专题24 圆的有关位置关系（第2期）

专题24圆的有关位置关系（30道）一、单选题1．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若，则sin∠CADA．125 B．1312 C．1352．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，⊙O的直径AB=10，DE是弦，AB⊥DE，CEB=EBD，sin∠BAC=35，AD的延长线与CB的延长线相交于点F，DB①∠DBF=3②是⊙O的切线；③B，E两点间的距离是10；④DF=11

A．1 B．2 C．3 D．4二、解答题3．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠

(1)求证DB平分∠ADC，并求∠(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F．若AC=AD，4．（2023·山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（60°<α<180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A

(1)求证：A，E，B，D四点共圆；(2)如图2，当AD=CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙(3)已知α=120°，BC=6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心5．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E．过点D的圆O的切线DF∥AB，交CA的延长线于点F

(1)求∠F(2)若DE⋅DC=8，求6．（2023·山东·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，⊙P与x轴相切于点C，与y轴相交于点A0,8，B0,2．连接AC

(1)求点P的坐标；(2)求cos∠7．（2023·山东·统考中考真题）已知：射线OP平分∠MON,A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B,C，交射线ON于点D,E，连接

(1)如图1，若AD∥OM，试判断四边形(2)如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点8．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O于点C，连接BC，∠ABC=120°，D为⊙O上一点且DB的中点为M

(1)求∠ACB(2)四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；(3)若AC=6，求CD的长．9．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．（1）求证：CA=CN；（2）连接DF，若cos∠DFA=45，AN=210，求圆O10．（2023·陕西·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC(1)求证：BD=BC；(2)若⊙O的半径r=3，BE=6，求线段的长．11．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，，EA，过点E作，垂足为H，交AD于点F．

(1)求证：AE(2)若，求AD的长．12．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，AE为⊙O的直径，点C在⊙O上，AB与⊙O相切于点A，与OC延长线交于点B，过点B作BD⊥OB，交AC的延长线于点D．

(1)求证：；(2)点F为⊙O上一点，连接EF，，与AE交于点G．若∠E=45°，AB=5，tan∠ABG=37，求⊙O的半径及13．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC=2∠BCP，点E是BD的中点，弦CE，BD相交于点E．(1)求∠OCB(2)若EF=3，求⊙O14．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在AB上取一点E，连接AE，DE．过点A作AG⊥AE，交⊙O于点G，交DE于点F，连接，DG．

(1)求证：△AFD(2)若AB=2，∠BAE=3015．（2023·浙江·统考中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=8，DE=2．

(1)复习回顾：求AB的长．(2)探究拓展：如图2，连接AC，点G是BC上一动点，连接AG，延长交AB的延长线于点F．①当点G是BC的中点时，求证：∠GAF=②设CG=x，CF=y，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；③如图3，连接DF，BG，当△CDF为等腰三角形时，请计算16．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，________．求证：________．

从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（（2）在（1）的前提下，若AB=6，∠BAD=3017．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点E作EF∥AB，交CA的延长线于点F．

(1)求证：EF与⊙O(2)若∠CAB=30°，AB=8，过点E作EG⊥AC于点M，交⊙O于点G，交AB于点N，求AG的长．18．（2023·江苏泰州·统考中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为AB所对的圆周角．

知识回顾(1)如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+①求∠C②若⊙O的半径为5，AC=8，求BC的长；逆向思考(2)如图②，P为圆内一点，且∠APB<120°，PA=PB，∠APB=2∠C拓展应用(3)如图③，在（2）的条件下，若∠APB=90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD=2CB-CA19．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图1，点G为等边△ABC的重心，点D为BC边的中点，连接GD并延长至点O，使得DO=DG，连接GB，GC，OB，OC

(1)求证：四边形BOCG为菱形．(2)如图2，以O点为圆心，OG为半径作⊙①判断直线AB与⊙O②点M为劣弧BC上一动点（与点B、点C不重合），连接BM并延长交AC于点E，连接CM并延长交AB于点F，求证：AE+AF为定值．20．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点（点C不与点A，B重合），连接AC、BC，点D是AB上的一点，AC=AD，BE交CD的延长线于点E，且BE=BC．(1)求证：BE是⊙O(2)若⊙O的半径为5，tanE=12，则21．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点，延长AB，DC交于点E．

(1)求证：CD是⊙O(2)求证：AF⋅(3)若sin∠DEA=422．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E．连接AC．

(1)求证：AC平分∠BAE(2)若AC=5，tan∠ACE=323．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，的延长线与AB的延长线相交于点D，且CD=OA，AE∥OC

(1)求证：AC是∠EAD(2)求∠ACD(3)求ODAD24．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD，

(1)求证：DE是⊙O(2)若DE=2，，求AD的长；(3)在（2）的条件下，点P是⊙O上一动点，求PA+PB的最大值．25．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D．(1)求证：BC是⊙O(2)延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若，求FG的长．26．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2=BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC=∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交

(1)BD是⊙O的切线吗？请作出(2)记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1(3)若⊙O的半径为1，设，FE⋅FN⋅1BC⋅BN+27．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径作⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E．(1)求证：DF为⊙O(2)若BE=3，cosC=4三、填空题28．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为．

29．（2023·山东泰安·统考中考真题）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB=4cm，则这张光盘的半径是．（精确到0.1cm．参考数据：3

