专题26 圆的相关概念及性质（练习）（28题型）

第26讲圆的相关概念及性质目录TOC\o"1-2"\h\u题型过关练 3题型01理解圆的相关概念 3题型02圆的周长与面积相关计算 3题型03圆中的角度计算 5题型04圆中线段长度的计算 5题型05求一点到圆上一点的距离最值 6题型06由垂径定理及推论判断正误 7题型07利用垂径定理求解 8题型08根据垂径定理与全等/相似三角形综合求解 9题型09在坐标系中利用勾股定理求值或坐标 10题型10利用垂径定理求平行弦问题 12题型11利用垂径定理求同心圆问题 12题型12垂径定理在格点中的应用 13题型13利用垂径定理的推论求解 14题型15利用垂径定理求取值范围 18题型16利用弧、弦、圆心角关系判断正误 19题型17利用弧、弦、圆心角关系求解 20题型18利用弧、弦、圆心角关系求最值 21题型19利用弧、弦、圆心角关系证明 22题型20利用圆周角定理求解 24题型21利用圆周角定理推论求解 25题型22已知圆内接四边形求角度 27题型23利用圆的有关性质求值 27题型24利用圆的有关性质证明 28题型25利用圆的有关性质解决翻折问题 31题型26利用圆的有关性质解决多结论问题 32题型27圆有关的常见辅助线-遇到弦时,常添加弦心距 33题型28圆有关的常见辅助线-遇到有直径时,常添加（画）直径所对的圆周角 34真题实战练 34

题型过关练题型01理解圆的相关概念1．（2023·上海普陀·统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（

）A．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴2．（2020·内蒙古乌兰察布·校考一模）下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．（2023·江苏徐州·统考一模）下列说法中，正确的是（

）①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；②对角线相等的四边形是矩形；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④半圆是弧，但弧不一定是半圆.A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④4．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（

）A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大B．同一个圆所有的直径都相等C．圆的周长是直径的π倍D．圆是轴对称图形题型02圆的周长与面积相关计算5．（2022·山西临汾·统考二模）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手掌推出光泽而得名．图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，12对角线的长为半径画弧，四条弧相交于点O，则图中阴影部分的面积为（

A．2π−4 B．π−2 C．2π D．16．（2019·广东佛山·佛山市三水区三水中学校考一模）某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（

）A．图（1）需要的材料多 B．图（2）需要的材料多C．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D．无法确定7．（2019·河北张家口·统考一模）半径为R、r的两个同心圆如图所示，已知半径为r的圆周长为a，且R−r=1，则半径为R的圆周长为（

）A．a+1 B．a+2 C．a+π D．a+2π8．（2021·江苏宿迁·统考一模）一块含有30°角的三角板ABC如图所示，其中∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm．将此三角板在平面内绕顶点A旋转一周．（1）画出边BC旋转一周所形成的图形；（2）求出该图形的面积．题型03圆中的角度计算9．（2023·山东聊城·统考一模）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝12OD，则∠ABDA．90° B．95° C．100° D．105°10．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC=80°，点D为弦AC的中点，点E为BC上任意一点，则∠CED的大小可能是（A．10° B．20° C．30°11．（2023·湖南湘西·统考模拟预测）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点

题型04圆中线段长度的计算12．（2023·湖南益阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长为（

A．403 B．8 C．24513．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BCA．403 B．8 C．245 14．（2022·湖北武汉·武汉第三寄宿中学校考模拟预测）如图，将两个正方形如图放置（B，C，E共线，D，C，G共线），若AB＝3，EF＝2，点O在线段BC上，以OF为半径作⊙O，点A，点F都在⊙O上，则OD的长是（

）A．4 B．10 C．13 D．26题型05求一点到圆上一点的距离最值15．（2023·湖北咸宁·统考二模）如图，正方形ABCD内接干圆O，线段MN在对角线BD上运动，若圆O的面积为2π，MN=1，△AMN周长的最小值是_________

16．（2023·浙江嘉兴·统考一模）平面直角坐标系xoy中，⊙O的半径为2，点M在⊙O上，点N在线段OM上，设ON=t（1<t<2），点P的坐标为−4,0，将点P沿OM方向平移2个单位，得到点P'，再将点P'作关于点N的对称点Q，连接PQ，当点M在⊙O上运动时，PQ

