2024年河北省初中学业水平考试·数学

数学试卷第页（共页）2024年河北省初中学业水平考试·数学全卷总分:120分考试时间:120分钟一、选择题(本大题共16个小题，共38分.1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是()1.A2.下列运算正确的是()A.a7－a3＝a4 B.3a2·2a2＝6a2C.(－2a)3＝－8a3 D.a4÷a4＝a2.C【解析】A.a7与－a3不属于同类项，不能合并；B.3a2·2a2＝6a4；C.(－2a)3＝－8a3；D.a4÷a4＝1.3.如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D.下列不一定正确的是()A.AD⊥BC B.AC⊥PQC.△ABO≌△CDO D.AC∥BD3.A【解析】如解图，连接AC，BD，∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称，∴△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD，∴AC∥BD，AD不一定垂直BC.解图4.下列数中，能使不等式5x－1＜6成立的x的值为()A.

1 B.

2 C.

3 D.

44.A【解析】解不等式5x－1＜6，得x＜755.观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的()A.

角平分线 B.

高线 C.

中位线 D.

中线5.B6.如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是()6.D【解析】从左边看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别是3，1，1.7.节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是()A.

若x＝5，则y＝100

B.

若y＝125，则x＝4C.

若x减小，则y也减小

D.

若x减小一半，则y增大一倍7.C【解析】由题意得，y＝500x；A.若x＝5，则y＝5005＝100；B.若y＝125，则125＝500x，解得x＝4；C.若x减小，则y增大；D.若x减小一半，即y＝50012x8.若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是()A.a＋3＝8b B.3a＝8bC.a＋3＝b8 D.3a＝8＋b8.A【解析】根据已知得，8×2a＝28b，即2a＋3＝28b，∴a＋3＝8b.9.淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝()A.1

B.2－1

C.2＋1

D.1或2＋19.C【解析】根据题意得，a2－2a＝1，解得a＝1±2，∵a＞0，∴a＝2＋1.10.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：

已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD.

求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3.

∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，

∴__①__．

又∵∠4＝∠5，MA＝MC，

∴△MAD≌△MCB(__②__).

∴MD＝MB.∴四边形ABCD是平行四边形．

若以上解答过程正确，①，②应分别为()A.

∠1＝∠3,

AAS B.

∠1＝∠3,

ASA C.

∠2＝∠3，AAS D.

∠2＝∠3,

ASA10.D【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3，∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∵点M是AC的中点，∴MA＝MC，在△MAD和△MCB中，∠2＝∠3MA＝MC∠4＝∠5，∴△MAD≌△MCB(ASA)，∴MD＝MB，∴四边形ABCD是平行四11.直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α＋β＝()A.

115° B.

120° C.

135° D.

144°11.B【解析】正六边形每个内角为：（6－2）×180°6＝120°，而六边形MBCDEN的内角和也为(6－2)×180°＝720°，∴∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠ENM＋∠NMB＝720°，∴∠ENM＋∠NMB＝720°－4×120°＝240°，∵β＋∠ENM＋α＋∠NMB＝180°×2＝360°，∴α12.在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是()A.

点A B.

点B C.

点C D.

点D12.B【解析】设A(a，b)，AB＝m，AD＝n，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝n，AB＝CD＝m，∴D(a，b＋n)，B(a＋m，b)，C(a＋m，b＋n)，∵ba＋m＜ba＜b＋na，而ba＋m＜b＋na(类题通法)由题设特征值为yx，∵“特定值”最小，∴y最小，x最大，在矩形ABCD，点B的y最小，x最大，故选13.已知A为整式，若计算Axy＋y2－yx2＋xy的结果A.x B.y C.x＋y D.x－y13.A【解析】∵Axy＋y2－yx2＋xy＝x－yxy，∴Axy＋y2＝x－yxy＋yx2＋xy，∴Ay（x＋y）14.扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S.该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn.若m＝SnS，则m与n关系的图象大致是(14.C【解析】由题意得，m＝SnS＝nπ（R2－r2）36015.“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图①所示的“表格算法”，图①表示132×23，运算结果为3036.图②表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图②中现有数据进行推断，正确的是()A.

