专题21 相似三角形及其应用（讲义）

第21讲相似三角形及其应用目录TOC\o"1-2"\h\u考点一相似三角形的性质与判定 3题型01添加条件使两个三角形相似 3题型02证明两个三角形相似 4题型03确定相似三角形的对数 5题型04在网格中判断相似三角形 6题型05利用相似的性质求解 6题型06利用相似的性质求点的坐标 7题型07在网格中画与已知三角形相似的三角形 9题型08证明三角形的对应线段成比例 10题型09利用相似三角形的性质求解决折叠问题 11题型10利用相似三角形的性质判断函数图象 12题型11尺规作图与相似三角形综合应用 14题型12三角板与相似三角形综合应用 15题型13平移与相似三角形综合应用 17题型14利用相似三角形的性质与判定求线段比值 19题型15利用相似三角形的性质与判定求最值 21题型16利用相似三角形的性质与判定解决动点问题 23题型17利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题 23考点二相似三角形的常见模型 27题型01A字模型 28题型028字模型 29题型03一线三垂直模型 30题型04三角形内接矩形模型 33题型05旋转相似模型 34考点三相似三角形的应用 38题型01测量树高 38题型02测量旗杆高度 39题型03测量楼高问题 41题型04测量河宽问题 41题型05杠杆问题 42题型06实验问题 43题型07九章算经问题 43题型08三角形内接矩形问题 45考点要求新课标要求命题预测相似三角形的性质与判定了解相似三角形的判定定理.了解相似三角形判定定理的证明.了解相似三角形的性质定理.相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的一个考点.它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察.而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段.需要考生在复习的时候给予加倍的重视!相似三角形的常见模型相似三角形的应用会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.

考点一相似三角形的性质与判定相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”.相似三角形的判定方法：1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2）两个三角形相似的判定定理：①三边成比例的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③两角分别相等的两个三角形相似．④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.相似三角形的性质：1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3）相似三角形周长的比等于相似比.4）相似三角形面积比等于相似比的平方.判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例．易混易错判断网格中三角形是否相似，先运用勾股定理计算出三边的长度，再看对应边的比例是否相等。题型01添加条件使两个三角形相似【例1】（2023·河北邢台·统考一模）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠BAC，则添加下列条件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是（

）A．CA平分∠BCD B．∠DAC=∠ABC C．AC【变式1-1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）如图，要使△ACD∼△ABC，则需要添加的条件是_______________________（填一个即可）

【变式1-2】（2023·江西赣州·统考一模）如图，已知ABAC=ACAD=k，请再添加一个条件，使△ABC∽△ACD题型02证明两个三角形相似【例2】（2022·广东茂名·统考二模）如图所示，点A、D、C、E在同一直线上，满足∠ABC=90°，BD⊥BE，且CB=CE．求证：△ABD∽△AEB

【变式2-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B．请用尺规作图法，在BC边上求作一点M，使△CMA∽【变式2-2】（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是(1)求证：△APC∽△DPB；(2)若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长.【变式2-3】（2023·浙江杭州·杭州育才中学校考一模）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，CE=BF，点Q在线段AB上，且AE求证：(1)∠CAE=∠BAF；(2)△ACE∽△AFQ．题型03确定相似三角形的对数【例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，在△ABC中，∠ABC=∠C=∠BDC=∠AED=72∘

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【变式3-1】（2022·广东江门·校考一模）如图，BD和CE是△ABC的高，在不添加其它字母情况下，则图中相似三角形共有（

）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对题型04在网格中判断相似三角形【例4】（2019·浙江·校联考三模）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④【变式4-1】（2021·辽宁抚顺·统考一模）如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①△ABC；②△CDB；③△DEB；其中能与△ABC相似的是_________．（△ABC除外）题型05利用相似的性质求解【例5】（2023·陕西榆林·校考三模）如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，∠ADE=60°，若AD=4,BDCE=32，则

A．1 B．43 C．2 D．【变式5-1】（2023·浙江杭州·校联考二模）如图，△ABC中，DE∥BC，若ADBD

A．DEBC=23 B．AEAC=23【变式5-2】（2023·云南红河·统考二模）如图，△ADE∼△ACB，DE=5，S△ADE:S四边形BCED

A．8 B．203 C．253【变式5-3】（2023·福建南平·统考二模）在等边三角形ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若△ABC的周长为12，则△ADE的周长为（

）A．3 B．4 C．6 D．9【变式5-4】（2023·甘肃武威·统考三模）已知△ABC∽△DEF，且∠A=30°，∠E=30°，则∠C的度数是（A．120° B．60° C．90° D．30°题型06利用相似的性质求点的坐标【例6】（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第二中学校校考二模）如图，已知点A、B的坐标分别是0,1、0,3，点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标是（

）A．2,0 B．3,0 C．2,0 【变式6-1】（2023·江西九江·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐标轴上有一点P，它与A,C两点形成的三角形与△ABC相似，则P

【变式6-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知抛物线y=ax2−32x+c与x轴交于(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AC，点P为抛物线上一点，且在y轴右侧，过点P作PQ⊥x轴于Q，若△PAQ∽△ACO，请求出点【变式6-3】（2023·江西赣州·统考一模）如图，直线y=ax+2与x轴，y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y=kxx>0相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=4，点A(1)求一次函数和双曲线的解析式；(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当△ABO∼△CQH时，求点Q的坐标．题型07在网格中画与已知三角形相似的三角形【例7】（2023·吉林延边·统考一模）如图是由边长为1的小正方形组成的6×8的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，在给定的网络中，只用无刻度直尺，按要求作图，不要求写画法．

