数学学案：知识导航：平行截割定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。1相似三角形的进一步认识1。1。1平行截割定理自主整理1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条（与这组平行线相交的)直线上截得的线段也____________。2.平行截割定理:两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得的对应线段_________.3。平行于三角形一边的直线截其他两边,截得的三角形与原三角形的对应边____________。4.三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于____________。5.经过梯形一腰中点而平行于底边的直线_________另一腰;梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的_________.答案：1.相等2。成比例3.成比例4.夹角两边长度的比5。平分一半高手笔记1。平行线等分线段定理符号语言:已知l1∥l2∥l3，直线m,n分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和A′、B′、C′,如果AB=BC，那么A′B′=B′C′,图形语言(如图1。1-1），注意（2)（3）（4)（5)是定理图形的变形。图1.1-12.平行线等分线段定理的推论平行线等分线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰.这两个推论的证明如下：推论1：如图1.1—2(1），在△ACC′中，AB=BC，BB′∥CC′交AC′于B′点，求证：B′是AC′的中点.证明：如图1.1-2(2），过A作BB′与CC′的平行线,∵a∥b∥c,AB=BC，∴由平行线等分线段定理,有AB′=B′C′,即B′是AC′的中点。图1。1—2推论2：如图1.1-3，已知在梯形ACC′A′中，AA′∥CC′，AB=BC，BB′∥CC′.求证：B′是A′C′的中点。证明：∵梯形ACC′A′中AA′∥CC′,BB′∥CC′,∴AA′∥BB′∥CC′。又∵AB=BC,∴由平行线等分线段定理，有A′B′=B′C′,即B′是A′C′的中点。图1。1—33。平行截割定理（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。图1。1-4（2）符号语言表示：如图1。1-4所示，a∥b∥c,则.(3）定理的证明：若是有理数,则将AB、BC分成相等的线段,把问题转化为平行线等分线段，达到证明的目的，再推广到整个实数范围，其完整的推广过程还需到高等数学中实现。(4）定理的条件：与平行线等分线段定理相同,它需要a、b、c互相平行,构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截。平行线的条数还可以更多。（5）定理比例的变式:对于3条平行线截两条直线的图形,要注意以下变化(如图1。1—4）：如果已知a∥b∥c，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如等,可以归纳为等,便于记忆.4。平行截割定理的推论图1。1-5（1）如图1。1—5，D、E分别为△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC，则AD:AB=AE：AC=DE:BC.(2)如图1.1-6，AD是△ABC的角平分线，则.图1.1-6图1。1—7(3)如图1。1-7,四边形ABCD为梯形，AB∥CD,若E为AD的中点且EF∥AB,则F为BC的中点；若EF为梯形ABCD的中位线，则EF=.（4）若一条直线截三角形的两边（或其延长线）所得对应线段成比例,则此直线与三角形的第三边平行.（5)若梯形ABCD中,底AD=a,BC=b,点E、F分别在腰AB，CD上,且EF∥AD，若AE:EB=m:n，则EF=.名师解惑1。平行截割定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？怎样正确使用平行截割定理？剖析:我们学习的平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。（如图1.1—8，若l1∥l2∥l3，AB=BC，则DE=EF)图1。1-8图1.1-9平行截割定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图1。1—9,若l1∥l2∥l3，则。比较这两个定理可知：当截得的对应线段成比例,比值为1时,则有截得的线段相等，即当=1时，则有AB=BC,DE=EF，因此平行截割定理是平行线等分线段定理的扩充，而平行线等分线段定理是平行截割定理的特例。