“20”左边的数是16B.

“20”右边的“”表示5C.

运算结果小于6000D.

运算结果可以表示为4100a＋102515.D【解析】如解图，由题意得，A＝5，B＝1，C＝4，D＝2，E＝8，F＝a，G＝4a，∴K＝5，H＝22，I＝8＋a，J＝4a.∴运算结果可以表示为：1000(4a＋1)＋100a＋25＝4100a＋1025.解图16.平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度．

例：“和点”P(2，1)按上述规则连续平移3次后，到达点P3(2，2)，

其平移过程如下：P余0

―右P1余1

―上P2余2若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16(－1，9)，则点Q的坐标为()A.

(6，1)或(7，1)

B.

(15，－7)或(8，0)

C.

(6，0)或(8，0)

D.

(5，1)或(7，1)16.D【解析】由题意得，若和点余数为0，向右平移1，向上平移，之后向左向上循环；若和点余数为1，向上平移1，之后向左向上循环；若和点余数为2，向左向上循环；平移16次后到达点(－1，9)，余数为2，若和点余数为0，平移16次后余数为2，向右平移1，向上平移到点A(m，n)，之后向左向上循环7轮到(－1，9)，则m－7＝－1，n＋7＝9，A(6，2)，所以和点Q(5，1)，若和点余数为1，平移16次后余数为1，不符题意；若和点余数为2，平移16次后余数为2，向左向上循环8轮到点Q16(－1，9)，和点Q(7，1)，综上所述，点Q的坐标为(5，1)或(7，1)．二、填空题(本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18～19小题各4分，每空2分)17.某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为

．17.89【解析】出现次数最多的是89，因此众数为89.18.已知a，b，n均为正整数．(1)若n＜10＜n＋1，则n＝

；(2)若n－1＜a＜n，n＜b＜n＋1，则满足条件的a的个数总比b的个数少

个．18.解：(1)3；【解法提示】∵9＜10＜16，∴3＜10＜4，∵n为正整数，∴n＝3.(2)2.【解法提示】∵n－1＜a＜n，∴(n－1)2＜a＜n2，∴a的个数为n2－(n－1)2＝n2－n2＋2n－1＝2n－1(个)，∵n＜b＜n＋1，∴n2＜b＜(n＋1)2，∴b的个数为(n＋1)2－n2＝n2＋2n＋1－n2＝2n＋1(个)，∵(2n＋1)－(2n－1)＝2，∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个．19.如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点．(1)△AC1D1的面积为

