2024-2025学年山东省泰安市新泰一中东校高三（上）第一次质检数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省泰安市新泰一中东校高三（上）第一次质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U=R，集合A={x|x2−3x−4>0}，则∁A.{x|−1<x<4} B.{x|−4<x<1} C.{x|−1≤x≤4} D.{x|−4≤x≤1}2.“m=−2或m=3”是“幂函数f(x)=(m2−m−5)xm2A.充分不必要条件 B.充要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.已知a=log315，b=log420A.a>c>b B.c>a>b C.b>a>c D.a>b>c4.函数f(x)=(1−23x+1A.B.

C.D.5.我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：lAB=弦+2×矢2径，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径.如图，已知扇形的面积为4π3A.3+2 B.33+226.若存在m∈(0,12)，使不等式1m+2A.8 B.10 C.16 D.247.设函数f(x)=−x2+ax+2,x≤1aex−lnx,x>1，若f(x)A.1 B.2 C.1e D.8.已知函数f(x)=xlnx,x>0−x2−2x+1,x≤0，函数A.若a<−1e，则g(x)恰有2个零点

B.若g(x)恰有2个零点，则a的取值范围是(−∞,−1e)∪(2,+∞)

C.若g(x)恰有3个零点，则a的取值范围是[0,1)

D.若1≤a<2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列各式中，计算结果为3的是(

)A.tan25°+tan35°+3tan25°tan35° B.cos85°cos25°−sin85°sin25°

C.sin15°+cos15°10.若不等式ax2−bx+c>0的解集是(−1,2)，则下列选项正确的是A.a<0 B.b<0且c>0

C.a+b+c>0 D.不等式ax211.已知函数f(x)=|log2x|,0<x<2sin(π6x+π6),2≤x≤12，若存在实数a使得方程f(x)=a有四个互不相等的实数根，分别为xA.0<a≤12

B.2x1+x2≥2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数，则13.若sin(π7+α)=114.对于任意的x,y∈R，函数fx满足fx+y+fx−y=2fxfy，函数gx满足gx+y=g四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知α，β为锐角，且sin(2π+α)cos(11π2+α)cos(α−π)sin(−α)sin(3π−α)cos(α−π16.(本小题15分)绿色、环保是新时代健康生活的理念，某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆，已知每瓶空气净化剂含量为a，投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少，根据经验，当场馆内空气净化剂含量不低于3a时有净化效果，且至少需要持续净化12小时才能达到净化目的.现有9瓶该空气净化剂．(1)如果一次性投放该空气净化剂9瓶，能否达到净化的目的？如果能，说明理由；如果不能，最多可净化多长时间？(精确到0.1小时)(2)如果9瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放，为达到净化目的，试给出两次投放的所有可能方案？(每次投放的瓶数为整数，投放用时忽略不计)(参考数据：lg3≈0.477，17.(本小题15分)已知函数f(x)=lnx−ax，其中a∈R．(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a的值；(2)是否存在实数a，使得f(x)在x∈(0,e]上的最大值是−3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．18.(本小题17分)

已知a>0且a≠1，函数f(x)=loga21−x．

(1)求f(x)的定义域D及其零点；

(2)讨论并证明函数f(x)在定义域D上的单调性；

(3)设g(x)=mx2−2mx+3，当a>1时，若对任意x1∈(−∞,−1]19.(本小题17分)

如果函数F(x)的导数为F′(x)=f(x)，可记为∫f(x)dx=F(x)，如：∫2xdx=x2+C，其中C为常数；若f(x)≥0，则abf(x)dx=F(b)−F(a)表示曲线y=f(x)，直线x=a，x=b以及x轴围成的“曲边梯形”(如图1所示部分)的面积.如：202xdx=(22+C)−(0+C)=4，则表x=0，x=2，y=2x，及x轴围成图形面积为4.如果平面图形由两条曲线围成(如图2所示A部分)，曲线C1可以表示为y=f1(x)，曲线C2可以表示为y=f2(x)，那么A区域的面积A=ba(f2(x)−f1(x))dx．

(1)若f(x)=∫(ex+1)dx，f(0)=2，求f(x)的表达式；

(2)求曲线y=参考答案1.C

2.C

3.D

4.B

5.C

6.A

7.B

8.D

9.ACD

10.AB

11.ABD

12.−313.7914.2

15.解：(1)∵原式=sinα⋅sinα⋅(−cosα)−sinα⋅sinα⋅sinα=cosαsinα=3，

∴cosα=3sinα．

∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+9sin2α=1．

又α为锐角，

∴sinα=1010,cosα=316.解：(1)假设一次性投放9瓶，可持续净化x小时，则9a⋅(1−10%)x≥3a(x≥0)两边取常用对数得x⋅lg所以x≤lg因为10.4<12，所以不能达到净化目的，最多可净化10.4小时；(2)设第一次投放n瓶，第二次投放(9−n)瓶，n∈N∗且依据题意得na由第一个不等式可得，n≥3由第二个不等式可得，n≤9×0.又因为n∈N∗，所以n可取6或所以两次投放可能的投放方案为第一次投放6瓶，第二次投放3瓶；或在第一次投放7瓶，第二次投放2瓶．

17.解：(1)f′(x)=1x−a，

则f′(1)=1−a，f(1)=−a，

故曲线y=f(x)在x=1处的切线为y+a=(1−a)(x−1)，

即y=(1−a)x−1，

当a=1时，此时切线为y=−1，不符合要求，

当a≠1时，令x=0，有y=−1，

令y=0，有x=11−a，故11−a=−1，即a=2，

故a=2；

(2)∵f(x)=lnx−ax，∴f′(x)=1x−a=1−axx，

 ①当a≤0时，f′x在(0,e]上大于零，f(x)在(0,e]上单调递增，

∴f(x)的最大值是f(e)=1−ae=−3，解得a=4e>0，舍去;

 ②当a>0时，令f′(x)=1x−a=1−axx=0，得x=1a，

∴x∈(0,1a)时，f′(x)>0;x∈(1a,e)时，f′(x)<0，

∴f(x)的单调递增区间是18.解：(1)由题意知21−x>0，解得x<1，

∴函数f(x)的定义域D为(−∞,1)，

令f(x)=0可得21−x=1，解得x=−1，

故函数f(x)的零点为：−1；

(2)设x1，x2是(−∞,1)内的任意两个不相等的实数，且x1<x2，

则f(x2)−f(x1)=loga1−x11−x2，

∵x1<x2<1，∴−x1>−x2>−1，∴1−x11−x2>1，

∴当0<a<1时，f(x2)−f(x1)=loga1−x11−x2<0，

∴f(x)在D上单调递减，

当a>1时，f(x2)−f(x1)=loga1−x11−x2>0，

∴f(x)在D上单调递增；

(III)若对任意x1∈(−∞,−1]，存在x2∈[3,4]19.解：(1)f(x)=∫(ex+1)dx=ex+x+C，其中C为常数．

∵f(0)=2，即1+0+C=2，∴C=1，

∴f(x)的表达式为f(x)=ex+x+1．

(2)联立方程组y=x2y=−x+6，解得x1=−3，x2=2，

当−3<x<2时，−x+6>x2，令g(x)=−x+6−x2，F(x)=∫g(x)dx=−12x2+6x−13x3+C，

∴曲线y=x2与直线y=−x+6所围成图形的面积为：

S=−32g