平行线等分线段定理是证明线段相等的依据，而平行截割定理是证明线段成比例的途径.在使用平行截割定理时，要特别注意“对应”的问题，如图1.1—9中的线段AB、BC、AC的对应线段分别是DE、EF、DF.由平行截割定理有。根据比例的性质，还可以得到.为了掌握对应关系,可根据对应线段的相对位置特征，把说成是“上比全等于上比全”,把说成是“左比右等于左比右"，使用这种形象化语言，不仅能够按要求或需要准确地写出比例式,而且也容易检查比例式是否正确。2。证明线段相等的问题较常见,而证题的方法随着所学知识的不断积累也逐渐增多.那么证明线段相等通常有哪些方法?我们现在学习的平行截割定理及推论能发挥什么作用？剖析:根据题设的不同,证明线段相等可以利用全等三角形的对应线段相等;等腰三角形、等腰梯形的两腰相等；平行四边形的对边相等,对角线互相平分；正方形、矩形、等腰梯形的对角线相等；关于直线成轴对称或关于点成中心对称的线段相等，以及线段的垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理等等。现在学了线段成比例的有关定理，也常用来证两线段相等，其方法是利用条件中有（或添作）平行线或相似三角形,列出几组比例式进行比较而得出.3.三角形中位线是三角形中的重要线段,它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位，那么如何证明三角形中位线定理呢？图1。1-10剖析:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，这里要明确三角形的中位线和三角形的中线不同(如图1.1—10）.三角形中位线定理的内容是：三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半.证明:如图1。1—10，DE是中位线，E是AC的中点，过点D作DE′∥BC,则E′也是AC的中点，所以E与E′重合，DE′与DE重合。所以DE∥BC。同理，过点D作DF∥AC,交BC于F，则BF=FC.因为DE∥FC，DF∥EC,所以四边形DFCE是平行四边形.所以DE=FC。又因为FC=BC，所以DE=BC.上述过程中,DE′与DE重合是定理证明的关键一步，本推理过程中应用了同一法思想。该定理的证明，关键在于添加辅助线，如图1。1—11所示的几种辅助线代表几种不同的证法.延长中位线DE延长中位线DE到F，使EF=DE。到F，使EF=DE得ADCF。作CF∥AB与DE的延长线交于点F.图1。1-11三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理，其特点是：同一题设,两个结论。一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用时不一定同时需要两个关系,有时需要平行关系，有时要求倍分关系，可由具体情况按需选用.事实上，平行线等分线段定理的推论1：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边，即三角形中位线判定定理.4.梯形中位线是梯形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位，那么如何证明梯形中位线定理呢？梯形中位线定理与三角形中位线定理有什么内在联系？剖析:梯形中位线的定义是：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.这里要强调梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段.梯形中位线定理的内容是：梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.该定理的证明关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化成三角形的中位线。分析如下：设法把梯形中位线转化为三角形中位线。图1.1-12如图1。1—12，欲使MN成为某一个三角形的中位线,则梯形的一腰一定是三角形的一边，而三角形的另一边一定过梯形另一腰的中点.梯形的一个底应在三角形第三边上，若连结AN并延长交BC的延长线于E（梯形的这种辅助线也经常用到）,就能得到这样的△ABE.这时只要证明AN=EN,AD=EC，问题就解决了。关于梯形中位线与三角形中位线的一致性：由梯形中位线公式MN=（BC+AD）可知,当AD退缩为一点时，其长度为零，则公式变为MN=BC。这就是三角形中位线公式，这体现了梯形中位线和三角形中位线的联系和一致性,反映了其间的辩证关系。平行线等分线段定理的推论中“过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰”,即梯形中位线.或说成“过梯形一腰中点与底边平行的直线为梯形的中位线"，利用它可以判定某一线段为梯形中位线。讲练互动【例1】如图1。