30．（2023·北京·统考中考真题）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若，BC=2，则线段AE的长为．

专题24圆的有关位置关系（30道）一、单选题1．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若，则sin∠CAD等于（

A．125 B．1312 C．135【答案】D【分析】连接OC、OD、CD，CD交PA于E，如图，利用切线的性质和切线长定理得到OC⊥CP，PC=PD，OP平分∠CPD，根据等腰三角形的性质得到，则∠COB=∠DOB，根据圆周角定理得到∠CAD=12∠COD，所以∠COB=∠CAD，然后求出【详解】解：连接OC、OD、CD，CD交PA于E，如图，∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，∴OC⊥CP，PC=PD，OP平分∠CPD∴OPCB=DB∴∠∵∠∴∠∵AB=10,∴AO=OC=OB=5,∵OC=5,PC=12∴在Rt△OCP中，∴sin∴sin故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．2．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，⊙O的直径AB=10，DE是弦，AB⊥DE，CEB=EBD，sin∠BAC=35，AD的延长线与CB的延长线相交于点F，DB的延长线与OE的延长线相交于点①∠DBF=3②是⊙O的切线；③B，E两点间的距离是10；④DF=11

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】连接OC、、AE，过点F作FG⊥AB交AB延长线于G，AB⊥DE于．①根据已知、垂径定理和圆内接四边形证∠CAE=∠BAE=∠DAB，，即可得到∠DBF=3∠DAB；②根据已知、垂径定理、中垂线定理证∠OCG=∠OBG，推出∠OCG≠90°，OC不垂直，即可判断不是⊙O的切线；③证∠CAB=∠EOB，结合sin∠BAC=35、AB=10，计算出EH、、BH，最后根据勾股定理计算BE=BH2+EH2即可；④先计算出tan∠GAF=13，推理出tan∠GBF=tan【详解】如图，连接OC、、AE，过点F作FG⊥AB交AB延长线于G，AB⊥DE于

∵⊙O的直径AB=10，sin∠，BC=AB×sinAC=AB2是弦，AB⊥DE，CEB=EBD∴EB=BD（垂直于弦的CEB-EB=∴CE∴∠∴∠∵∠∴∠故结论①正确∵CE∴∠又∵∠CAB=∴∠∴sin∵OE=12AB=5，AB∴EH=5，∵OA=OB=∴BH=OBBE=B故结论③正确∵∠CAB=∠EOB，∠ACB=90∴AC，∴OG平分BC（垂直于弦的直径平分弦），∴OG是BC的中垂线，∴CG=BG∴∠∵OC=OB，∴∠GCB+∠OCB=∠GBC+∠OBC，即∠OCG=是弦，∠OBG=180∴∠∠OBG∴∠OCG是钝角，∠OCG∴OC不垂直，不是⊙O的切线，故结论②不正确∵AB⊥DE∴DH=EH=3，AD=3tan∠∴FG:AG=1:3，12∴FG:AG:AF=1:3:∴设DF=a，则AF=AD+DF=310GF=110AF=∵∠∴tanGFBGBG=AG-∴101210解得：a=13∴DF=故结论④不正确综上，①和③这2个结论正确，故选：B．【点睛】本题考查了圆的性质综合，结合判断切线、勾股定理、三角函数解直角三角形知识点，熟练掌握、综合运用知识点推理证明和计算是解题的关键．二、解答题3．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=

(1)求证DB平分∠ADC，并求∠BAD(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F．若AC=AD，BF=2，求此圆半径的长．【答案】(1)见解析，∠(2)4【分析】（1）根据已知得出，则∠ADB=∠CDB，即可证明DB平分∠ADC，进而根据BD平分∠ABC，得出AD=CD，推出BAD=BCD，得出BD（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，∠F=90°，△ADC是等边三角形，进而得出∠CDB=12∠ADC=30°，由BD是直径，根据含30度角的直角三角形的性质可得BC=12BD，在【详解】（1）解：∵∠∴，∴∠ADB=∠CDB，即DB平分∠ADC∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∴AD=∴AB+AD=∴BD是直径，∴∠BAD=90（2）解：∵∠BAD=90°，CF∥∴∠F+∠BAD=180°，则∠F=90∵AD=∴AD=DC．∵AC=AD，∴AC=AD=CD，∴△ADC是等边三角形，则∠ADC=60∵BD平分∠ADC∴∠CDB=∵BD是直径，∴∠BCD=90°，则BC=1∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，则∠ABC=120∴∠FBC=60∴∠FCB=90∴FB=1∵BF=2，∴，∴BD=2BC=8．∵BD是直径，∴此圆半径的长为12【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2023·山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（60°<α<180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接