(1)在图①中，作△DEF，使△DEF≌△ABC，且点D、E、F均在格点上．(2)在图②中，作△CGH，使△CGH∽△ABC，点G、H均在格点上，且相似比不为1．(3)在图③中，作∠AMB，使∠AMB=2∠C．【变式7-1】（2023·浙江温州·校考三模）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求画格点三角形（顶点在格点上），且三角形的各个顶点均不与点A，B，C重合．(1)在图1中，作一个格点△DEF，使得△DEF与△ABC相似（相似比不等于1），且AB∥(2)在图2中，作一个格点△PQR，使得△PQR与△ABC全等，且每条对应边都互相垂直． 【变式7-2】（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点及线段MN的端点均在格点（网格线的交点）上．(1)作出△ABC关于直线MN对称的△A(2)画出一个格点△EFC，使△EFC∽△ABC（相似比不为1）．题型08证明三角形的对应线段成比例【例8】（2020·河北唐山·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（

）A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶2【变式8-1】（2020·安徽合肥·统考二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（

）A．2 B．32 C．5 D．【变式8-2】（2023·上海松江·统考一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，且求证：(1)△ABD∼△FCB；(2)BD⋅BE=AD⋅CE．题型09利用相似三角形的性质求解决折叠问题【例9】（2020·重庆·重庆八中校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，点E在边BC上，且BE=35a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B'落在矩形ABCDA．53 B．35 C．53或53 【变式9-1】（2023·河南平顶山·统考模拟预测）如图，△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6，点D、E分别是AC、AB边上的动点，折叠△ADE得到△A'DE，且点A'落在BC边上，若△A'DC恰好与△ABC

【变式9-2】（2020·河南平顶山·统考一模）如图所示，已知等边△ABC，边长为3，点M为AB边上一点，且BM=1，点N为边AC上不与A、C重合的一个动点，连结MN，以MN为对称轴，折叠△AMN，点A的对应点为点P，当点P落在等边△ABC的边上时，AN的长为__________．【变式9-3】（2022·辽宁抚顺·统考一模）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，F是为射线AD上的一个动点，将△AEF沿EF折叠得到△HEF，连接AC，分别交EF和直线EH于点N，M，已知∠BAC＝30∘，BC=2，若△EMN与△AEF相似，则AF题型10利用相似三角形的性质判断函数图象【例10】（2023·河北邯郸·校考三模）在△ABC中，AH⊥BC于点H，点P从B点出发沿BC向C点运动，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图1），而y关于x的函数图象如图2所示．Q1，3是函数图象上的最低点．当△ABP为锐角三角形时x的取值范围为（A．2<x<4 B．1<x<3 C．1<x<4 D．3<x<5【变式10-1】（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4，点P为边AB上一动点，过点P作直线l⊥AB，交折线ACB于点Q．设AP=x,CQ=y，则y关于x的函数图象大致是（

A． B．

C． D．

【变式10-2】（2023·江苏南通·校考一模）如图1，在矩形ABCD中，动点E从点A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于点F，设点E的运动路程为x，FC=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是45，则矩形ABCD的面积是（

A．20 B．16 C．65 D．【变式10-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·校联考二模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P从B点出发，沿B→C→D方向移动，连接DP，过P作PQ⊥DP交边AB于点Q，设点P走的路程为x，线段BQ的长度为y，则y与x之间函数图象大致为（）A． B． C． D．题型11尺规作图与相似三角形综合应用【例11】（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，在△ABC中，AB边上有一点D．

(1)尺规作图：在AC上取一个点E，使得△ADE∽(2)在（1）的基础上，若AD=3cm，AC=6cm，BC=5cm，求DE的长度．【变式11-1】（2023·福建福州·校考模拟预测）已知△ABC．

(1)在边AB上取一点P，使△APC∽△ACB（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，若PB=AC，求PBAB【变式11-2】（2023·广东广州·校考二模）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8

(1)尺规作图，过点D作DE⊥BC交边AC于点E；(2)求ED、(3)点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°，若BP=2，求CQ的长．题型12三角板与相似三角形综合应用【例12】（2022·湖北荆门·校考模拟预测）如图，两块大小不相同的含30°的直角三角板拼在一起，若AB=3，CD=2，则AEA．2 B．32 C．12 【变式12-1】（2023·陕西渭南·统考一模）【问题情景】含30°角的直角三角板ABC中∠A=30°．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<90°)，得到Rt△A'B'C，边(1)如图1，若A'B'边经过点B，则α的度数为_(2)【探究发现】如图2是旋转过程的一个位置，过点D作DE∥A'B'交CB'边于点E，连接(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，设BC=1，△BDE的面积为S，当S=1①求AD的长；②以点E为圆心，BE为半径作⊙E，并判断此时直线A'C与【变式12-2】（2022·吉林长春·校考模拟预测）取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角(0°<α≤45°)得到△ABC试问：(1)当α为多少度时，能使得图②中AB∥DC；(2)当旋转至图③位置，此时α又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比；(3)连接BD，当0°<α≤45°时，探寻∠DBC【变式12-3】（2022·湖南永州·统考二模）如图，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在同一条直线上，AB=BC=40cm，OD=20cm．(1)如图①，当AC与量角器的半圆相切时，求AD的长；(2)如图②，当AB和DE重合时，求证：CF题型13平移与相似三角形综合应用【例13】（2023·河南南阳·统考二模）如图，三角形OAB的顶点O0,0、A6,0、B6,8，C是OB边的中点，过点C作CD⊥OB交x轴于点D，将△OCD沿x轴向右平移，当点C的对应点恰好落在AB边上时，此时点D对应点的坐标为（

A．343,0 B．253,0 C．【变式13-1】（2022·山西晋城·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD是BC边上的中线．将△ABC沿AD方向平移得到△A'B'C'．A'C'与BC相交于点E，连接BA'并延长，与边