17．（2023·山东济宁·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D为线段AB上的动点，连接CD，过点B作BE⊥CD交CD于点E，则在点D的运动过程中，求线段AE的最小值为______18．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，P是矩形内部一动点，且满足，则线段BP的最小值是______；当BP取最小值时，DP延长线交线段BC于E，则CE的长为______．

题型06由垂径定理及推论判断正误19．（2022·山东济宁·二模）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO、AD、OD，∠BAD=22.5°，则下列说法中不正确的是（

）A．CE=EO B．OC=2CD C．∠OCE=45° 20．（2022·河南许昌·统考一模）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（

）A．AE＝BE B．OE＝DE C．AC=BC 21．（2018·内蒙古包头·校联考一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC、BD、AC，下列结论中不一定正确的是（）A．∠ACB=90° B．OE=BE C．BD=BC D．AD题型07利用垂径定理求解22．（2023·云南·模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（

）A．713 B．1213 C．71223．（2023·陕西西安·校考二模）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为(

)A．363 B．243 C．183 D．72324．（2022·北京丰台·统考一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAD＝45°，则∠BOC＝_____°．25．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是AD所对的圆周角，则∠APD的度数是______．题型08根据垂径定理与全等/相似三角形综合求解26．（2022·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD=∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE=3，求GC和OF的长．27．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）小明向如图所示的圆形区域内投掷飞镖．已知△ABC是等边三角形，D点是弧AC的中点，则飞镖落在阴影部分的概率为________．28．（2022·广东广州·统考一模）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，则圆的半径为_____．29．（2022·广西钦州·统考一模）如图，在△ABC中，∠C=90∘，BC＝3，AC＝4，点D是AC边上一动点，过点A作AE⊥BE交BD的延长线于点E，则BDDE30．（2021·四川成都·统考二模）如图，在半径为32的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC⏜的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_____题型09在坐标系中利用勾股定理求值或坐标31．（2022·山东淄博·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A0,−2，B0,4，与x轴交于C，D，则点D的坐标为（A．4−26,0 B．−4+26,0 C．32．（2021·浙江宁波·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A10,0,B8,0，点C,D是以OA为直径的半圆上两点，且四边形OCDB是平行四边形，则点CA．2，3 B．2,4 C．1,2 D．1,333．（2017·山东临沂·校考一模）如图，已知⊙A在平面直角坐标系中，⊙A与x轴交于点B，C，与y轴交于点D，E，若圆心A的坐标为（-4，6），点B的坐标为（-12，0），则DE的长度为（）A．221 B．421 C．8 D．1634．（2022·四川泸州·模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=6x(x>0)图像上的一个动点，若以点P为圆心，3为半径的圆与直线y=x相交，交点为A、B，当弦AB的长等于25时，点题型10利用垂径定理求平行弦问题35．（2021·浙江衢州·校考一模）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____．36．（2022·黑龙江·统考一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB=5，EF=4，那么AD=______．37．（2022·黑龙江牡丹江·统考二模）在半径为4cm的⊙O中，弦CD平行于弦AB，AB=43cm，∠BOD=90°，则AB与CD之间的距离是题型11利用垂径定理求同心圆问题38．（2022·福建·模拟预测）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆的半径OA交小圆于点D，若OD＝3，tan∠OAB＝12，则AB的长是_______39．（2019·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，两个圆都以O为圆心，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB=6，则圆环的面积为________.40．（2022·甘肃武威·统考模拟预测）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．题型12垂径定理在格点中的应用41．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，AE的延长线经过格点D，则AE的长为（

）A．3π4 B．π2 C．5π842．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O均在格点上，则sinC=___________

43．（2023·天津东丽·统考二模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，M均为格点，以格点O为圆心，AB为直径作圆，点M在圆上．