(1)求证：A，E，B，D四点共圆；(2)如图2，当AD=CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O(3)已知α=120°，BC=6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)3【分析】（1）根据旋转的性质得到AE=AD，∠DAE=α，证明，进而证明△ABE≌△ACD，可以得到∠AEB=∠ADC，由∠ADC+∠ADB=180°，可得∠AEB+∠ADB=180°，即可证明A、B（2）如图所示，连接OA，OD，根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB=∠DAC，由圆周角定理得到∠AOD=2∠ABC=2∠DAC，再由OA=OD，得到∠OAD=∠ODA，利用三角形内角和定理证明∠DAC+∠OAD=90°，即∠OAC=90°，由此即可证明AC是（3）如图所示，作线段AB的垂直平分线，分别交AB、BC于G、F，连接AM，先求出∠B=∠C=30°，再由三线合一定理得到BM=CM=12BC=3，AM⊥BC，解直角三角形求出AB=23，则BG=12AB=3，再解Rt△BGF得到BF=2，则FM=1；由【详解】（1）证明：由旋转的性质可得AE=AD，∴∠BAC=∴∠BAC-∠又∵AB=AC，∴△ABE∴∠AEB=∵∠ADC+∴∠AEB+∴A、B、D、E四点共圆；（2）证明：如图所示，连接OA，∵AB=AC，∴∠ABC=∵⊙O是四边形AEBD的外接圆，∴∠AOD=2∴∠AOD=2∵OA=OD，∴∠OAD=∵∠OAD+∴2∠∴∠DAC+∠OAD=90°，即∠OAC=90∴OA⊥又∵OA是⊙O∴AC是⊙O

（3）解：如图所示，作线段AB的垂直平分线，分别交AB、BC于G、F，连接∵AB=AC，∴∠B=∵点M是边BC的中点，∴BM=CM=12BC=3∴AB=BM∴BG=1在Rt△BGF中，∴FM=1，∵⊙P是四边形AEBD的外接圆，∴点P一定在AB的垂直平分线上，∴点P在直线GF上，∴当MP⊥GF时，PM有最小值，∵∠PFM=∴在Rt△MPF中，∴圆心P与点M距离的最小值为32【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，三角形外接圆的性质，垂线段最短等等，正确作出辅助线是解题的关键．5．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E．过点D的圆O的切线DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF=CD．

(1)求∠F(2)若DE⋅DC=8，求⊙O【答案】(1)67.5(2)2【分析】（1）连接OD，根据FD为⊙O的切线，则∠ODF=90°，由DF∥AB，则，根据圆周角定理可得∠ACD=12∠AOD=45°，又CF=CD，根据（2）证明△DAE【详解】（1）如图，连接OD．

∵FD为⊙O∴∠∵DF∴．AD=AD∴∠∵CF=CD∴∠（2）如图，连接AD，∵AO=OD，，∴∠∵∠∴，且∠ADE=∠∴△DEDA=DADC∴，∴OA=OD=22AD=2【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识．正确作出辅助线是解题关键．6．（2023·山东·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，⊙P与x轴相切于点C，与y轴相交于点A0,8，B0,2．连接AC，

(1)求点P的坐标；(2)求cos∠【答案】(1)(4,5)(2)cos【分析】（1）如图，连接PC，PB，过点P作PD⊥AB，垂足为D，由垂径定理得BD=12AB，由A0,8，B0,2得BD=3，，由切线性质，得PC=PB，∠PCO=90°，进一步可证四边形是矩形，得PC=OD=5，Rt△PDB中，PD=（2）如图，由等腰三角三线合一，得∠DPB=12APB，由圆周角定理，而，从而∠ACB=∠DPB，Rt△DPB中，【详解】（1）如图，连接PC，PB，过点P作PD⊥AB，垂足为D，则BD=∵点A0,8，∴BD=12

∵⊙P与x轴相切于点C∴PC=PB，∠∵∠∴四边形是矩形∴PC=OD=5∴PB=5Rt△PDB∴点P的坐标(4,5)（2）如图，PA=PB，PD∴∠而∴∠Rt△DPB∴cos【点睛】本题考查圆的切线的性质，圆周角定理，垂径定理，添加辅助线构造直角三角形，运用勾股定理是解题的关键．7．（2023·山东·统考中考真题）已知：射线OP平分∠MON,A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B,C，交射线ON于点D,E，连接AB,AC,AD．

(1)如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；(2)如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG=AF．【答案】(1)四边形OBAD是菱形，理由见解析(2)见解析【分析】（1）过点A作AF⊥ON于F，AG⊥OM于G，先由角平分线性质得，再证明Rt△AFD≌Rt△AGBHL，得FD=GB，证明Rt△AFO≌Rt△（2）连接EF，过点A作AH⊥ON于H，作AG⊥OM于G，证明Rt△AHD≌Rt△AGBHL，得DH=BG，证明Rt△AFO【详解】（1）解：四边形OBAD是菱形，理由如下：过点A作AF⊥ON于F，AG⊥OM于G，如图

∵OP平分∠MON，AF⊥ON，AG⊥∴，∵AD=AB，∴Rt△∴FD=GB，∵OA=OA，∴Rt△∴OF=OG，∴OF-FD=OG-GB，即OD=OB，∵OP平分∠MON∴∠∵AD∴∠∴∠∴OD=AD∴OD=AD=AB=OB，∴四边形OBAD是菱形．（2）证明：连接EF，过点A作AH⊥ON于H，作AG⊥OM于G，如图

∵OP平分∠MON，AH⊥ON，AG⊥∴AH=AG，∵AD=AB，∴Rt△∴DH=BG，∵AH⊥ON，AG⊥∴EH=DH，BG=CG，∵OA=OA，AH=AG，∴Rt△∴，

∴EH=CG，∴OH+EH=OG+CG，即，∵∠EOF=∠COF，OF=OF，∴△OEF∴∠OEF=∴EF⊥ON∵DG⊥ON，AH⊥∴DG∥∵DH=EH，∴AG=AF．【点睛】本题考查角平分线性质，菱形的判定，全等三解形的判定与性质，垂直定理，平行线等分线段定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．8．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O于点C，连接BC，∠ABC=120°，D为⊙O上一点且DB的中点为M，连接AD，CD．