【变式13-2】（2023·广东深圳·校考三模）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点C(2，0)，点B132,0，双曲线y=165x经过点A．将△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'，点A'在反比例函数y=kx上，边

【变式13-3】（2023·河北石家庄·校考二模）如图1，正方形ABCD的边长是4，对角线AC的中点为O．△ACD沿AC方向平移得到△A(1)如图2，当点A'移动到点O时，点A'移动的距离是___________，(2)当点A'移动到点O时，将△A'①当A'C'过BC②P、Q分别是边AB、BC上的点，且AP=2PB，CQ=2BQ．嘉嘉说，当A'C'过点P时，A

题型14利用相似三角形的性质与判定求线段比值【例14】（2021·广东江门·校联考模拟预测）如图，线段AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，过点C的直线与AD的延长线垂直，垂足为点E，与AB的延长线相交于点F，连接OE，交AC于点G．(1)求证：FC是⊙O的切线；(2)连接DC、CO，判断四边形(3)求OG与GE的比值．【变式14-1】（2023·湖南株洲·校考三模）已知：如图，过原点的直线l1与反比例函数y1=mx(x>0)的图像交于点A2,4，与反比例函数y2=2xx<0的图像交于点Ba,b，过原点的直线l2与y1，y2的图像分别相交于

(1)求m和ab的值；(2)当直线l2绕点O①直接写出比值OCOD②点E是否在某个反比例函数的图像上运动？如果是，请求出这个反比例函数的解析式；如果不是，请说明理由．【变式14-2】（2023·江苏无锡·模拟预测）（1）如图1，正方形ABCD，点E、F分别在边AB、BC上，连接AF与DE交于点O，有∠FOD＝90°，则AFDE=_____

（2）如图2，平行四边形ABCD，AB=285，BC=165，点E、F分别在边AB、BC上，连接AF与DE交于点O，当∠FOD＝∠

（3）如图3，四边形ABCD，AB＝113，∠B＝∠ADC＝120°，BC＝45，CDAD=97，点E在边AB上，连接AC与DE交于点O，当∠COD＝∠

题型15利用相似三角形的性质与判定求最值【例15】（2019·广东·江门市第二中学校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D，点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．(1)求线段CD的长；(2)当△CPQ与△BDC相似时，求t值；(3)设△CPQ的面积为y，求y与t的函数关系式，并判断△PCQ的面积是否有最大值还是最小值？若有，求出t为何值时y的最值，若没有，则说明理由．【变式15-1】（2022·山东济宁·统考一模）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，AC⊥BC,CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD=a，BD=b0<a<b①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；②比较大小：CE__________CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．【应用】（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y=1xx>0的图像上，横坐标分别为m、n．设p=m+n,q=①当m=1,n=2时，l=__________；当m=3,n=3时，l=________；②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．题型16利用相似三角形的性质与判定解决动点问题【例16】（2023·广东茂名·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，点E为BC上的动点，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，EF与AC相交于点G，若AB=3AD，AC=3，BC=6，CG=0.8，则CE的值为__________________．【变式16-1】（2023·广东深圳·深圳市桂园中学校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=6−23，点P是BC上一动点，PD⊥AC，PE⊥AB，线段D

题型17利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题【例17】（2023·广东汕尾·统考二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（B在A的左边），与y轴交于点C0,3，顶点为D−1,4(1)求该抛物线所对应的函数关系式；(2)如图，若点P是第二象限内抛物线上的一动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点E，连接PC，是否存在点P，使得△PCE与△BME相似？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式17-1】（2023·广东深圳·校考模拟预测）【问题发现】数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：请你帮助解决

（1）若四边形ABCD是菱形，边长为2，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，如图1，连接CE、DE，则BP与CE的数量关系为_______，DE长度的最小值为__________．【类比探究】数学小组对该问题进一步探究，请你帮助解决：（2）如图2，若四边形ABCD是正方形，边长为2，点O为BD中点，点P是射线BD上一动点，以AP为斜边在AP边的右侧作等腰Rt△APE，∠AEP=90°，连接OE、DE①BP与OE的数量关系；②求DE长度的最小值．【拓展应用】（3）如图3，在（2）的基础上，当P是对角线BD的延长线上一动点时，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰Rt△APE，∠APE=90°，连接BE，若AB=2，BE=6，求△BPE【变式17-2】（2023·广东湛江·统考二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点(B在A的左边)，与y轴交于点C0,3，顶点为D(1)求该抛物线所对应的函数关系式；(2)如图，若点P是第二象限内抛物线上的一动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点E，连接PC，是否存在点P，使得△PCE与△BME相似？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式17-3】（2022·湖北宜昌·校联考模拟预测）如图，已知平行四边形ABCD中，AD=5，AB=5，tanA=2，点E是射线AD上一动点，过点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结CE、CF．设AE=m．(1)如图当点E在边AD上时．①求证△AEF∽△BGF．②当S△DCE=4S(2)当点E在边AD的延长线上时，是否存在这样的点E使△AEF与△CFG相似？如果存在求出此时AE的长度m．【变式17-4】（2023·湖南长沙·统考模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+4a>0与x轴交于点A1,0和B4,0，与(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，联结OQ，当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE=2∠ODQ，在直线QE上是否存在点F，使得△BEF与△ADC相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

