中正确的是(C)A．质点做简谐运动的振幅为5cmB．质点做简谐运动的周期为4sC．在t＝4s时质点的速度最大D．在t＝4s时质点的位移最大解析：由x＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)t))cm可知，A＝10cm，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,4)rad/s，得T＝8s．t＝4s时，x＝0，说明质点在平衡位置，此时质点的速度最大、位移为0，所以只有选项C正确．学科素养提升振幅与位移和路程的关系1．振动的振幅与振动的位移(1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离；位移是物体相对于平衡位置的位置改变．(2)振幅是表示振动强弱的物理量，在同一简谐运动中振幅是不变的，但位移却时刻改变．(3)振幅是标量，位移是矢量．(4)振幅在数值上等于最大位移的肯定值．2．振幅与路程的关系(1)振动物体在一个周期内的路程肯定为四个振幅．(2)振动物体在半个周期内的路程肯定为两个振幅．(3)振动物体在eq\f(1,4)T内的路程可能等于一个振幅，可能大于一个振幅，还可能小于一个振幅．只有当eq\f(1,4)T的初时刻振动物体在平衡位置或最大位移处，eq\f(1,4)T内的路程才等于一个振幅．【典例】如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx，释放后振子在A、B间振动，且AB＝20cm，振子首次由A到B的时间为0.1s，求：(1)振子振动的振幅、周期和频率；(2)振子由A到O的时间；(3)振子在5s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小．【解析】(1)由题图可知，振子振动的振幅为10cm，t＝0.1s＝eq\f(T,2)，所以T＝0.2s.由f＝eq\f(1,T)得f＝5Hz.(2)依据简谐运动的对称性可知，振子由A到O的时间与振子由O到B的时间相等，均为0.05s.(3)设弹簧振子的振幅为A，则A＝10cm.振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t＝5s＝25T内通过的路程s＝25×40cm＝1000cm.5s内振子振动了25个周期，5s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10cm.【答案】(1)10cm0.2s5Hz(2)0.05s(3)1000cm10cm求路程时，首先应明确振动过程经过几个整数周期，得到这几个周期内的路程，再分析最终不到一个周期的时间内的路程，两部分之和即为总的路程，振子在eq\f(1,4)周期内的路程可能等于一个振幅，也可能大于一个振幅，还可能小于一个振幅，只有从平衡位置或最大位移处起先运动，eq\f(1,4)周期内的路程才等于一个振幅．1.如图所示是一质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是(C)A．t1至t2时刻质点完成一次全振动B．t1至t3时刻质点完成一次全振动C．t1至t4时刻质点完成一次全振动D．t2至t4时刻质点完成一次全振动解析：一次全振动结束，各物理量刚好回到本次全振动起先时的值，从图像上来看，刚好完成一次周期性改变，所以只有t1～t4时间对应一次全振动．2．(多选)振动周期是指振动物体(CD)A．从任一个位置动身又回到这个位置所用的时间B．从一侧最大位移处运动到另一侧最大位移处所用的时间C．从某一位置动身又沿同一运动方向回到这个位置所用的时间D．经验了四个振幅的时间解析：振子经验一个振动周期，速度的大小和方向又完全复原到初始状态，振子运动的路程为四倍振幅．3．(多选)一个质点做简谐运动，质点每次经过同一位置时，下列物理量肯定相同的是(BCD)A．速度 B．加速度C．动能 D．