(1)求∠ACB(2)四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；(3)若AC=6，求CD的长．【答案】(1)30(2)是菱形，证明见解析(3)CD的长为4π【分析】（1）如图，连接OB，证明∠ABO=90°，而∠ABC=120°，可得∠OBC=120（2）先证明∠ACD=∠ACB=30°，即∠DCB=60°，而∠ABC=120°，求解∠CAB=30°=∠ACB，可得BA=BC，证明CD=CB，可得CD=CB，再证明AD=AB，可得（3）如图，连接OD，BD，交AC于Q，证明△DBC为等边三角形，可得∠DOC=2∠DBC=120°，证明QA=QC=3，AC⊥BD，求解OC=2，再利用弧长公式进行计算即可．【详解】（1）解：如图，连接OB，

∵线段AB与⊙O相切于点B∴∠ABO=90°，而∠ABC=120∴∠OBC=120∵OB=OC，∴∠OBC=（2）四边形ABCD是菱形，理由如下：∵DB的中点为M，∠ACB=30∴∠ACD=∠ACB=30°，即∠DCB=60°，而∠ABC=120∴∠CAB=180∴BA=BC，∵DB的中点为M，CM为直径，∴CD=∴CD=CB，∵∠ACD=30°=∠ACB，AC=AC，∴△ACD∴AD=AB，∴AD=AB=BC=CD，∴四边形ABCD是菱形．（3）如图，连接OD，BD，交AC于Q，

∵CD=CB，∠DCB=60∴△DBC∴∠DBC=60∴∠DOC=2∵菱形ABCD，AC=6，∴QA=QC=3，AC⊥∴∠CBQ=90∵∠OBC=30∴∠QBO=30∴OQ=1∴12OC=2，∴CD的长为．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与系数，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，切线的性质，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键．9．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．（1）求证：CA=CN；（2）连接DF，若cos∠DFA=45，AN=210，求圆O【答案】（1）证明见解析；（2）503【分析】（1）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN；（2）连接OC，由圆周角定理结合cos∠DFA=45，AN=210，即可求出CH、AH的长度，设圆的半径为r，则OH=r﹣6，根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圆【详解】解：（1）连接OF，则∠OAF=∠OFA，如图所示．∵ME与⊙O相切，∴OF⊥ME．∵CD⊥AB，∴∠M+∠FOH=180°．∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF，∠FOH+∠BOF=180°，∴∠M=2∠OAF．∵ME∥AC，∴∠M=∠C=2∠OAF．∵CD⊥AB，∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°，∴∠ANC=90°﹣∠OAF，∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF，∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC，∴CA=CN．（2）连接OC，如图2所示．∵cos∠DFA=45，∠DFA=∠ACH，∴CHAC=45．设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，∵CA=CN，∴NH=a，∴AN=AH2+NH2设圆的半径为r，则OH=r﹣6，在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，解得：r=253，∴圆O的直径的长度为2r=50【点睛】本题考查切线的性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．10．（2023·陕西·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F．(1)求证：BD=BC；(2)若⊙O的半径r=3，BE=6，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）如图，连接DC，根据圆周角定理得到∠BDC=∠BAC=45°，求得∠BCD=90（2）如图，根据圆周角定理得到CD为⊙O的直径，求得CD=2r=6．根据勾股定理得到EC=B【详解】（1）证明：如图，连接DC，则∠BDC=∵BD∴∠∴∠；（2）如图，∵∠DBC=90∴CD为⊙O∴CD=2r=6∴BC=CD∴EC=，∴∠BMC=又∠BCM=∴ΔBCEC=∴BM=BC⋅EBEC=连接CF，则∠F=∠BDC=45°，∠MCF=45∴MF=MC=∴BF=BM+MF=2【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．11．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，，EA，过点E作，垂足为H，交AD于点F．

(1)求证：AE(2)若，求AD的长．【答案】(1)见解析(2)AD=2【分析】（1）先证明∠ADE=∠AEH，再利用两角分别相等的两个三角形相似证明△EAF（2）先利用勾股定理求出AC，再利用∠ABD=∠ACD和正弦值即可求出AD．【详解】（1）连接ED，∵，∴，∵AC是直径，∴∠AEC=90∴∠EAH+∴∠ACE=∴∠ADE=又∵，∴△EAF∴AEAD∴AE

（2）如图，连接BC，∵∠ADC的平分线交⊙O于点B∴，∴，∴AB=BC，∵AC是直径，∴∠ABC=∵，∠ABD=∴AC=52+∴AD=210

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正弦函数、圆周角定理的推论和勾股定理等知识，学生应理解与掌握正弦的定义、两角分别相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例、圆周角定理的推论，即同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．12．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，AE为⊙O的直径，点C在⊙O上，AB与⊙O相切于点A，与OC延长线交于点B，过点B作BD⊥OB，交AC的延长线于点D．