考点二相似三角形的常见模型模型图形结论证明过程（思路）A字模型①∆ADE~∆ABC②AD1)已知DE∥BC则∠ADE=∠ABC而∠A=∠A所以∆ADE~∆ABC2)已知∠1=∠2∠A=∠A所以∆ADE~∆ABC共边反A字模型①∆ABC~∆ACD②AB③AC2=AB•AD剪刀反A字模型①∆ABC~∆ADE②AB证明过程参照按照2）8字模型正8字模型①∆AOB~∆COD②AO反8字模型①∆AOB~∆DOC②AO3)已知AB∥DC则∠A=∠C而∠AOB=∠DOC所以∆AOB~∆COD4)已知∠1=∠2∠AOB=∠DOC所以∆AOB~∆DOC一线三垂直①∆ABC~∆CDE②AB③当点C为BD中点时，∆ABC~∆CDE~∆ACE5)∵∠B=∠D=∠ACE=90°∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°则∠1=∠3由此可得∆ABC~∆CDE6)∵∆ABC~∆CDE∴ABCD=AC则ABBC∠B=∠ACE=90°∴∆ABC~∆ACE则∆ABC~∆CDE~∆ACE三角形内接矩形①∆ABC~∆ADG②AD③若四边形DEFG为正方形即DGBC=AMAN则xBC=AN−xAN若已知B7)∵四边形DEFG为矩形∴DG∥BC而AN⊥BC∴∆ABC~∆ADG∠AMG=∠ANC=90°∴ADAB旋转相似模型①∆ABD~∆ACE∵∆ADE~∆ABC∴∠BAC=∠DAEAD而∠1+∠DAC=∠BAC，∠2+∠DAC=∠DAE∴∠1=∠2∴∆ABD~∆ACE题型01A字模型【例1】（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考二模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，ADDB=23，DE＝6cm，则BCA．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【变式1-1】（2022·广东中山·统考一模）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B=∠ACD，AC:AB=1:2，则△ADC与△ACB的周长比是（

）A．1:2 B．1:2 C．1:3 D．【变式1-2】（2023·河南驻马店·统考一模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，DEBC(1)若AB=8，求线段AD的长．(2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．题型028字模型【例2】（2023·山东淄博·统考一模）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（

）A．5 B．6 C．163 D．【变式2-1】（2020·湖北武汉·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果CEBE=2【变式2-2】（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（

）A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm【变式2-3】（2023·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若AB=6，则△AEF的面积为___________．题型03一线三垂直模型【例3】（2018·湖南永州·校联考一模）如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G．（1）求证：AE＝BF；（2）若BE＝3，AG＝2，求正方形的边长．【变式3-1】（2023·广西·模拟预测）如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐标是（

）

A．(7,2) B．(7,5) C．(5,6) D．(6,5)【变式3-2】（2020·重庆·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则

A．163 B．8 C．10 D．【变式3-3】（2018·河南信阳·统考二模）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝1x的图象上．若点B在反比例函数y＝kx的图象上，则k的值为【变式3-4】（2020·福建漳州·统考模拟预测）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=14AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP【变式3-5】（2019·四川成都·校联考一模）感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在BC边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝62，BD＝4，则DE的长为______．【变式3-6】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，过点A、B分别作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，则DE=AD+BE

(1)【类比探究】如图2，在△ABC中，AC=BC，且∠ACB=∠ADC=∠BEC=100°，上述结论是否成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论．(2)【拓展延伸】①如图3，在△ABC中，AC=nBC，且∠ACB=∠ADC=∠BEC=100°，猜想线段DE、AD、BE之间有什么数量关系？并证明你的猜想．②若图1的Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=nBC，并将直线l绕点C旋转一定角度后与斜边AB相交，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E，请在备用图上画出图形，并直接写出线段DE、AD、BE题型04三角形内接矩形模型【例4】（2021·山东淄博·统考二模）如图，在△ABC中，BC=120，高AD=60，正方形EFGH一边在BC上，点E,F分别在AB,AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（

）A．15 B．20 C．25 D．30【变式4-1】（2023·云南·模拟预测）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH=2EF,AD是△ABC的高．BC=8,AD=6，那么EH的长为____________．【变式4-2】（2022·内蒙古包头·校考三模）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC,BC=3,AD=2,EF=23EH，那么EHA．23 B．13 C．32【变式4-3】（2023·湖南长沙·统考二模）如图，已知在△ABC中，BC=20，高AD=16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC边上，G、H分别在AC、AB上，则内接矩形EFGH的最大面积为

题型05旋转相似模型【例5】（2023·湖南岳阳·统考三模）

(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD①求BDCE②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．【变式5-1】（2021·山东德州·校考一模）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG【变式5-2】（2023·广东深圳·深圳市福田区上步中学校考三模）问题背景：小李在探究几何图形的时候，发现了一组非常神奇的性质：如图1，等边三角形△ABC，△CDE中，连接AD，BE可以得到△ACD≌△BCE，好学的他发问取迁移应用：如图2，在正方形ABCD中，点O为CB的中点，构造正方形EHMF绕O点进行旋转，OE=OF，连接AH，BE，联系拓展：如图3，等腰Rt△ABC，△BDE中，AB=AC，BD=DE，∠BDE=∠BAC=90°，当△BDE绕B点旋转的过程中取AD，CE的中点M，N，连接MN，若

【变式5-3】（2022·安徽合肥·校考三模）在△ABC和△AED中，点E为△ABC内一点，∠ABC=∠AED=60°，∠ACB=∠ADE=α．(1)如图①，若α=60°，求证：BE=CD．(2)如图②，若α=90°，直线BE分别交线段AC和直线CD于点H、G，求CDBE(3)在（2）的条件下，若AC=9，AD=6，将△ADE绕点A旋转，当点H恰是线段AC的三等分点时，请直接写出AG的长．