；(2)△B1C4D3的面积为

．19.解：(1)1；∵△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，∴S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC＝12×2＝1，∵点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，∴AC＝AC1，∵点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，∴AD＝AD1∵∠C1AD1＝∠CAD，∴△AC1D1≌△ACD(SAS)，∴S△AC1D1＝S△ACD＝1，∠C1D1A＝∠CDA，∴△AC1D1的面积为(2)7如解图，连接B1C2，B1C3，C3D3，B1D1，B1D2，在△AB1D1和△ABD中，AB1＝AB∠B1AD1＝∠BADAD1＝AD，∴△AB1D1≌△ABD(SAS)，∴S△AB1D1＝S△ABD＝1，∠B1D1A＝∠BDA，∵∠BDA＋∠CDA＝180°，∴∠B1D1A＋∠C1D1A＝180°，∴C1、D1、B1三点共线，∴S△AB1C1＝S△AB1D1＋S△AC1D1＝1＋1＝2，∵AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4，∴S△AB1C4＝4S△AB1C1＝4×2＝8，∵AD1＝D1D2＝D2D3，S△AB1D1＝1，∴S△AB1D3＝3S△AB1D1＝3×1＝3，在△AC3D3和△ACD中，AC3AC＝3＝AD3AD，∠C3AD3＝∠CAD，∴△C3AD3∽△CAD，∴S△C3AD3S△CAD＝(AC3AC)2＝32＝9，∴S△C3AD3＝9S△CAD＝9×1＝9，∵AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4，∴S△AC4D3＝43S△C3AD3＝43×9＝12，∴S解图三、解答题(本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20.如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为－4，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12.(1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求ABAC(2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．20.解：(1)∵点A，B，C所对应的数依次为－4，2，32，∴A，B，C三点所对应的数的和为－4＋2＋32＝30，∵AB＝2－(－4)＝6，AC＝32－(－4)＝36，∴ABAC＝636(2)由数轴得，DE＝x－0＝x，DF＝12－0＝12，由题意得，ABAC＝∴16＝x12，解得x21.甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a＋b，2a＋b，a－b，除正面的代数式不同外，其余均相同．(1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当a＝1，b＝－2时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；(2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果(化为最简)，并求出和为单项式的概率．a＋b2a＋ba－ba＋b2a＋2b2a2a＋ba－b2a21.解：(1)当a＝1，b＝－2时，a＋b＝－1，2a＋b＝0，a－b＝3.从三张卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果，其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种，∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为13(2)补全表格如下：a＋b2a＋ba－ba＋b2a＋2b3a＋2b2a2a＋b3a＋2b4a＋2b3aa－b2a3a2a－2b共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果有：2a，3a，2a，3a，共4种，∴和为单项式的概率为4922.中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E.(注：图中所有点均在同一平面)(1)求β的大小及tanα的值；(2)求CP的长及sin∠APC的值．22.解：(1)∵CE＝DQ＝BQ－BD＝4－3＝1m，PE＝PQ－EQ＝PQ－AB＝2.6－1.6＝1m，∴CE＝PE，∵∠CEP＝90°，∴β＝45°；∴tan

α＝PEAE＝PE(2)CP＝CE2＋PE2＝如解图，过点C作CF⊥AP于点F，设CF＝x，∵tan

α＝CFAF＝14，∴AF＝4x，∴AC＝AF2＋CF2解得x＝31717，即CF＝∴sin

∠APC＝CFCP＝317解图23.情境

图①是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图②所示的钻石型五边形，数据如图所示．(说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余)操作

嘉嘉将图①所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．如图③，嘉嘉沿虚线EF，GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图④所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：(1)直接写出线段EF的长；(2)直接写出图③中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长．探究淇淇说：将图①所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图⑤所示纸片的BC边上找一点P(可以借助刻度尺或圆规)，画出裁剪线(线段PQ)的位置，并直接写出BP的长．23.解：(1)EF＝1；【解法提示】如解图①，设拼接后点G，H对应的点为G′，H′，过G′作G′K⊥FH′于K，结合题意可得：四边形FOG′K为矩形，∴FO＝KG′，由拼接可得：HF＝FO＝KG′，由正方形的性质可得，∠A＝45°，△AHG，△H′G′D，△AFE为等腰直角三角形，∴△G′KH′为等腰直角三角形，设H′K＝KG′＝x，∴H′G′＝H′D＝2x，∴AH＝HG＝2x，HF＝FO＝x，∵正方形的边长为2，∴对角线的长22＋22＝22，∴OA＝2，∴x＋x＋2x＝2，解得x＝2－1，∴EF＝AF＝AH＋HF＝2x＋x＝(2＋1)x＝(2＋1)(2解图①(2)BE＝GH＝AH＝GE.【解法提示】∵GE＝G′H′＝2x＝2(2－1)＝2－2，AH＝GH＝2x＝2－2，∴BE＝GE＝AH＝GH.∵△AFE为等腰直角三角形，EF＝AF＝1，∴AE＝2EF＝2，∴BE＝2－2.探究