(1)求证：；(2)点F为⊙O上一点，连接EF，，与AE交于点G．若∠E=45°，AB=5，tan∠ABG=37，求⊙O的半径及【答案】(1)见解析(2)⊙O的半径为154；【分析】（1）根据AB与⊙O相切于点A得到∠OAC+∠BAD=90°，再根据BD⊥OB得到∠BCD+∠D=90°，再根据OA=OC得到∠OAC=（2）连接OF，过点D作DM⊥AB，交AB延长线于点M，在Rt△ABG等多个直角三角形中运用三角函数的定义求出⊙O半径r=154，再根据勾股定理求出【详解】（1）证明：如图，

∵AE为⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A∴OA⊥∴∠OAB=90∴∠OAC+∵BD⊥∴∠OBD=90∴∠BCD+∵OA=OC，∴∠OAC=∵，∴∠OAC=∴∠BAD=∴AB=AD．（2）连接OF，过点D作DM⊥AB，交AB延长线于点M，如图，

在Rt△ABG中，∴tan∠∴AG=AB⋅∵∠E=45∴∠AOF=2∴∠AOF=∴OF∥∴∠OFG=∴tan∠设⊙O的半径为r∴r-∴r=15∴tan∠∵DM⊥∴∠M=90∴，∵BD⊥∴∠OBD=90∴∠OBA+∴∠BDM=即tan∠∴设BM=3x，DM=4x，在Rt△DBM中，∵BM2+D∴3x2+4x∴BM=3，DM=4，∴AM=AB+BM=8，∴AD=A【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆、三角形的线段、角度关系并运用数学结合思想．13．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC=2∠BCP，点E是BD的中点，弦CE，BD相交于点E．(1)求∠OCB(2)若EF=3，求⊙O【答案】(1)60(2)6【分析】（1）根据切线的性质，得出OC⊥PC，再根据直角三角形两锐角互余，得出∠OCB+∠BCP=90°，再根据等边对等角，得出∠OCB=∠OBC，再根据等量代换，得出∠OCB=2∠BCP，再根据∠OCB+∠BCP=90°，得出，即3∠BCP=90°，得出∠BCP=30°（2）连接DE，根据圆周角定理，得出∠DEC=90°，再根据中点的定义，得出DE=EB，再根据同弧或同弦所对的圆周角相等，得出∠DCE=∠ECB=∠FDE=12∠DCB=30°，再根据正切的定义，得出DE=3【详解】（1）解：∵PC与⊙O相切于点C，∴OC⊥∴∠OCB+∵OB=OC，∴∠OCB=∵∠ABC=2∴∠OCB=2∴，即3∠BCP=90∴∠BCP=30∴∠OCB=2（2）解：如图，连接DE，

∵CD是⊙O∴∠DEC=90∵点E是BD的中点，∴DE=∴∠DCE=在Rt△∵EF=3，∠FDE=30∴DE=EF在Rt△∵∠DCE=30∴CD=2DE=63∴⊙O的直径的长为63【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、等边对等角、圆周角定理及其推论、锐角三角函数、含30°14．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在AB上取一点E，连接AE，DE．过点A作AG⊥AE，交⊙O于点G，交DE于点F，连接，DG．

(1)求证：△AFD(2)若AB=2，∠BAE=30【答案】(1)证明见解析(2)S【分析】（1）如图，连接EG，证明∠EDG=∠EAG=90°=∠EDC+∠CDG，再证明∠ADC=90°，AD=CD，可得∠ADF=∠CDG，结合∠DAF=（2）如图，连接OA，OD，过F作FK⊥AD于K，设FK=x，在AD上取Q，使QF=QD，证明∠OAE=75°，∠EAD=30°+90°=120°，∠FAD=120°-90°=30°，可得AF=2x，，求解∠ADF=180°-30°-135°=15°，而QF=QD，可得∠KQF=30°，FQ=2x=QD，QK=3x，可得23x+2x=2，再求解x【详解】（1）解：如图，连接EG，∵AE⊥AG，则∠EAG=90

∴∠EDG=∵正方形ABCD，∴∠ADC=90°，AD=CD，∴∠ADF+∴∠ADF=∵∠DAF=∴△AFD（2）如图，连接OA，OD，过F作FK⊥AD于K，设FK=x，在AD上取Q，使QF=QD，

∵O为正方形中心，∴∠OAB=∠OAD=∠ODA=45°，，而∠BAE=30°∴∠OAE=75°，∠EAD=30∵∠EAG=90∴∠FAD=120∴AF=2x，，∵∠AED=∴∠AFD=∴∠ADF=180°-30°-135°=15°，而QF=QD，∴∠QFD=∴∠KQF=30∴FQ=2x=QD，QK=3而正方形的边长AB=2=AD，∴23解得：x=3∴S△∵AD=2，，OA=OD，∴OA=OD=AD×∴S△而S扇形∴S阴影【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，含30°的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出15．（2023·浙江·统考中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=8，DE=2．

(1)复习回顾：求AB的长．(2)探究拓展：如图2，连接AC，点G是BC上一动点，连接AG，延长交AB的延长线于点F．①当点G是BC的中点时，求证：∠GAF=②设CG=x，CF=y，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；③如图3，连接DF，BG，当△CDF为等腰三角形时，请计算【答案】(1)AB=8(2)①见解析；②y=80x；③BG的长为4【分析】（1）先求得⊙O的直径为10，再利用垂径定理求得，在Rt△OAE（2）①连接DG，由点G是BC的中点，推出∠GAF=②利用勾股定理求得AC=45，利用垂径定理得到AC=BC，推出，证明③分两种情况讨论，当CF=CD=10和DF=CD=10时，证明△FGB∽△【详解】（1）解：连接OA，

∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=8，DE=2，∴CD=CE+DE=10，，∴OA=OD=12CD=5在Rt△OAE中，∴AB=2AE=8；（2）解：①连接DG，

∵点G是BC的中点，∴，∴∠GAF=∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，∴∠CGD=∴∠F=90∴∠GAF=②∵CE=8，AE=4，∠CEA=90∴AC=A

∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，∴AC=∴，∵∠ACF=∴△CAF∴ACCG=CF∴y=80③当CF=CD=10时，

在Rt△CEF中，∴BF=EF-∵∠FGB=180∴△FGB∴BGAC=BF∴BG=4当DF=CD=10时，

在Rt△DEF中，在Rt△CEF中，∴BF=EF-同理△FGB∴BGAC=BF∴BG=43综上，BG的长为455或【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．16．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，________．求证：________．

从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（（2）在（1）的前提下，若AB=6，∠BAD=30【答案】（1）②①，证明见解析（或①②，证明见解析）（2）27【分析】（1）一：已知条件为②DE⊥AC，结论为①DE与⊙O相切；连接OD，先证出OD∥AC，再根据平行线的性质可得DE⊥OD，然后根据圆的切线的判定即可得证；二：已知条件为①DE与⊙O相切，结论为②DE⊥AC；连接OD，先证出OD∥AC，再根据圆的切线的性质可得DE⊥（2）连接OD,OF，先解直角三角形求出OD,AE,DE的长，再根据等边三角形的判定与性质可得的长，从而可得EF的长，然后根据圆周角定理可得∠DOF=2∠CAD=60°，最后根据阴影部分的面积等于直角梯形ODEF的面积减去扇形ODF的面积即可得．【详解】解：（1）一：已知条件为②DE⊥AC，结论为①DE与⊙O如图，连接OD，

∵OA=OD∴∠∵弦AD平分∠BAC，∴∠CAD=，∵DE∴DE又∵OD是⊙O∴DE与⊙O二：已知条件为①DE与⊙O相切，结论为②DE⊥如图，连接OD，

∵OA=OD∴∠∵弦AD平分∠BAC，∴∠CAD=，与⊙O相切，∴DE∴DE（2）如图，连接OD,OF，

∵AB=6，∠∴OA=OD=OF=3,AD=AB⋅cos30°=3∴DE=又∵∠BAD=，是等边三角形，∴AF=OA=3∴EF=AE由圆周角定理得：∠DOF=2则阴影部分的面积为S==27【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．17．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点E作EF∥AB，交CA的延长线于点F．

(1)求证：EF与⊙O(2)若∠CAB=30°，AB=8，过点E作EG⊥AC于点M，交⊙O于点G，交AB于点N，求AG的长．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）连接OE，由AB是⊙O的直径可得∠ACB=90°，进而可得∠ACE=12∠ACB=45°，再根据圆周角定理可得∠AOE=2∠ACE=90°，进而可证，OE⊥EF，即可证明EF与（2）连接OG，OC，先证△OBC是等边三角形，推出∠AOC=180°-∠COB=120°，再根据圆周角定理证明∠GOC=2∠MEC=90°，进而可得∠AOG=30【详解】（1）证明：如图，连接OE，

∵AB是⊙O∴∠∵CE平分∠ACB交⊙O于点E∴∠∴∠∴，∵EF∴OE∵OE是⊙O∴EF与⊙O（2）解：如图，连接OG，OC，

∵∠CAB=30°，∠ACB=90∴∠∵OB=OC∴△∴∠∴∠∵，EG⊥AC∴∠∴∠∴∠∵AB=8，AB是⊙O∴OA=OG=4AG=30即AG的长为2π【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定理是解题的关键．18．（2023·江苏泰州·统考中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为AB所对的圆周角．

知识回顾(1)如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+①求∠C②若⊙O的半径为5，AC=8，求BC的长；逆向思考(2)如图②，P为圆内一点，且∠APB<120°，PA=PB，∠APB=2∠C拓展应用(3)如图③，在（2）的条件下，若∠APB=90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD=2CB-CA【答案】(1)①45°；②7(2)见解析(3)见解析【分析】（1）①根据∠AOB+∠C=135°，结合圆周角定理求∠C的度数；②（2）只要说明点P到圆上A、B和另一点的距离相等即可；（3）根据CD=2CB-CA，构造一条线段等于2CB-CA【详解】（1）解：①∵∠AOB+∠C=135°，∠AOB=2∴3∴∠②连接AB，过A作AM⊥BC，垂足为M，

，AC=8，∴△ACM是等腰直角三角形，且AM=CM=42∵∠AOB=2∠C=90°，OA=OB，∴△∴AB=在直角三角形ABM中，BM=A∴BC=CM+BM=4（2）证明：延长AP交圆于点N，则∠C=

∵∠APB=2∴∠∵∠∴∠∴PN=PB∵PA=PB∴PA=PB=PN∴P（3）证明：过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，