考点三相似三角形的应用1.利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．2.利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．3.借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．题型01测量树高【例1】（2023·安徽宿州·统考一模）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．(2)估计路灯AO的高，并求影长PQ的步数．(3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．测得DF=0.5m，EF=0.3m，CD=10m，小明眼睛到地面的距离为1.5m，则树高【变式1-1】（2022·陕西渭南·统考一模）雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场上E处有一处积水，如图，若小李站在D处距积水2米，他正好从水面上看到距他约10米的前方一棵树的顶端A的影子．已知点D、E、B在同一直线上，AB⊥BD，CD⊥BD，小李的眼睛到地面的距离CD为1.6米，求树AB的高．（∠CED＝∠AEB，积水水面大小忽略不计）题型02测量旗杆高度【例2】（2023·广东深圳·校考一模）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆AB之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度CD为1.6m，观测员到标记E的距离CE为2m，旗杆底部到标记E的距离AE为16m，则旗杆AB的高度约是（A．22.5m B．20m C．14.4m【变式2-1】（2023·江苏泰州·泰州市海军中学校考三模）某学习小组利川直立在地而上标杆DE测量直立在同一水平地面上的旗杆AB的高度（如图），同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光，下的影长分别BC=8.8m,EF=2.2m已知B，C，E，F在同一直线上AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.4m

【变式2-2】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）问题背景：在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的旗杆和景观灯进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得学校旗杆的影长为900cm，在影子的外端F点处测得旗杆顶端E的仰角为53°．乙组：如图2，测得校园景观灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．

任务要求：(1)请根据以上的信息计算出学校旗杆的高度；(2)如图2，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据以上的信息，求景观灯灯罩的半径（景观灯的影长等于线段NG的影长．）（参考数据：sin53°≈题型03测量楼高问题【例3】（2023·北京顺义·统考二模）如图，要测量楼高MN，在距MN为15m的点B处竖立一根长为5.5m的直杆AB，恰好使得观测点E、直杆顶点A和高楼顶点N在同一条直线上．若DB=5m，DE=1.5m，则楼高MNA．13.5m B．16.5m C．17.5m【变式3-1】（2021·浙江台州·统考一模）如图，为测量楼高AB，在适当位置竖立一根高2m的标杆MN，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长AC=20m, MP=2.5A．15m B．16m C．18m题型04测量河宽问题【例4】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，为了估算河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点2米远的B点，立一根长为1米的标杆AB，在河对岸的岸边有一块高为2.5米的安全警示牌MF，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即PM=PN，两岸均高出水平面1.25米，即DE=FP=1.25米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？【变式4-1】（2021·陕西西安·校考一模）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．题型05杠杆问题【例5】（2023·吉林白城·校联考三模）如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图②中，杠杆的D端被向上翘起的距离BD=9cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA=3OB（AB与CD相交于点O），要把这块石头翘起，至少要将杠杆的C点向下压______cm．

【变式5-1】（2023·宁夏银川·银川市第三中学校考一模）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm.题型06实验问题【例6】（2023·河南南阳·统考一模）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为m，当蜡烛火焰的高度AB是它在光屏上所成的像A'B'高度的1A．m B．13m C．3m 【变式6-1】（2023·陕西西安·校考一模）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧：入射角i等于反射角r，这就是光的反射定律．【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE=3.5m，点FE到地面的高度CF=1.5m，灯泡到木板的水平距离AC=5.4m，木板到墙的水平距离为CD=4m．图中题型07九章算经问题【例7】（2022·福建泉州·统考一模）我国古代数学著作《九章算法比类大全》有题如下：“方种芝麻斜种黍，勾股之田十亩无零数．九十股差方为界，勾差十步分明许．借问贤家如何取，多少黍田多少芝麻亩．算的二田无误处，智能才华算中举．”大意是：正方形田种芝麻，斜形（三角形）种黍，有一块直角三角形ABC是10亩整．股差AD=90步，勾差BF=10步．请问黍田、芝麻各多少亩？（1亩=240平方步）答：（

）A．艺麻田3.75亩，黍田6.25亩 B．芝麻田3.25亩，黍田6.75亩C．芝麻田3.70亩，黍田6.30亩 D．芝麻田3.30亩，黍田6.70亩【变式7-1】（2023·江苏宿迁·统考三模）《孙子算经》中记载一题：“今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问：竿长几何？”其大意是：“今有一根木杆，不知道其长度．量它的影子，等于1丈5尺．另外再有一根标杆，杆长1尺5寸，量得标杆的影子为5寸．问：木杆长多少？”（注：一丈＝十尺，一尺＝十寸）．若单位统一为尺，则木杆长______尺．【变式7-2】（2023·四川成都·统考一模）《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础．某班数学兴趣小组利用《海岛算经》中第一个问题的方法进行如下测量：如图，要测量一栋建筑物的高度AH，立两根高3米的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD=19米，D，B，H成一线，从B处退5米到F，人的眼睛贴着地面观察A点，A，C，F三点成一线；从D处退6米到G，从G观察A点，A，E，G三点也成一线．请你帮助小组同学，试计算该建筑物的高度AH及HB的长．题型08三角形内接矩形问题【例8】（2020·四川绵阳·统考二模）△ABC中，BC=12，高AD=8，矩形EFGH的一边GH在BC上，顶点E、F分别在AB、AC上，AD与EF交于点M．(1)求证：AMAD(2)矩形EFGH可以为正方形吗?若能，请求出正方形的面积，若不能，请说明理由；(3)设EF=x，EH=y，设矩形EFGH的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最值．【变式8-1】（2020·广东江门·统考二模）如图，有一块三角形土地，它的底边BC＝100m，高AH＝80m．某单位要沿着底边BC修一座底面积是矩形DEFG的大楼．（1）求地基的面积y（m2）和边EF的长x（m）的函数关系式；（2）当地基的边长EF为多少时地基的面积最大，最大面积是多少？【变式8-2】（2018·河北邢台·统考一模）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝12cm，高AD＝8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，且矩形的长与宽的比为3∶2，求这个矩形零件的边长．【变式8-3】（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

