专题22.12 二次函数章末重难点突破（学生版）

专题22.12二次函数章末重难点突破【人教版】【考点1二次函数的概念】【例1】（2020秋•涟源市期末）当函数y=(a−1)xa2+1+2x+3A．a＝1 B．a＝±1 C．a≠1 D．a＝﹣1【变式1-1】（2020秋•郫都区期末）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0【变式1-2】下列各式：①y=3x2+2x﹣5；②y＝﹣5+8x﹣3x2；③y＝ax2+bx+c；④y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2；⑤y＝mx2+x；⑥y＝bx2+1；⑦y＝x2+kx+20，其中y是x的二次函数有（填序号）．【变式1-3】函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它为一次函数；当m时，它为二次函数．【考点2二次函数图象的综合】【例2】（2020秋•河东区期中）如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝a（x﹣1）（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B． C．D．【变式2-1】（2020秋•包河区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则抛物线y＝cx2+bx+a的图象大致为（）A．B．C．D．【变式2-2】（2020秋•东营区期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤（a+c）2＜b2．其中结论正确的为（）A．①②④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②③④【变式2-3】（2020秋•鹿邑县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，现有以下结论：①abc＞0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论序号为（）A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【考点3二次函数图像上点的坐标特征】【例3】（2021春•鼓楼区校级月考）已知点A（b﹣m，y1），B（b﹣n，y2），C（b+m+n2，y3）都在二次函数y＝﹣x2+2bx+c的图象上，若0＜m＜n，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2【变式3-1】（2021•雁塔区校级模拟）若二次函数y＝ax2+2ax+3a的图象过不同的三个点A（n，y1），B（1﹣n，y2），C（﹣1，y3），且y1＞y2＞y3，则n的取值范围是（）A．n＜−12 B．n＜−32 C．n＞12且n≠2【变式3-2】（2021•福州模拟）已知抛物线y＝ax2+2ax+c经过点P（1，m），Q（3，m﹣1），R（t，n），若m﹣n＞1，则t的值可以是（）A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2【变式3-3】（2021春•海曙区校级期末）已知抛物线y=12x2﹣x+c经过点P（﹣3，6），点Q（m，n）在抛物线上，若点Q到y轴的距离不大于3．则n的取值范围是（）A．﹣2≤n≤9 B．﹣2＜n≤6 C．﹣2≤n≤6 D．0≤n≤6【考点4二次函数图象几何变换（数形结合）】【例4】将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜5【变式4-1】（2020秋•吴兴区期末）如图，将抛物线y＝﹣x2+x+8图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y＝﹣8的交点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式4-2】（2021•长清区一模）如图，将抛物线y＝（x﹣1）2的图象位于直线y＝4以上的部分向下翻折，得到新的图象（实线部分），若直线y＝﹣x+m与新图象只有四个交点，求m的取值范围．（）A．34＜m＜3 B．34＜m＜7 C．43＜m＜7 【变式4-3】如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是．【考点5二次函数的解析式】【例5】（2021•杭州模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝k（x﹣1）−k24，无论kA．y＝x2 B．y＝x2﹣2x C．y＝x2﹣2x+1 D．y＝2x2﹣4x+2【变式5-1】若某抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c，已知a，b为正整数，c为整数，b＞2a，且当﹣1≤x≤1时，有﹣4≤y≤2成立，则抛物线的函数解析式为．【变式5-2】（2020秋•济南期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为．【变式5-3】（2020秋•思明区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A，且经过平行四边形ABCD的顶点A，B（1，m），D（7，1），它的对称轴经过AC，BD的交点，若AB＝5，则这条抛物线的解析式为．【考点6构造二次函数解几何最值问题】【例6】（2021春•雨花区期末）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．【变式6-1】（2021春•咸安区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．则四边形EFGH面积的最小值为．【变式6-2】（2021•苏州模拟）如果一个矩形的周长与面积的差是定值m（2＜m＜4），我们称这个矩形为“定差值矩形”．如图，在矩形ABCD中，AB＝x，AD＝y，2（x+y）﹣xy=72，那么这个“定差值矩形”的对角线AC的长的最小值为（）A．72 B．5 C．3 D．22【变式6-3】（2020秋•包河区期末）正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（）A．8 B．6 C．4 D．