（Ⅰ）线段AB的长等于__________；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM44．（2023·天津·校联考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均为格点，且点A，B在圆上．（1）线段AC的长等于________；（2）过点D作DF∥AC，直线DF与圆交于点M,N（点M在N的左侧），画出MN的中点P，简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_______题型13利用垂径定理的推论求解45．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC=BD，∠CDB=30°，AC=23，则OE=A．32 B．3 C．1 46．（2021·江苏扬州·统考一模）如图，在⊙O中，点C是AB的中点，连接OC交弦AB于点D，若OD=3，DC=2，则AB的长是______．47．（2023·天津西青·统考一模）已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上两点，AC=BC，连接AC，BC，(1)如图①，若AB=10，BD=5，求∠ABC和∠ABD的大小；(2)如图②，过点C作⊙O的切线，与DB的延长线交于点E，若CE=CB，求∠ABD的大小．48．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点D是弧BC的中点，点E在DO的延长线上，连接AE．若∠E=∠B．

(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)连接AC．若AC=6，CF=4，求OE的长．题型14垂径定理的实际应用49．（2021·山东临沂·统考二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）50．（2022·河南开封·统考一模）中国5A级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮，竹筒、支撑杆和水槽等配件组成，如图是水车园中半径为5m的水车灌田的简化示意图，立式水轮⊙O在水流的作用下利用竹筒将水运送到到点A处，水沿水槽AP流到田地，⊙O与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上；AP与⊙O相切，若点P到点C的距离为32米，立式水轮⊙O的最低点到水面的距离为2米，连接AC，AB．请解答下列问题，(1)求证：∠PAC=∠PBA．(2)请求出水槽AP的长度．51．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧型，跨度CD（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高AB（弧的中点到弦的距离）为0.8米．(1)求该圆弧所在圆的半径；(2)在修建中，在距大门边框的一端（点D）0.4米处将竖立支撑杆HG，求支撑杆HG的高度；52．（2021·云南大理·统考二模）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．【概念理解】（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB=8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为_，最小值为_．（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求证︰AB、CD互为“十字弦”；【问题解决】（3）如图3，在⊙O中，半径为13，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，CHDH=5，则CD的长度_题型15利用垂径定理求取值范围53．（2020·山东泰安·校考模拟预测）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤554．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，⊙O的弦AB=8，点P是AB上一动点，若⊙O的直径是10，则OP的长的取值范围是______．55．（2023·浙江金华·校考一模）在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，设BC边上的高为h，则h的取值范围是__________________．56．（2022·湖南长沙·校考二模）在半径为5的圆中，弦AB=8，点C是劣弧AB上的动点（可与A、B重合），连接OC交AB于点P(1)如图1，当OC⊥AB时，求(2)如图2，过C点作CM⊥AB，垂足为点M，设CM=m，求OP的长度（用含(3)如图3，设CM=m，连接OM．求题型16利用弧、弦、圆心角关系判断正误57．（2020·安徽芜湖·校联考三模）在⊙O中，M为AB的中点，则下列结论正确的是(

)A．AB＞2AM B．AB＝2AMC．AB＜2AM D．AB与2AM的大小不能确定58．（2018·湖北襄阳·统考一模）如图，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论中不正确的是（

）A．OE＝OF B．弧AC=弧BD C．AC＝CD＝DB D．CD∥AB59．（2018·福建三明·统考一模）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是(

)A．AC＝CD B．OM＝BM C．∠A＝12∠BOD D．∠A＝12题型17利用弧、弦、圆心角关系求解60．（2022·福建泉州·一模）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（）A．33 B．32 C．3 61．（2022·江苏扬州·统考二模）将一张正方形的透明纸片ABCD和⊙O按如图位置叠放，顶点A、D在⊙O上，边AB、BC、CD分别与⊙O相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（

）A．AD=AE B．AD=AF C．62．（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°,N是MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=2，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．763．（2023·山东德州·统考三模）如图，在△ABC中，∠B=90°，⊙O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若∠A=32°，则∠ADO=__________64．（2022·上海静安·统考二模）如图，已知半圆直径AB=2，点C、D三等分半圆弧，那么△CBD的面积为________．题型18利用弧、弦、圆心角关系求最值65．（2022·山东枣庄·校考一模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．266．（2022·安徽淮南·统考一模）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB=2，则CE+DE长的最小值为______．67．（2022·山东济南·统考二模）如图，在边长为6的等边ΔABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE=CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为___________．题型19利用弧、弦、圆心角关系证明68．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，已知在⊙O中，AB＝BC＝CD，OC与（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．69．（2023·贵州黔南·统考一模）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点．(1)求证：AB平分∠OAC；(2)延长OA至P，使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．70．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知

