《相关图及回归分析》课件

相关图及回归分析数据可视化是统计学的重要组成部分。相关图是数据可视化的一种常用方法，它能帮助我们理解变量之间的关系。回归分析则进一步探究变量之间的关系，并建立预测模型。课程学习目标掌握相关图绘制和解读了解相关图的类型、绘制方法和解读技巧，能利用相关图分析变量之间的关系。掌握相关系数的计算和应用了解相关系数的定义和特性，能运用公式计算相关系数，并进行相关分析。理解回归分析的基本原理掌握线性回归的定义和假设，了解最小二乘法拟合直线的步骤，能进行简单的回归分析。了解回归模型的评价指标了解R平方、调整R平方、残差分析等回归模型评价指标，能对回归模型进行评估。相关图简介散点图散点图是用来表示两个变量之间关系的图形。线性关系相关图可以揭示变量之间是否存在线性关系。非线性关系相关图也可以显示非线性关系，例如曲线关系。相关系数的定义和特性相关系数的定义相关系数（r）反映两个变量之间线性关系的密切程度，取值范围为-1到1。相关系数的特性正相关：r>0，两个变量同向变化负相关：r<0，两个变量反向变化无相关：r=0，两个变量之间无线性关系相关系数的强度r=1或-1，完美线性相关r接近1或-1，强线性相关r接近0，弱线性相关相关系数的计算1协方差衡量两个变量之间线性关系的强度和方向2标准差度量单个变量的离散程度3公式计算将协方差除以两个变量的标准差之积相关系数的计算方法基于协方差和标准差。协方差反映两个变量之间的线性关系，而标准差衡量单个变量的离散程度。通过将协方差除以两个变量的标准差之积，得到相关系数，它是一个介于-1和1之间的数值，表示两个变量之间线性关系的强度和方向。相关图的绘制及解释数据准备选择两个变量，并收集其数据，确保数据是定量的，且具有可比性。绘制散点图以一个变量作为横轴，另一个变量作为纵轴，绘制散点图，观察两变量之间的关系趋势。解释相关关系根据散点图的形状和趋势，判断两变量之间的相关关系类型，例如线性正相关、线性负相关或非线性相关。确定相关系数使用相关系数公式计算两个变量之间的相关系数，并判断其大小和方向，以确认相关关系的强度。相关分析的步骤1确定研究问题明确分析目的和变量2数据收集收集相关数据，确保样本量足够3相关图绘制直观地展现变量间关系4相关系数计算量化变量间线性关系强度5结论解释解释分析结果，并给出建议相关分析的步骤可以帮助我们理解变量间的联系。通过绘制相关图，可以直观地观察变量间的关系。然后，计算相关系数可以量化这种关系，并确定其强度。最后，我们可以根据结果解释分析结果，并得出结论。相关分析的应用场景11.预测根据变量之间的关系预测未来结果，例如根据销售额预测利润。22.控制识别关键因素并控制它们，例如调整广告预算以最大化销售额。33.决策提供更准确的决策依据，例如选择最优的投资方案或制定营销策略。44.研究揭示变量之间的关系，例如探索学生成绩和学习时间之间的关系。线性回归的定义和假设线性关系线性回归模型假设因变量和自变量之间存在线性关系，可以使用直线来描述它们之间的关系。独立性假设每个观测值都是独立的，每个观测值之间没有相互影响，例如每个学生的成绩不会受到其他学生的成绩影响。正态分布假设误差项服从正态分布，误差项是实际观测值与预测值之间的差异，正态分布保证了模型的预测结果的可靠性。同方差性假设误差项的方差在整个数据范围内是恒定的，误差项的方差如果不同，则模型的预测结果可能出现偏差。最小二乘法拟合直线1最小二乘法原理找到一条直线，使所有样本点到直线的距离平方和最小。2公式推导利用微积分求解最小值，得到直线方程的参数公式。3软件实现统计软件如R、Python等提供了便捷的函数进行线性回归分析。残差分析及模型诊断残差散点图观察残差的随机分布，检测模型的线性假设。残差直方图检查残差的正态性假设，判断误差是否符合正态分布。残差vs拟合值评估模型的方差齐性，验证误差方差是否相等。Cook距离图识别对回归模型影响较大的样本点，分析异常值的影响。回归系数的统计推断假设检验对回归系数进行假设检验，以确定它们是否显著非零，从而判断自变量对因变量的影响是否显著。置信区间计算回归系数的置信区间，以确定其真实值的范围，从而评估估计值的可靠性。模型的显著性检验检验假设检验总体回归方程是否有意义，检验回归模型整体对因变量的影响是否显著。P值根据F统计量计算P值，若P值小于显著性水平，则拒绝原假设，认为回归模型整体显著。结论模型显著性检验结果表明模型是否能够有效解释因变量的变化。截距和斜率的置信区间置信区间用于估计截距和斜率的真实值范围。置信区间可以帮助我们评估模型的精度和可靠性。