专题训练(六)　线段或角的计数问题

专题训练(六)线段或角的计数问题►类型一1．(1)观察思考如图ZT－6－1，线段AB上有两个点C，D，请分别写出以A，B，C，D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；(2)模型构建若线段上有m个点(包括线段的两个端点)，则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；(3)拓展应用8名同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制(即每两名同学之间都要进行一场比赛)，那么一共要进行多少场比赛？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．图ZT－6－1►类型二同一顶点的角的个数2．(1)在∠AOB内部画1条射线OC，则图ZT－6－2①中有________个不同的角；(2)在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图②中有________个不同的角；(3)在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有________个不同的角；(4)在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE，…，则图中有________个不同的角；(5)在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有____________个不同的角．图ZT－6－2►类型三n条直线的交点的个数3．我们知道：平面上有一个点，过这一点可以画无数条直线．(1)若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是________；(2)若平面上有三个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是________；(3)若平面上有四个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是____________；(4)若平面上有五个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数为______________．►类型四直线分割平面问题4．阅读下面文字，完成题目中的问题．阅读材料：①平面上没有直线时，整个平面是1部分；②当平面上画出一条直线时，就把平面分成2部分；③当平面上有两条直线时，最多把平面分成4部分；④当平面上有三条直线时，最多可以把平面分成7部分……完成下面问题：(1)根据上述事实填写下列表格：平面上直线的条数0123…平面最多被分成几部分…(2)请你猜测当有n条直线时，最多可把平面分成几部分．(3)根据上述猜测，若将一块蛋糕分给10名小朋友，则至少要切________刀．

教师详解详析1．解：(1)因为以点A为左端点的线段有线段AB，AC，AD，以点C为左端点的线段有线段CD，CB，以点D为左端点的线段有线段DB，所以共有3＋2＋1＝6(条)线段．(2)eq\f(m（m－1）,2).说明如下：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x＝(m－1)＋(m－2)＋(m－3)＋…＋3＋2＋1，所以x＝eq\f(m（m－1）,2).(3)把8名同学看作直线上的8个点，每两名同学之间的一场比赛看作一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数．因此一共要进行28场比赛．2．[答案](1)3(2)6(3)10(4)66(5)eq\f(（n＋1）（n＋2）,2)[解析](1)在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角，故答案为3.(2)在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，故答案为6.(3)在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有10个不同的角，故答案为10.(4)在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE，…，则图中有1＋2＋3＋…＋10＋11＝66(个)不同的角，故答案为66.(5)在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1＋2＋3＋…＋n＋(n＋1)＝eq\f(（n＋1）（n＋2）,2)(个)不同的角．故答案为eq\f(（n＋1）（n＋2）,2).3．[答案](1)1(2)1或3(3)1或4或6(4)1或5或6或8或10[解析](1)根据基本事实：两点确定一条直线可知：若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是1.(2)当三点在同一条直线上时，可以画1条直线，当三点不在同一条直线上时，可以画3条直线．故平面上有三个点，若过每两点画直线，则可以画出直线的条数为1或3.(3)如图所示，分别根据四点在同一条直线上、三点在同一条直线上、任意三点均不在同一条直线上描出各点，再根据两点确定一条直线画出各直线，如图，平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为1或4或6.(4)①当五点在同一条直线上时，可以画出1条直线；②当四点在一条直线上，另一点在直线外时，可以画出5条直线；③当只有三点在一条直线上时，可以画出8条直线，如图所示．④当三点在一条直线上，另两点与原来的其中一个点在一条直线上时，可以画出6条直线．如图所示：⑤当任意三点都不在一条直线上，可以画出eq\f(（5－1）×5,2)＝10(条)直线．4．解：(1)1247(2)原来平面是1部分，则画一条直线把平面分成1＋1＝2部分，画两条直线最多把平面分成1＋1＋2＝4部分