(1)求证：BE=DE；(2)如果⊙O的半径为5，AD⊥CB,DE=1，求AE的长．71．（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=BC，对角线AC为⊙O的直径，E为⊙O外一点，AB平分∠DAE，AD=AE，连接BE．(1)求∠AEB的度数；(2)连接CE，求证：2BE题型20利用圆周角定理求解72．（2023·山东泰安·统考一模）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD=35°，则∠C=___________°．73．（2022·山西晋中·统考一模）如图，在⊙O中，OA=3，∠C=45°，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留π）74．（2023·宁夏银川·校考一模）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是________．75．（2022·江西·校联考一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．（1）求证：△ACD∽△CFD；（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；（3）若sin∠CAD＝13，求tan∠CDA题型21利用圆周角定理推论求解76．（2023·江苏苏州·星海实验中学校考二模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB=CD，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=77．（2022·江苏徐州·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是___．78．（2023·山东济宁·统考一模）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________．

79．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD．(1)求证：BD=CD；(2)若⊙O与AC相切，求∠B的度数；(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD的中点E．（不写作法，保留作图痕迹）题型22已知圆内接四边形求角度80．（2021·重庆南岸·统考一模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（）A．70° B．110° C．130° D．140°81．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD的度数为()A．128° B．64° C．32° D．116°82．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，则图中与∠EAD相等的角(不包括∠EAD)是___________．题型23利用圆的有关性质求值83．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，AC=12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于D，与CB的延长线交于E，则线段DEA．6.4 B．7 C．7.2 D．884．（2022·安徽合肥·合肥寿春中学校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，BC和DE相交于点O，点D落在线段AB上，连接BE

(1)若∠ABC=20°，则∠BCE=_______；(2)若BE=BD，则tan∠ABC=________85．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为线段AB上一动点，CF⊥CE交△ACE的外接圆于点F，连接AF，其中AC=3，BC=4(1)求证△CFA∽△CEB；(2)当E从B运动到A时，F运动路径的长为______．题型24利用圆的有关性质证明86．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD=CD，过D作DE⊥BC交BC延长线于点E

(1)若AB为直径，证明：DE是⊙O的切线；(2)若AB不是⊙O的直径，如图2，DE交⊙O于点F，连接BF①求证：CDBF②若AB=BC+EF，求sin∠ABD87．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点P是射线AB上的一动点（不与点A，B重合），过点P作⊙O的割线交⊙O于点C，D，BH⊥CD于H，连接BC，