∵∠APB=90∴∠∴△∴BE=BC∵BP⊥AF，PA=PF，∴BA=BF∵AF∴∠∴∠∴∠∴△∴AE=CF∵CD=∴CD=CF∴必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求．【点睛】本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于2CB19．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图1，点G为等边△ABC的重心，点D为BC边的中点，连接GD并延长至点O，使得DO=DG，连接GB，GC，OB，OC

(1)求证：四边形BOCG为菱形．(2)如图2，以O点为圆心，OG为半径作⊙①判断直线AB与⊙O②点M为劣弧BC上一动点（与点B、点C不重合），连接BM并延长交AC于点E，连接CM并延长交AB于点F，求证：AE+AF为定值．【答案】(1)见解析(2)①直线AB是⊙O的切线；②【分析】（1）如图1，延长BG交AC于点，连接AD，由△ABC是等边三角形，G是重心，点D为BC边的中点，得AD⟂BC，DB=DC，进而证明四边形BOCG是平行四边形，于是即可得四边形BOCG为菱形；（2）①延长BG交AC于点，连接AD，先证BG为∠ABC的角平分线，进而求得∠ABG=∠GBO=30°，又由菱形的性质得∠CBO=∠GBC=30°，从而有∠ABO=∠ABG+∠GBC+∠CBO=90°，于是根据切线的判定即可得出结论；②在优弧BC上取一点N，连接BN、CN，由①得∠OBC=30°，进而求得12∠BOC=60°，再由圆内接四边形的性质求得∠BMC=180°-∠N=120°，从而根据角的和差关系求得∠ACF=∠CBE，于是证明△BEC≌△CFAASA得AF=CE【详解】（1）证明：如图1，延长BG交AC于点，连接AD，

∵△ABC是等边三角形，G是重心，点D为BC边的中点，∴中线AD过点G，即A、G、D三点共线，∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC=BC，∴AD⟂BC，DB=DC，∵DO=DG，∴四边形BOCG是平行四边形，∵AD⟂BC，∴四边形BOCG为菱形；（2）①解：直线AB是⊙O的切线，理由如下：延长BG交AC于点，连接AD，

∵△ABC是等边三角形，G是重心，点D为BC边的中点，∴中线AD过点G，即A、G、D三点共线，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，AH=CH，∴BG为∠ABC∴∠ABG=∵四边形BOCG是菱形，∴∠CBO=∴∠ABO=∴AB⊥∴直线AB是⊙O②证明：在优弧BC上取一点N，连接BN、CN，

由①得∠OBC=30∵OB=OC，∴∠OBC=∴∠BOC=180∴12∠∵四边形BNCM内接于⊙O∴∠BMC=180∴∠CBE+∵∠ACB=∴∠ACF+∴∠ACF=∵BC=AC，∠BCE=∴△∴AF=CE∵AE+CE=AC∴AE+AF=AE+CE=AC，即AE+AF为定值．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质，切线的判定以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定，全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质以及切线的判定定理是解题的关键．20．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点（点C不与点A，B重合），连接AC、BC，点D是AB上的一点，AC=AD，BE交CD的延长线于点E，且BE=BC．(1)求证：BE是⊙O(2)若⊙O的半径为5，tanE=12，则【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】(1)利用圆周角定理，等腰三角形的性质定理，对顶角相等，三角形的内角和定理和圆的切线的判定定理解答即可得出结论；(2)利用直角三角形的边角关系定理得到DBBE=12,设DB=x,则BE=2x,利用x的代数式表示出线段【详解】（1）证明：是⊙O的直径，，∴∠ACD+∵AC=AD，∵∠ADC=∴∠∵BE=BC∴∠∴∠∴∠即OB⊥∵AB为⊙O∴BE是⊙O（2）解：∵tanE=∴DB设DB=x，则BE=2x，∴BC=BE=2x，AD=AB-∵AC=AD∴AC=10是⊙O的直径，，∴A∴(10解得：x=0(不合题意，舍去)或x=4．∴BE=2x=8故答案为：8．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的切线的判定定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.21．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点，延长AB，DC交于点E．

(1)求证：CD是⊙O(2)求证：AF⋅(3)若sin∠DEA=4【答案】(1)证明，见解析(2)证明，见解析(3)AH【分析】（1）连接OC，根据AC平分∠DAB，则∠DAC=∠CAB，根据OA=OC，得∠CAB=（2）由（1）得，∠DAC=∠CAB，根据∠AHF∠CAB+90°，∠ACE=（3）根据sin∠DEA=45，则OCOE=45，设⊙O的半径为4x，则OE=5x，根据勾股定理求出CE；根据AE=OA+OE，AD=4【详解】（1）连接OC∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∵OA=OC，∴∠CAB=∴∠DAC=∴AD∥∵CD⊥∴∠D=∴CD是⊙O

（2）证明，如下：由（1）得，，∵∠DAC=∵FG⊥∴∠FGA=90∴∠AHF=∵∠ACE=∴△ACE∴ACAH∴AC⋅（3）∵sin∠∴OCOE设⊙O的半径为4x，∴OE=5x，∴CE=O∵AE=OA+OE=9x，∴AD=45×9x=∵DE=DC+CE，∴DC=12∵AC∴AC=12∵△ACE∴AHFH【点睛】本题考查圆，相似三角形，锐角三角形函数的知识，解题的关键圆的切线定理的运用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的运用．22．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E．连接AC．