1—13，已知在△ABC中，D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F。求证:BF=CF.图1.1-13分析:利用平行线等分线段定理证明.证明：过A作AP∥BC,过B作BQ∥AC.已知AP∥BC∥DE且AD=DC，由平行线等分线段定理知AE=EB，又已知BQ∥EF∥AC且AE=EB,由平行线等分线段定理知:BF=FC.故有BF=CF成立.绿色通道利用平行线等分线段定理证明线段相等，关键是找出三条平行的直线l1∥l2∥l3,如果已知条件中只有两条平行线（如例1中DE∥BC)应再作辅助线（AP)构造出三条平行线(AP∥DE∥BC)，方可利用平行线等分线段定理。变式训练图1.1—141.如图1.1—14，在ABCD中，E和F分别是BC和AD边的中点,BF和DE分别交AC于P、Q两点。求证：AP=PQ=QC。证明：过A作AK∥BF,过C作CM∥DE。已知AK∥BF∥DE,且F为AD的中点,由平行线等分线段定理得AP=PQ.又已知:CM∥DE∥FB,且E为BC中点，由平行线等分线段定理得：PQ=QC.故AP=PQ=QC.【例2】如图1。1—15，l1∥l2∥l3，，求证：。分析:利用平行截割定理及合比性质证明。图1.1—15证明：∵l1∥l2∥l3,∴.∴，由合比性质：，即.∴.绿色通道本题巧妙地利用了比例的性质(合比性质）进行了线段比例的转化。变式训练图1.1-162.如图1.1—16，DE∥BC，EF∥DC,求证:AD2=AF·AB。证明：∵DE∥BC，∴(平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例）.∵EF∥DC，∴。∴,即AD2=AF·AB。图1。1-17【例3】如图1。1-17所示，已知直线FD和△ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BD=DC,求证：AE·FB=EC·FA。分析:本题只要证=即可。由于与没有直接联系，因此必须寻找过渡比将它们联系起来，因此考虑添加平行线进行构造。证明：过A作AG∥BC，交DF于G点.∵AG∥BD,∴=。又∵BD=DC，∴=.∵AG∥BD,∴=.∴=，即AE·FB=EC·FA。绿色通道本题还可以过A作AK∥FD,利用==及=。可得：=可证得AE·FB=EC·FA.变式训练图1。1—183.如图1.1-18，四边形ABCD中，AC、BD交于O，过O作AB的平行线，与AD、BC分别交于E、F，与CD的延长线交于K。求证:KO2=KE·KF.证明：延长CK、BA，设它们交于H，∵KO∥HB,∴=，=.∴=，即.∵KF∥HB，同理可得.∴，即KO2=KE·KF.【例4】如图1。1—19,在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=a,DC=b,BC=c,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F。求：OE、OF的长.图1。1—19分析：利用平行截割定理及合分比定理求解.解:设OE=x,OF=y,∵AB∥CD，∴,∵OE⊥AB,∴OE∥BC,∴，由合分比定理：，故，即，同理，y=。绿色通道本题巧妙地利用了平行截割定理及合分比定理把两个比例式与。联合在一起得到，进而可求OE的长。变式训练4.如图1。1—20，已知AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9,，求GF的长.图1。1—20解:∵AD∥EG∥BC,∴,.∵，∴=,∴=，，∵AD=6，BC=9,∴EF=2,EG=6，∴GF=EG-EF=4。【例5】已知△ABC中，D、E是BC、AC上的点,AD与BE交于G,BD=3DC，如图1.1-21,若AG=GD，求的值。图1.1—21分析:由于AG、GD、BG、GE四条线段位于两条相交直线上，所以应从交点G开始考虑如何利用平行线构造基本图形,因为欲求BG：GE，故过G作AC或BC的平行线都可构造基本图形使已知与未知相联系.解：过G点作GF∥AC交DC于F，∵G为AD中点，∴DF=FC，∵BD=3DC,∴，即.∵,∴。绿色通道通过作平行线将比移至两平行线或移至某一条直线上证明比例线段的方法叫移比法，当已知比和未知比个数较多时，为了找出这些比的关系，常用移比法将这些比移至某一条直线上。变式训练图1.1-225。若把例5中的条件“AG=GD”改为“=,再求的值,如图1.1—22。解：过E作EH∥DC交AD于H,∵=，∴。∵BD=3DC,∴，即=，∵EH∥BC,∴==.即=.教材链接思考：D、E分别为△ABC的边AB、AC延长线上或其反向延长线上的点，且DE∥BC，这时是否仍有AD:AB=AE:AC=DE:BC成立?图1。1—23答:仍然成立。（1）若D、E分别在边AB、AC的延长线上如图1.123,过点A作直线AP∥BC,过点D作DQ∥AC，由平行截割定理知：AB:AD=AC：AE.由比例的性质知AD：AB=AE:AC成立，又