第21讲相似三角形及其应用答案解析考点一相似三角形的性质与判定题型01添加条件使两个三角形相似【例1】（2023·河北邢台·统考一模）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠BAC，则添加下列条件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是（

）A．CA平分∠BCD B．∠DAC=∠ABC C．AC【答案】C【分析】可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等或两组对角相等来证明两个三角形相似．【详解】解：A、由CA平分∠BCD可得∠BCA=∠ACD，结合∠ADC=∠BAC，可以证明△ABC∽△DAC，故此选项不符合题意；B、由∠DAC=∠ABC，结合∠ADC=∠BAC，可以证明△ABC∽△DAC，故此选项不符合题意；C、由ACBC=CDAC，结合D、由ADAB=CDAC，结合故选C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．【变式1-1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）如图，要使△ACD∼△ABC，则需要添加的条件是_____________（填一个即可）

【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一）【分析】由图可得△ABD与△ACB有一个公共角∠C，再根据相似三角形的判定方法即可得到结果.【详解】∵∠A=∠A，∠ACD=∠B∴△ACD∼△ABC.故填：∠ACD=∠B【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似.【变式1-2】（2023·江西赣州·统考一模）如图，已知ABAC=ACAD=k【答案】BCCD=k【分析】根据相似三角形的判定定理即可进行解答．【详解】解：添加BCCD∵ABAC∴△ABC∽△ACD；添加∠BAC=∠CAD，∵ABAC=AC∴△ABC∽△ACD；故答案为：BCCD=k或【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握：三边分别成比例的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似；有两个角相等的两个三角形相似．题型02证明两个三角形相似【例2】（2022·广东茂名·统考二模）如图所示，点A、D、C、E在同一直线上，满足∠ABC=90°，BD⊥BE，且CB=CE．求证：△ABD∽

【答案】见解析【分析】先根据同角的余角相等，得∠ABD=∠CBE，再根据“等边对等角”可得∠ABD=【详解】证明：∵∠ABC=90°，∠DBE=90°，∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC，即∠ABD=∵BC=CE，∴∠CBE=∠E，∴∠ABD=∠E..又∵∠A=∠A，∴△ABD∽【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．即两角相等的两个三角形相似.【变式2-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B．请用尺规作图法，在BC边上求作一点M，使△CMA∽【答案】见解析【分析】作∠BAC的平分线，交BC边于点M，此时∠CMA=∠CAB．【详解】解：点M即为所作，∵AM平分∠BAC，∴∠BAM=∠CAM，∵∠BAC=2∠B，∴∠B=∠CAM，∵∠MCA=∠ACB，∴△CMA~△CAB．【点睛】本题考查了作角平分线，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．【变式2-2】（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是

(1)求证：△APC∽△DPB；(2)若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长.【答案】(1)证明见解析；(2)x=【分析】（1）由等腰三角形得∠C=∠ABC，由角平分线得∠ABC=∠CBD，进而可得∠C=∠CBD，证得AC∥（2）由△APC∽△DPB得【详解】（1）证明：∵AB=AC∴∠C=∠ABC∵BC平分∠ABD∴∠ABC=∠CBD∴∠C=∠CBD∴AC∴∠C=∠DBP,∠CAP=∠D∴△APC（2）设PD=x∵PC=AD∴PC=1+x∵△APC∴AP∴1∴x=

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练相关判定方法是解题的关键．【变式2-3】（2023·浙江杭州·杭州育才中学校考一模）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，CE=BF，点Q在线段AB上，且AE求证：(1)∠CAE=∠BAF；(2)△ACE∽△AFQ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可；（2）根据△ACE≌△ABF得出AE=AF，∠CAE=∠BAF，根据AE²=AQ·AB，AC=AB，得出AEAQ【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ACE和△ABF中，AC=AB∠C=∠B∴△ACE≌△ABFSAS∴∠CAE=∠BAF；（2）证明：∵△ACE≌△ABF，∴AE=AF，∠CAE=∠BAF，∵AE²=AQ·AB，AC=AB，∴AEAQ=AB∴△ACE∽△AFQ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．题型03确定相似三角形的对数【例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，在△ABC中，∠ABC=∠C=∠BDC=∠AED=72

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【答案】C【分析】首先算出三角形中角的度数，即可得到答案．【详解】解：∵∠ABC=∠C=∠BDC=∠AED=72∴∠A=180°−∠ABC−∠C=180°−72°−72°=36°，∴∠ADE=180°−∠A−∠AED=180°−36°−72°=72°，∴∠DBC=180°−∠C−∠BDC=180°−72°−72°=36°，∵∠AED=∠ABC，∴ED//BC，∴∠EDB=∠DBC=36°，∴∠BED=180−∠EBD−∠EDB=180−36°−36°=108°，∴∠DBC=180°−∠C−∠BDC=180°−72°−72°=36°，∠ADB=∠ADE+∠EDB=72°+36°=108°，∵∠AED=∠ABD，∠ADE=∠ACB，∴△AED∼△ABC，∵∠AED=∠C，∠ADE=∠BDC，∴△AED∼△BCD，∵∠ABD=∠C，∠ACB=∠BDC，∴△BCD∼△ABC，∵∠A=∠EBD，∠ADB=∠BED，∴△EBD∼△DAB．故相似的三角形对数为4对：故选：C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【变式3-1】（2022·广东江门·校考一模）如图，BD和CE是△ABC的高，在不添加其它字母情况下，则图中相似三角形共有（