(1)①在图1的情形下，证明：BC⋅BD=AB⋅BH；②当点P处于图2中的位置时，①中的结论___________（填“仍成立”或“不再成立”）；(2)若⊙O的半径为3，当∠APC=30°且BC⋅BD=6时，求AP的长．88．（2022·山西大同·校联考三模）阅读与思考：阿基米德（公元前287年－公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家、静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，留给后人的最有价值的书是《阿基米德全集》．在该书的“引理集”中有这样一道题：如图1，以AB为直径作半圆O，弦AC是一个内接正五边形的一条边（即：∠AOC=72°），点D是AC的中点，连接CD并延长与直径BA的延长线交于点E，连接AC,DB交于点F，过点F作FM⊥AB于点M．求证：ME是半圆的半径．下面是勤奋小组的部分证明过程：证明：如图2，过点D作DH⊥AB于点H．∵∠AOC=72∴∠ABC=1∵点D是AC的中点，∴AD=∵∠AOC=72°，∴∠AOD=∠COD=36°．∴∠ABD=∠CBD=∠DAC=∠DCA=1∵以AB为直径作半圆O，∴∠ACB=∠ADB=90°．（依据3）∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=108°．∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形，∴∠BAD=180°−∠DCB=72°,∠ADC+∠ABC=180°．（依据4）∵∠ADE+∠ADC=180°，∴∠ADE=∠ABC=36°．∵FM⊥AB于点M，∴FM=FC,∠FMB=∠ACB=90°．∵BF=BF，∴△BCF≌△BMF(HL∵BC=BM．∵BC=BM,∠ABD=∠CBD,BD=BD．∴△BCD≌△BMD(SAS∴DC=DM．……通过上面的阅读，完成下列任务：(1)任务一：直接写出依据1，依据2，依据3和依据4；(2)任务二：根据勤奋小组的解答过程完成该题的证明过程．（提示：先求出∠A的度数，再根据等腰三角形的性质或判定完成该题的证明过程）题型25利用圆的有关性质解决翻折问题89．（2022·黑龙江大庆·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将BC沿BC翻折交AB于点D．再将BD沿AB翻折交BC于点E．若BE=DE，设∠ABC=α，则A．21.9°<α<22.3° B．22.3°<α<22.7°C．22.7°<α<23.1° D．23.1°<α<23.5°90．（2023·福建泉州·统考一模）如图，AB、AC是⊙O的弦（不是直径），将AB沿AB翻折交AC于点D．若AB=AC，AD=BD，则91．（2023·安徽淮南·校联考一模）如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．(1)如图①，将AC沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，AC=23，则⊙O的半径为_____(2)如图②，将BC沿弦BC翻折，交AB于D，把BD沿直径AB翻折，交BC于点E．（Ⅰ）若点E恰好是翻折后的BD的中点，则∠B的度数为_____；（Ⅱ）如图③，连接DE，若AB=10，OD=1，求线段DE的长．题型26利用圆的有关性质解决多结论问题92．（2022·浙江杭州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长BA与弦CD的延长线交于点P，已知PD=12AB，下列结论：①若CD⏜=AD⏜+BC⏜，则AB=2CD；②若∠B=60°，则∠P=20°；③若∠P=30°，则PAPD=3−1；④ADA．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④93．（2022·福建莆田·统考一模）如图，在半径为5的⊙O中，弦AC=8，B为AC上一动点，将△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延长CD交⊙O于点E，F为DE的中点，连接AE，OF．现给出以下结论：①AE=AB；②AD=AE；③∠ADC=2∠AED；④OF的最小值为1，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）．94．（2020·湖南岳阳·校考二模）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为AN上一点，且AC=AM，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①∠MAN=90°；②AM=BM；③∠ACM+∠ANM=∠MOB；④题型27圆有关的常见辅助线-遇到弦时,常添加弦心距95．（2022·贵州铜仁·校考模拟预测）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC=45°，若PC2+PD296．（2022·浙江杭州·统考一模）如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为______．题型28圆有关的常见辅助线-遇到有直径时,常添加（画）直径所对的圆周角97．（2022·江苏常州·常州市第二十四中学校联考一模）图，点A1,2、点B都在反比例函数y=kxx>0的图象上，当以OB为直径的圆经过A点，点98．（2023·黑龙江鸡西·统考二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则⊙O的直径等于__________．

99．（2018·湖南张家界·校联考一模）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_______°．真题实战练一、单选题1．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（

）A．2 B．5 C．6 D．82．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（

）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形3．（2023·陕西·统考中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为（

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm4．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分别为D,E,F，连接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC的周长为21，则EF的长为（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．35．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点O是这段弧所在圆的圆心，B为AC上一点，OB⊥AC于D．若AC=3003m，BD=150m

A．300πm B．200πm C．150πm6．（2023·广东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠D=（

）

A．20° B．40° C．50° D．80°7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在⊙O中，半径OA,OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC=19°，则∠BAC=（

）

A．23° B．24° C．25° D．26°8．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为（

）

A．15° B．17.5° C．20° D．25°9．（2023·西藏·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE=65°，则∠BOD的度数是（

）

A．65° B．115° C．130° D．140°10．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD=∠CAD；②若∠BAC=60°，则∠BEC=120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD=90°；④BD=DE．其中一定正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．411．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD=CE；②∠DAC=∠CED；③若BD=2CD，则CFAF=45；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④二、填空题12．（2023·黑龙江·统考中考真题）在Rt△ACB中，∠BAC=30°,CB=2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF,CE，在旋转的过程中，△CEF13．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为BD的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E．

（1）若∠A=30°,AB=6，则BD的长是_________（结果保留π）；（2）若CFAF=1314．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E,AC=2BD．连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB=68°，则

15．（2023·江苏·统考中考真题）如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC=∠ABC，AC=4，则⊙O的直径AD=______．