置信区间置信水平公式截距置信区间95%b0±t(α/2,n-2)*SE(b0)斜率置信区间95%b1±t(α/2,n-2)*SE(b1)其中，b0和b1分别表示截距和斜率的估计值，SE(b0)和SE(b1)分别表示截距和斜率的标准误，t(α/2,n-2)表示自由度为n-2的t分布的α/2分位数。预测和预测区间1预测值根据回归模型进行预测2预测区间预测值的置信区间3预测精度预测值和真实值的偏差预测区间是预测值的可信度范围。根据置信水平，预测区间可以提供预测精度。多元线性回归模型1多个自变量模型包含多个自变量，用来预测一个因变量的值。2线性关系假设因变量和每个自变量之间存在线性关系。3模型方程模型方程包含截距项和每个自变量的系数。4应用场景适用于分析多个因素对一个结果的影响。多元回归的假设检验模型整体显著性检验F统计量用来测试模型的整体显著性，检验所有自变量对因变量的联合影响是否显著。自变量系数的显著性检验t检验用来测试每个自变量系数的显著性，检验每个自变量对因变量的影响是否显著。多重共线性检验如果自变量之间存在较强的线性关系，则可能导致回归系数的估计不稳定，需要进行多重共线性诊断和处理。残差分析检验残差是否满足正态性、独立性和同方差性的假设，以确保模型的准确性和可靠性。回归模型诊断残差分析残差分析是检验模型假设的重要步骤，通过观察残差的分布、趋势、和自相关性，可以判断模型是否适合数据，以及是否有异常值等问题。影响点分析影响点是指对回归模型结果有较大影响的观测值，识别影响点并分析其原因，可以帮助我们改进模型或剔除异常值。共线性诊断共线性是指解释变量之间存在较强的线性关系，会导致回归系数估计不稳定，影响模型的解释性和预测能力。R平方和调整R平方R平方和调整R平方是评价回归模型拟合优度的两个重要指标。R平方表示模型解释的因变量变异的比例，取值范围为0到1，数值越大表示模型拟合越好。调整R平方考虑了模型中变量的个数，对模型的复杂度进行了调整，避免了因增加变量而导致的R平方虚高。0.8R平方表示模型解释了80%的因变量变异0.75调整R平方考虑了模型复杂度解释性强的变量选择变量选择的目标选择对因变量影响最大、解释性强的变量，提升模型的预测能力和可解释性。常用的变量选择方法逐步回归前向选择后向消除最佳子集选择变量重要性评估通过统计指标，例如p值、标准化回归系数等，评估变量对模型贡献的大小。共线性诊断和处理1共线性识别通过分析变量之间的相关系数、方差膨胀因子(VIF)和特征值来识别共线性。2共线性影响共线性会导致回归系数估计不稳定，标准误差增大，影响模型的解释性和预测能力。3处理方法删除相关变量，使用岭回归或套索回归等正则化方法来处理共线性。4模型评估在处理共线性后，需要重新评估模型的性能，确保模型的可靠性和有效性。非线性回归模型非线性关系当自变量和因变量之间存在非线性关系时，需要采用非线性回归模型进行分析。多元回归方程非线性回归模型可以用多种形式的方程表示，例如多项式回归、指数回归和对数回归。模型选择选择合适的非线性回归模型取决于数据特征和研究目标。广义线性模型扩展线性回归模型广义线性模型（GLM）是线性回归模型的扩展，它可以处理各种类型的响应变量，例如二进制、计数或泊松分布。链接函数和分布GLM使用链接函数将线性预测器与响应变量的分布联系起来，例如逻辑回归和泊松回归。应用广泛GLM在生物学、医学、经济学和社会科学等领域被广泛应用于分析和预测。生存分析模型生存时间生存时间是指从某一时间点（例如治疗开始）到某个特定事件发生的时间，例如死亡、复发或疾病进展。事件发生生存分析主要关注的是特定事件发生的概率以及影响事件发生时间因素的分析。Kaplan-Meier曲线常用的生存分析方法之一，用于估计生存函数，并比较不同组的生存率差异。Cox比例风险模型另一个常用的方法，用于分析影响生存时间的因素，并确定每个因素的影响大小。时间序列分析模型时间依赖性时间序列数据展现出随着时间的推移，数据点之间存在依赖关系。季节性时间序列数据可能表现出周期性的模式，例如年、月或季度波动。随机性时间序列数据包含随机波动成分，这使得预测变得更加困难。数据挖掘中的回归分析预测和分析回归分析可以用于预测未来趋势和分析不同因素之间的关系，例如预测客户购买行为或分析产品销售趋势。数据模式识别通过识别数据中的模式和关系，回归分析可以帮助发现潜在的商业机会和风险，例如识别导致客户流失的关键因素或分析产品价格对销售的影响。总结及未来展望回归分析应用广泛回归分析广泛应用于各个领域，包括经济学、金融、医学、工程学等。数据挖掘与机器学习回归分析是数据挖掘和机器学习的重要组