）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【答案】A【分析】利用相似三角形的判定方法可判定△ABD∽△ACE，【详解】解：∵BD和CE是△ABC的高，∴∠AEC=∠ADB=90°，∵∠A=∠A，∴△ABD∽∵∠BEC=∠BDC=90°，∴点B，点C，点D，点E四点共圆，∴∠ACB+∠BED=180°，∵∠BED+∠AED=180°，∴∠ACB=∠AED，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽∴相似三角形共有2对，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，圆的有关知识，掌握相似三角形的判定是解题的关键．题型04在网格中判断相似三角形【例4】（2019·浙江·校联考三模）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④【答案】D【分析】设小长方形的长为2a，宽为a．利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断．【详解】由题意可知：小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为a，则长为2a，∴图①中的三角形三边长分别为2a、(2a)2图②中的三角形三边长分别为2a,(2a)2图③中的三角形三边长分别为2a.(2a)2图④中的三角形三边长分别为(2a)2+(a)∴①和②图中三角形不相似；∵2a∴②和③图中三角形不相似；∵2a∴①和③图中三角形不相似；∵2a∴①和④图中三角形相似．故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．【变式4-1】（2021·辽宁抚顺·统考一模）如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①△ABC；②△CDB；③△DEB；其中能与△ABC相似的是_________．（△ABC除外）【答案】③（△DEB）【分析】分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答．【详解】解：根据网格可知：AB=1，AC=12+12=2，BC=12+22=5，△同理可求：②△CDB的三边之比是CD：BC：BD＝1：5：22；③△DEB中DE：BD：BE＝2：22：25＝1：2：5∴③（△DEB）与△ABC相似，故答案为：③△DEB．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑是解题关键．题型05利用相似的性质求解【例5】（2023·陕西榆林·校考三模）如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，∠ADE=60°，若AD=4,BDCE=32

A．1 B．43 C．2 D．【答案】D【分析】利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∴∠ADB+∠BAD=180°−∠B=120°．∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=180°−∠ADE=120°，∴∠ADB+∠BAD=∠ADB+∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，∴△BAD∽△CDE，∴BDCE∴4DE∴DE=8故选：D．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．【变式5-1】（2023·浙江杭州·校联考二模）如图，△ABC中，DE∥BC，若ADBD

A．DEBC=23 B．AEAC=23【答案】D【分析】由ADBD=23得到ADAB【详解】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∴△ADE∽△ABC，∴AD∵ADBD∴AD∴AD∴S故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【变式5-2】（2023·云南红河·统考二模）如图，△ADE∼△ACB，DE=5，S△ADE:S四边形BCED

A．8 B．203 C．253【答案】C【分析】根据S△ADE:S四边形BCED【详解】解：∵S△ADE∴S△ADE∴相似比为k=3:5，即DEBC=3∴BC=25故选：C．【点睛】本题考查了形似三角形的性质，解题的关键是掌握面积比是相似比的平方．【变式5-3】（2023·福建南平·统考二模）在等边三角形ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若△ABC的周长为12，则△ADE的周长为（

）A．3 B．4 C．6 D．9【答案】C【分析】利用中位线定理，得到三角形相似，运用周长之比等于相似比计算选择．【详解】设三角形的周长用C表示，∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=∴△ADE∽△ABC，∴C△ADE∴C△ADE∴C△ADE故选C．【点睛】本题考查了中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．【变式5-4】（2023·甘肃武威·统考三模）已知△ABC∽△DEF，且∠A=30°，∠E=30°，则∠C的度数是（A．120° B．60° C．90° D．30°【答案】A【分析】根据相似三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，进行求解即可．【详解】解：∵△ABC∴∠ABC=∠E=30°∵∠A=30°∴∠C=180°−∠A−∠ABC=120°故选A．【点睛】本题考查相似三角形的性质、三角形的内角和定理．熟练掌握相似三角形的对应角相等，是解题的关键．题型06利用相似的性质求点的坐标【例6】（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第二中学校校考二模）如图，已知点A、B的坐标分别是0,1、0,3，点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标是（

）A．2,0 B．3,0 C．2,0 【答案】B【分析】过点A、B作⊙P，点⊙P与x轴相切于点C时，利用圆周角大于对应的圆外角得到此时∠ACB最大，连接PA、PB、PC，作PH⊥y轴于H，如图，利用垂径定理得AH=BH=1，则OH=2，再根据切线的性质得PC⊥x轴，则四边形PCOH为矩形，所以PC=OH=2，则PA=2，在RtΔPAH中，利用勾股定理计算出PH=3，于是可得到C点坐标为(3，【详解】解：过点A、B作⊙P，点⊙P与x轴相切于点C时，∠ACB最大，连接PA、PB、PC，作PH⊥y轴于H，如图，∵点A、B的坐标分别是(0,1)、(0,3)，∴OA=1，AB=3−1=2，∵PH⊥AB，∴AH=BH=1，∴OH=2，∵⊙P与x轴相切于点C，∴PC⊥x轴，∴四边形PCOH为矩形，∴PC=OH=2，∴PA=2，在RtΔPAH中，PH=P∴C点坐标为(3，0)故选：B．【点睛】本题考查了圆的综合题，熟练掌握垂径定理、圆周角定理,勾股定理,坐标与图形，掌握相关定理性质是解题的关键．【变式6-1】（2023·江西九江·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐标轴上有一点P，它与A,C两点形成的三角形与△ABC相似，则P