16．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为_______．

17．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC=12,BC=5，则MD的长是________．

18．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE=70°，则∠AOC=_____度．三、解答题19．（2023·安徽·统考中考真题）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．

(1)如图1，连接OA,CA，若OA⊥BD，求证；CA平分∠BCD；(2)如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC,CE⊥AB，若BD=33，AE=3，求弦BC20．（2023·天津·统考中考真题）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC=60°，E为弦AB所对的优弧上一点．

(1)如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；(2)如图②，CE与AB相交于点F，EF=EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA=3，求EG的长．21．（2023·河北·统考中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH计算：在图1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于点C（1）求OC的长．操作：将图1中的水面沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．

探究：在图2中（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与EQ的长度，并比较大小．22．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．(1)求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F．若AC=AD，23．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC．

(1)求证：∠AOB=2∠BOC；(2)若AB=4,BC=5，求⊙O24．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在△ABC中，AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，连接MN．初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是_________，MN与AC的位置关系是_________．特例研讨：（2）如图2，若∠BAC=90°,BC=42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A,E,F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF

（1）求∠BCF的度数；（2）求CD的长．深入探究：（3）若∠BAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°<α<360°，点C,E,F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．25．（2022·山东泰安·统考中考真题）问题探究（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．①若∠A=60°，AB=AC，如图，试证明BC=CD+BE；②将①中的条件“AB=AC”去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由．迁移运用（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB=2∠ACD，∠CAD=2∠CAB，如图，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．

第26讲圆的相关概念及性质答案解析题型过关练题型01理解圆的相关概念1．（2023·上海普陀·统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（

）A．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴【答案】D【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意；B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大．2．（2020·内蒙古乌兰察布·校考一模）下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【分析】本题考查了三角形的内切圆、圆周角定理、垂径定理以及弧与圆心角的关系的知识点，注意熟记定理是解此题的关键．①根据确定圆的条件进行解答即可；②利用直径所在的直线为圆的对称轴进行判断即可；③根据垂径定理即可得出结论；④根据三角形外心的性质可得出结论；⑤根据圆周角定理即可得出结论．【详解】解：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故本小题错误；②直径所在的直线为圆的对称轴，故本小题错误；③平分弦的直径垂直于弦（非直径），故本小题错误；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本小题错误；⑤在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题错误．∴正确命题的个数为0个．故选：A．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、圆的对称性、垂径定理及三角形的外心的性质，难度不大．3．（2023·江苏徐州·统考一模）下列说法中，正确的是（

）①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；

②对角线相等的四边形是矩形；③同弧或等弧所对的圆周角相等；

④半圆是弧，但弧不一定是半圆.A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧分为优弧、劣弧、半圆弧分别判断即可．【详解】解：①、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故该项正确；②、对角线相等的平行四边形为矩形，故该选项错误；③、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项错误；④、弧分为优弧、劣弧、半圆弧，则半圆是弧，但弧不一定是半圆，故该项正确；故选：A．【点睛】本题考查基本概念，熟记知识点是解题关键．4．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（

）A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大B．同一个圆所有的直径都相等C．圆的周长是直径的π倍D．圆是轴对称图形【答案】B【分析】根据圆的特征即可求解．【详解】解：根据同一个圆所有的直径都相等，则井盖就不会掉进井里去，故选：B．【点睛】本题主要考查圆的基础知识，理解并掌握圆的基础知识，圆的基本特征是解题的关键．题型02圆的周长与面积相关计算5．（2022·山西临汾·统考二模）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手掌推出光泽而得名．图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，12对角线的长为半径画弧，四条弧相交于点O，则图中阴影部分的面积为（

A．2π−4 B．π−2 C．2π D．1【答案】A【分析】由题意得半径为2，阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，代入计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形∴正方形的对角线的长为22∴半径为2∵阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积∴阴影部分面积=π（2）2-22=2π−4故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形面积之间的关系．6．（2019·广东佛山·佛山市三水区三水中学校考一模）某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（