BP的长为2或2－2.【解法提示】如解图②，以B为圆心，BO为半径画弧交BC于点P′，交AB于Q′，则直线P′Q′为分割线，此时BP′＝BQ′＝2，P′Q′＝2＋2＝2，符合要求，或以C圆心，CO为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，则直线PQ为分割线，此时CP＝CQ＝2，PQ＝2＋2＝2，∴BP＝2－2.综上，BP的长为2或2解图②24.某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试．考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x(分)换算为报告成绩y(分).已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分．换算规则如下：当0≤x＜p时，y＝80x当p≤x≤150时，y＝20（x(其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线)公司规定报告成绩为80分及80分以上(即原始成绩为p及p以上)为合格．(1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若p＝100，求甲、乙的报告成绩；(2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值；(3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：原始成绩(分)95100105110115120125130135140145150人数1225810716201595①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．24.解：(1)∵p＝100，x甲＝95，0＜95＜100，∴y＝80xp＝80×95100∵x乙＝130，100＜130＜150，∴y＝20（x－p）150－p＋80＝∴甲的报告成绩是76分，乙的报告成绩是92分；(2)∵0≤x＜p时，y＝80xp，∴80x又∵p≤x≤150时，y＝20（x－p）150－p＋80，设丁的原始成绩为x，则丙的原始成绩为x＋40，∵丙的报告成绩92＞80，∴y丙＝20（x＋40－p∵丁的报告成绩64＜80，∴y丁＝80xp＝64②，∴由②得5x＝4p，由①得20(x＋40－p)＝12(150－p∴8p＝1

000，p＝125；(3)①这100名员工原始成绩的中位数为130分；②该公司此次测试的合格率为95%.(解法提示)

∵报告成绩90＞80，∴x＞p，∴90＝20（130－p）150－p＋80，解得p＝110，∴该公司此次25.已知⊙O的半径为3，弦MN＝25.△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝32.在平面上，先将△ABC和⊙O按图①位置摆放(点B与点N重合，点A在⊙O上，点C在⊙O内)，随后移动△ABC，使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动．设BN＝x.(1)当点B与点N重合时，求劣弧A⏜的长(2)当OA∥MN时，如图②，求点B到OA的距离，并求此时x的值；(3)设点O到BC的距离为d.①当点A在劣弧M⏜上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值②直接写出d的最小值．25.解：(1)如解图①，连接OA，ON，∵AN＝OA＝ON＝3，∴△AON是等边三角形，∴∠AON＝60°，∴劣弧A⏜的长为60×π解图①(2)如解图②，过点O作OD⊥MN于点D，过点B作BE⊥AO于点E，连接ON，则DN＝12MN＝5∵ON＝3，∴OD＝ON2－DN2＝32－（5）2＝2，BE＝OD∵AE＝AB2－BE2＝32－22＝5，∴BD＝EO∴x＝BN＝BD＋DN＝3－5＋5＝3；解图②(3)①如解图③，过点A的切线与AC垂直时，AC过圆心O，过点O作OF⊥BC于点F，AC＝AB2＋BC2＝∵∠ABC＝∠OFC＝90°，∠ACB＝∠OCF，∴△ABC∽△OFC，∴OCAC＝OFAB，

33－333解图③②23【解法提示】如解图④，过点O作OF⊥BC于点F，连接OB，在Rt△OBF中，∵OF＝OB2－BF2，∴当OB最小时，即OB⊥MN时，d最小，过点A作AG⊥BO于点G，连接OA，∵AB＝AO＝3，AG⊥OB，∴BG＝12OB＝1，∵△ABG∽△BOF，∴ABBO＝BGOF，32＝解图④26.如图，抛物线C1：y＝ax2－2x过点(4，0)，顶点为Q.抛物线C2：y＝－12(x－t)2＋12t2－2(其中t为常数，且t＞2)，顶点为(1)直接写出a的值和点Q的坐标；(2)嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上．淇淇说：无论t为何值，C2总经过一个定点．请选择其中一人的说法进行说理．(3)当t＝4时，①求直线PQ的解析式；②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．(4)设C1与C2的交点A，B的横坐标分别为xA，xB，且xA＜xB.点M在C1上，横坐标为m(2≤m≤xB).点N在C2上，横坐标为n(xA≤n≤t).若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n.26.解：(1)a＝12，Q(2，－2)(解法提示)

∵抛物线C1：y＝ax2－2x过点(4，0)，顶点为Q，∴16a－8＝0，解得a＝12，∴抛物线为y＝12x2－2x＝12(x－2)2－2，∴Q(2(2