(1)求证：AC平分∠BAE(2)若AC=5，tan∠ACE=3【答案】(1)见解析(2)⊙O的半径为25【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥DE，证明OC∥AE，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠CAO=（2）连接OC，过点O作OF⊥AC于F，证明∠ACE=∠COF，根据正切的定义列式求出OF，再根据勾股定理求出OC即可．【详解】（1）证明：连接OC，

∵直线DC是⊙O∴OC⊥∵AE⊥∴OC∥∴∠OCA=∵OA=OC，∴∠OCA=∴∠CAO=∠CAE，即AC平分∠BAE（2）解：连接OC，过点O作OF⊥AC于F，则CF=1

∵∠OCE=∠OCF+∠ACE=90°，∠OCF+∴∠ACE=∴tan∠∴CFOF∴OF=10∴OC=C即⊙O的半径为256【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，垂径定理，解直角三角形以及勾股定理等知识，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．23．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，的延长线与AB的延长线相交于点D，且CD=OA，AE∥OC

(1)求证：AC是∠EAD(2)求∠ACD(3)求ODAD【答案】(1)见解析(2)126(3)【分析】（1）根据平行线的性质，可得到∠EAC=∠ACO，根据等腰三角形的性质可得到∠CAO=（2）连接CB，设∠CAO=α，利用三角形的外角、圆的内接四边形的对角互补、等腰三角形的性质将△OCB的各角分别用含α的代数式表示出来，根据三角形内角和定理可求得α的值，进而可求得答案．（3）设⊙O的半径为r，BD=a，可证得EC=BC=BD=a，根据△DOC∽DAE，可得ODAD=CDDE，用含有r和a的代数式表示出该等式，求解即可得到【详解】（1）∵AE∥∴∠EAC=∵OA=OC，∴∠CAO=∴∠EAC=∴AC是∠EAD（2）如图所示，连接CB．

设∠CAO=α根据（1）证明可知∠EAC=∠CAO=∠ACO=α，∠EAO=∴∠COB=∵CD=OA，∴CD=OC．∴∠COB=∵∠BCD∴∠BCD=∴∠CBO=∵OB=OC，∴∠CBO=∴∠CBO∴α=18°∴∠ACD=（3）设⊙O的半径为r，BD=a，则CD=r．∵∠EAC=∴EC=BC．又∠D=∴EC=BC=BD=a．∵AE∥∴△DOC∴ODAD即r+a2r+a变形，得r+a2解得a=5ODAD【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定及性质、三角形的外角的性质、圆周角的性质、根据几何图形列一元二次方程，能采用数形结合的方法分析问题是解题的关键．24．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD，

(1)求证：DE是⊙O(2)若DE=2，，求AD的长；(3)在（2）的条件下，点P是⊙O上一动点，求PA+PB的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)AD=(3)8【分析】（1）连接OD，由圆周角定理得到∠ADB=∠BDC＝90°，由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得∠EDB＝∠EBD，由等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠OBD，根据∠ABC＝（2）由直角三角形斜边中线的性质求出BC，根据三角函数的定义即可求出BD；，（3）设Rt△ABD的AB边高为，由可得(PA+PB)2=64+2PA⋅PB，即可得出当PA+PB取最大值时，取最大值，根据【详解】（1）证明：连接OD，如图所示，

∵AB为⊙O∴∠ADB=90∴∠BDC∵点E为BC的中点，∴DE=BE=1∴∠EDB=∵OB=OD，∴∠ODB=∵∠ABC=90∴∠EBD+∴∠ODB+∵OD是⊙O∴DE与⊙O（2）解：由（1）知，∠BDC∵E是BC的中点，∴DE=1∴，∵tan∠∴AB=8，AD=2BD，又∵在Rt△ABD中，AB∴BD=8∴AD=16（3）设Rt△ABD的AB边高为

由（2）可知AB=8，又∵AB是直径，∴∠APB=90∴PA∴(PA+PB)∴当PA+PB取最大值时，2PA⋅又∵S△∴当PA+PB取最大值时，S△此时AB边高为取最大值为⊙O半径=AB2∴S△∴PA∴(PA+PB)∴PA+PB=82综上所述：PA+PB的最大值为82【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定以及直角三角形的性质，解题的关键是：（1）熟练掌握切线的判定方法；（2）通过解直角三角形斜边中线的性质证得DE=12BC．（3）将PA+PB25．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D．(1)求证：BC是⊙O(2)延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若，求FG的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）连接OD，过点O作OP⊥BC于点P，根据等腰三角形的性质得到∠OCD=∠OCP=45°，推出OD=OP，即可得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质求出OA，OD的长，勾股定理求出AG，连接OF，过O作OH⊥AG于点H，利用面积法求出，勾股定理求出HG，即可根据等腰三角形的性质求出FG的长．【详解】（1）证明：连接OD，过点O作OP⊥BC于点∵⊙O与AC相切于点D．∴OD⊥∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，∴∠OCD=∴OD=OP，即OP是⊙O∴BC是⊙O（2）解：∵，AB=AC，∠ACB=90°∴AB=2AC=8，∵点O为AB的中点，∴OC=OA=1∵OD∴OD=1在Rt△AOG连接OF，过O作OH⊥AG于点∴OH=OA∴HG=∵OF=OG，∴FG=2HG=4

【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键．26．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2=BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC=∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交