）A．图（1）需要的材料多 B．图（2）需要的材料多C．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D．无法确定【答案】C【分析】根据圆的周长公式，将每个圆的周长计算出来，找到和周长L的关系即可．【详解】设大圆的直径是D，图（2）中三个小圆的直径分别为：d1,d2,d3,∴d1+d2+d3=D根据圆周长公式，得图（1）中，需要2πD；图（2）中，需要πD+πd1+πd2+πd3=πD+π(d1+d2+d3)=2πD故选：C．【点睛】注意：第二个图中，计算三个小圆的周长时候，提取π，所有的直径之和是大圆的直径．7．（2019·河北张家口·统考一模）半径为R、r的两个同心圆如图所示，已知半径为r的圆周长为a，且R−r=1，则半径为R的圆周长为（

）A．a+1 B．a+2 C．a+π D．a+2π【答案】D【分析】根据半径为r的圆的周长表示出半径r.【详解】∵半径为r的圆周长为a，∴2πr=a，∴r=a∵R−r=1，∴R=1+r=1+a∴半径为R的圆周长为2π⋅2π+a2π=故选：D.【点睛】此题考查圆的周长公式，熟记公式是解题的关键.8．（2021·江苏宿迁·统考一模）一块含有30°角的三角板ABC如图所示，其中∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm．将此三角板在平面内绕顶点A旋转一周．（1）画出边BC旋转一周所形成的图形；（2）求出该图形的面积．【答案】（1）画图见详解；（2）BC扫过的面积S圆环==9π．【分析】（1）由三角板ABC可求AB=2BC=6cm，由勾股定理：AC=AB2−BC2（2）BC扫过的面积S圆环=πAB【详解】解：（1）∵三角板ABC，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，∴AB=2BC=6cm，∴由勾股定理：AC=AB边BC在平面内绕顶点A旋转一周．图形是以AB为半径的圆去掉以AC为半径的圆，所形成的圆环，如图所示：（2）BC扫过的面积S圆环=πAB【点睛】本题考查画旋转图形，勾股定理，30°直角三角形的性质，圆环面积，掌握画旋转图形方法，勾股定理，30°直角三角形的性质，圆环面积求法是解题关键．题型03圆中的角度计算9．（2023·山东聊城·统考一模）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝12OD，则∠ABDA．90° B．95° C．100° D．105°【答案】D【分析】连接OB，即得出OB＝OD，从而得出∠OBD＝∠ODB．根据含30度角的直角三角形的性质结合题意可判断∠OBC＝30°，再利用平行线的性质可得出∠BOD＝∠OBC＝30°，从而根据三角形内角和求出∠OBD＝∠ODB＝75°，最后由∠ABD＝∠OBC+∠OBD求解即可．【详解】如图：连接OB，∴OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB．∵OC＝12OD∴OC＝12OB∵OC⊥AB，∴sin∠OBC=∴∠OBC＝30°．∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°．故选D．【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用．连接常用的辅助线是解题关键．10．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC=80°，点D为弦AC的中点，点E为BC上任意一点，则∠CED的大小可能是（A．10° B．20° C．30°【答案】C【分析】连接OD、OE，先求出∠COD=40°，∠BOC=100°，设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°；然后运用等腰三角形的性质分别求得∠OED和∠COE，最后根据线段的和差即可解答．【详解】解：连接OD、OE∵OC=OA∴△OAC是等腰三角形∵∠AOC=80°，点D为弦∴∠DOC=40°，∠BOC=100°设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°∵OC=OE，∠COE=100°-x∴∠OEC=180∘∵OD＜OE，∠DOE=100°-x+40°=140°-x∴∠OED＜180∘∴∠CED＞∠OEC-∠OED=40∘又∵∠CED＜∠ABC=40°，故答案为C．【点睛】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本题的关键．11．（2023·湖南湘西·统考模拟预测）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点

【答案】87【分析】根据旋转对应边相等及半径相等得到等边△OBO'，得到旋转角为【详解】∵△AOB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B∴∠A=∠A'=27°连接OO

∵OB=OO∴△OO∴∠OBO∴△AOB绕点B按顺时针方向旋转了60°，∴∠ABA∴∠OCB=∠A+∠ABA故答案为：87.【点睛】本题考查旋转中角度的计算，旋转过程中对应边相等，对应角相等，旋转角处处相等．本题中利用圆的半径相等得到边长关系进而求得角度关系是解题的关键．题型04圆中线段长度的计算12．（2023·湖南益阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长为（