22【考点7二次函数与解不等式】【例7】（2021春•海淀区校级期末）已知函数y＝ax2+2bx﹣c（a＞0）的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，则不等式cx2+2bx﹣a＜0的解集为．【变式7-1】（2021•宁波模拟）已知函数y1＝﹣x2+ax+4和y2＝﹣ax+a2，当1＜x＜2时，始终满足y1＞y2，则实数a的取值范围是．【变式7-2】（2021•江岸区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的对称轴是直线x＝1，图象与x轴交于点（﹣1，0）．下列四个结论：①方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3；②3a+c＝0；③对于任意实数t，总有at2+bt≥a+b；④不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣k≥0（k为常数）的解集为x＜﹣1或x＞3+ka．其中正确的结论是（填写序号）．【变式7-3】（2021•大庆）已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，则下列说法不正确的个数是（）①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1；②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根；③若1a＜x＜1，则y＝ax2﹣（a+1）x+1的函数值都是负数；④不存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．A．0 B．1 C．2 D．3【考点8二次函数与一元二次方程】【例8】（2021•越秀区一模）若x1，x2（x1＜x2）是关于x的方程（x+1）（3﹣x）+p2＝0（p为常数）的两根，下列结论中正确的是（）A．x1＜﹣1＜3＜x2 B．x1≤﹣1＜3≤x2 C．﹣1＜x1＜3＜x2 D．﹣1≤x1＜x2≤3【变式8-1】（2021•宁波模拟）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A．0＜t＜5 B．﹣4≤t＜5 C．﹣4≤t＜0 D．t≥﹣4【变式8-2】（2021•朝阳区模拟）已知关于x的方程mx2+2x+5m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜2＜x2，则实数m的取值范围为．【变式8-3】（2021春•鼓楼区校级月考）“若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，则一元二次方程a2+bx+c＝0有两个不等实根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若d、e（d＜e）是关于x的方程1+（x﹣f）（x﹣g）＝0的两根，且f＜g，则d、e、f、g的大小关系是．【考点9二次函数的实际应用】【例9】（2021春•岳麓区校级期末）近期，广州、东莞、佛山等地新冠病毒疫情再次小范围爆发，目前仍然要高度重视各项防疫措施．某药店用1200元购进KN95口罩及普通医用口罩各1000个，每个KN95口罩比普通医用口罩的进价多0.4元，在销售过程中发现，KN95口罩每天的销量y1（单位：个）与其销售单价x（单位：元）有如下关系：y1＝﹣10x+40，普通医用口罩每天的销量y2（单位：个）与其销售单价z（单位：元）有如下关系：y2＝﹣10z+66．药店按照单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价（利润率=销售单价−进价进价）．（1）求两种口罩的进价；（2）市场监督管理局为了调控口罩市场价格，避免炒高口罩价格的现象出现，规定KN95口罩的利润率不得超过100%，同时KN95口罩的利润率在不低于50%时才能保证药店的合理收益，药店应该如何确定KN95口罩的销售单价范围呢？（3）在（2）的条件下求这两种口罩每天销售总利润和的最大值．【变式9-1】（2021春•花山区校级月考）某水产养殖户，一次性收购了20000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售，已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本＝放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批小龙虾放养t天后的质量为m（kg），销售单价y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系式为m=20000(0≤t≤50)100t+15000(50＜t≤100)，y与t的函数关系如图所示．①求y与t的函数关系式；②设将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润＝销售总额﹣总成本）【变式9-2】任意球是足球比赛的主要得分手段之一．在某次足球赛中，甲球员站在点O处发出任意球，如图，把球看作点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣12）2+h，已知防守队员组成的人墙与O点的水平距离为9m，防守队员跃起后的高度为2.1m，对方球门与O点的水平距离为18m，球门高是2.43m．（假定甲球员的任意球恰好能射正对方的球门）（1）当h＝3时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当h＝3时，足球能否越过人墙？足球会不会踢飞（球从球门的上方飞过）？请说明理由．（3）若甲球员发出的任意球直接射进对方球门得分，求h的取值范围．【变式9-3】（2020秋•黄岛区期末）为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．【考点10二次函数的综合应用】【例10】（2020秋•曲靖期末）如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交点于点C（0，3），对称轴为直线x=−32．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点P的坐标，并直接写出|NP﹣BP|的最大值．【变式10-1】（2020秋•綦江区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，﹣1），与y轴交于点C