【答案】3,0或0,2或0,3【分析】分两种情形：当点P在x轴上时，△PAC∼△CAB时，当点P'在y轴上时，△P'【详解】解：如图，

∵A(1,∴OA=OC=1,∴AC=2当点P在x轴上时，△PAC∼△CAB时，∴ACAB∴21∴PA=2，∴OP=3，∴P(3,当点P'在y轴上时，△∵AC=CA，∴AB=CP∴OP∴P'当△P″AC∼△BCA∴C∴O∴P综上所述，满足条件的点P的坐标为3,0或0,2或0,3．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会与分类讨论的射线思考问题．【变式6-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知抛物线y=ax2−32x+c与x轴交于(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AC，点P为抛物线上一点，且在y轴右侧，过点P作PQ⊥x轴于Q，若△PAQ∽△ACO，请求出点【答案】(1)y=(2)5,3或者3,−4【分析】（1）利用待定系数法即可作答；（2）设Px,12x2−32x−2，且x>0，即有Qx,0，可得QO=x，PQ=12x2−【详解】（1）将A(−1,0)、B(4,0)代入y=axa×−1解得：a=1即抛物线解析式为：y=1（2）如图，设Px,12∵PQ⊥x轴，∴Qx,0∴QO=x，PQ=1当x=0时，y=−2，即C0,−2∴OC=2，∵A(−1,0)，∴AO=1，即AQ=AO+OQ=1+x，∵△PAQ∽∴COAO∴21即：x2当x2−3x−4>0时，解得：x=5（x=−1舍去），即：P5,3当x2−3x−4<0时，解得：x=3（x=−1舍去），即：P3,−4综上：点P的坐标为：5,3或者3,−4．【点睛】本题考查了待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，解一元二次方程等知识，掌握相似三角形的性质以及解一元二次方程的方法是解答本题的关键．【变式6-3】（2023·江西赣州·统考一模）如图，直线y=ax+2与x轴，y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y=kxx>0相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=4，点A(1)求一次函数和双曲线的解析式；(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当△ABO∼△CQH时，求点Q的坐标．【答案】(1)y=12(2)Q【分析】（1）A的坐标为−4,0，代入直线y=ax+2待定系数即可求解；进而根据PC=4，即点P的纵坐标为4，代入y=12x+2（2）设HQ为x，则CH=2x，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：∵A的坐标为−4,0，代入直线y=ax+2∴0=−4a+2，解得a=∴y=1∵PC=4，即点P的纵坐标为4，代入y=1∴4=解得：x=4，即P4,4将P4,4代入∴4=k4∴y=16（2）当△ABO∼△CQH时∴AO设HQ为x，则CH=2x∴Q4+2x,x代入反比例解析式x=∴解得x=−4或2∵x>0∴x=2∴Q8,2【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．题型07在网格中画与已知三角形相似的三角形【例7】（2023·吉林延边·统考一模）如图是由边长为1的小正方形组成的6×8的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，在给定的网络中，只用无刻度直尺，按要求作图，不要求写画法．

(1)在图①中，作△DEF，使△DEF≌△ABC，且点D、E、F均在格点上．(2)在图②中，作△CGH，使△CGH∽△ABC，点G、H均在格点上，且相似比不为1．(3)在图③中，作∠AMB，使∠AMB=2∠C．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）利用网格的特点和三角形全等的判定方法SSS进行作图即可；（2）根据相似三角形的判定方法和网格的特点作图即可；（3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AM=BM=CM=12BC，则∠MAC=∠C【详解】（1）解：如图，△DEF满足题意，

（2）如图，△CGH满足题意，

（3）如图，∠AMB满足题意，

【点睛】此题考查全等三角形的判定、相似三角形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，根据网格特点正确作图是解题的关键．【变式7-1】（2023·浙江温州·校考三模）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求画格点三角形（顶点在格点上），且三角形的各个顶点均不与点A，B，C重合．(1)在图1中，作一个格点△DEF，使得△DEF与△ABC相似（相似比不等于1），且AB∥(2)在图2中，作一个格点△PQR，使得△PQR与△ABC全等，且每条对应边都互相垂直．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据相似三角形的判定画出图形即可（答案不唯一）；（2）根据全等三角形的判定，画出图形即可（答案不唯一）．【详解】（1）解：如图，△DEF即为所求；

或者，满足DE∥；（2）解：如图，△PQR即为所求；

或者，满足AB⊥PQ，BC⊥PR，AC⊥QR即可：

.【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．【变式7-2】（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点及线段MN的端点均在格点（网格线的交点）上．(1)作出△ABC关于直线MN对称的△A(2)画出一个格点△EFC，使△EFC∽△ABC（相似比不为1）．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先作出点A、B、C关于直线MN的对称点，再一次连接即可；（2）连接点C和A1B1中点F，连接CM，连接MF，△MFC即为△EFC，点E【详解】（1）解：如图所示：△A（2）解：如图所示：△EFC即为所求．

【点睛】本题主要考查了轴对称的作图，以及作相似三角形，解题的关键是熟练掌握轴对称的作图方法，以及相似三角形对应边成比例，对应角相等．题型08证明三角形的对应线段成比例【例8】（2020·河北唐山·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（

）A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶2【答案】A【分析】利用平行四边形的性质可得出AB∥CD且AB＝CD，结合DE∶EC＝2∶3可得出DEDC＝25，由AB∥CD可得出【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD．∵DE∶EC＝2∶3，∴DEDC＝DEDE+EC＝25∵AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∴DFBF＝DEBA＝故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质结合DE：EC=2：3找出DE：BA的值是解题的关键．【变式8-1】（2020·安徽合肥·统考二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（

）A．2 B．32 C．5 D．【答案】A【分析】延长AD，BE相交于点M，可得△DFG∽△HCG，△DMG∽△HBG，根据相似三角形的性质可得DF=DM，由△MDE∽△CDF可得DEDF=DM【详解】解：如图，延长AD，BE相交于点M，∵DF∥CH，∴△DFG∽△HCG，∴DFCH∵DM∥BH，∴△DMG∽△HBG，∴DMBH∵CH=BH，∴DF=DM，又∵矩形ABCD,∴∠CDF=∠EDM=90°,∵∠BGC=90°,∴∠CGE=90°,∵∠CEG=∠MED,∴∠FCD=∠M,∴△MDE∽△CDF，∴DEDF∴DE∴DF∴DF＝4=2故选：A．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并