A．403 B．8 C．245【答案】C【分析】连接OE，证明OE∥【详解】解：连接OE，如图，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠CBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠CBE=∠OEB，∴OE∥∴△AOE∽△ABC，∴OEBC∵⊙O的半径为3，AD=2，∴AO=AD+OD=5，∴BC=OE⋅AB故选：C．

【点睛】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．13．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BCA．403 B．8 C．245 【答案】C【分析】连接OE，由角平分线的性质，等腰三角形的性质的推出∠OEB=∠CBE，得到OE∥BC，因此△AOE∼△ABC，得到AO：AB=OE：BC代入有关数据，即可求出【详解】解：如图，连接OE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵OE=OB，∴∠OEB=∠ABE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥∴△AOE∼△ABC，∴AO：AB=OE：BC，∵⊙O的半径为3，AD=2，∴AO=AD+OD=2+3=5，AB=AD+BD=2+6=8，∴5：8=3：BC，∴BC=24故选：C．【点睛】本题考查角平分线定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的判定和性质．14．（2022·湖北武汉·武汉第三寄宿中学校考模拟预测）如图，将两个正方形如图放置（B，C，E共线，D，C，G共线），若AB＝3，EF＝2，点O在线段BC上，以OF为半径作⊙O，点A，点F都在⊙O上，则OD的长是（

）A．4 B．10 C．13 D．26【答案】B【分析】连接OA，OF，由题意得OA=OF，设OC=x，由勾股定理得(x+2)2+22=【详解】解：连接OA，OF，如图，∵OF是半圆O的半径，∴OA=OF，∵四边形ABCD、EFGC是正方形，∴∠ABC=∠DCB=∠FEC=90°，AB=BC=CD=3,CE=EF=2设OC=x，∴BO=BC-OC=3-x，OE=OC+CE=x+2，在RtΔABO和RtΔAB∴32∵AO=FO∴32解得，x=1，即OC=1，在Rt△DOC中，DO∴OD=O故选：B．【点睛】本题主要考查了圆的基本概念，勾股定理以及正方形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．题型05求一点到圆上一点的距离最值15．（2023·湖北咸宁·统考二模）如图，正方形ABCD内接干圆O，线段MN在对角线BD上运动，若圆O的面积为2π，MN=1，△AMN周长的最小值是_________

【答案】4【分析】由正方形的性质知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA'∥BD，且使CA'=1，连接AA'交BD于点N，取MN=1，连接AM、CM，则点【详解】解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为2，BD=2由正方形的性质知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA'∥BD，且使连接AA'交BD于点N，取MN=1，连接AM、CM，则点M、

理由：∵A'C∥MN，且A'C=MN，则四边形则A'N=CM=AM，故△AMN的周长=AM+AN+MN=AA'+1为最小，∵正方形ABCD中AC⊥BD，∴A'C⊥AC，∴A'A=A则△AMN的周长的最小值为3+1=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是解题的关键．16．（2023·浙江嘉兴·统考一模）平面直角坐标系xoy中，⊙O的半径为2，点M在⊙O上，点N在线段OM上，设ON=t（1<t<2），点P的坐标为−4,0，将点P沿OM方向平移2个单位，得到点P'，再将点P'作关于点N的对称点Q，连接PQ，当点M在⊙O上运动时，PQ

【答案】4t−4/−4+4t【分析】根据题意作出点P'和点Q，连接P'M,PO，并延长P'M至点B，使得P'M=BM,连接BQ并延长交PO的延长线于点C，证明四边形P【详解】

解：根据题意作出点P'和点Q，如图，连接P'M,PO，并延长P'M至点B，使得P'M=BM∵将点P'作关于点N的对称点Q∴P∵P∴BQ=2MN=2×OM−ON=4−2t，且∵将点P沿OM方向平移2个单位，∴P'P∴四边形P'PCB为平行四边形，四边形∵将点P沿OM方向平移2个单位，∴P∴QC=BC−BQ=2−4−2t∵点P的坐标为−4,0，∴PC=P由图得，PC−CQ≤PQ≤PC+CQ，

∴PQ的最大值为PC+CQ=2t+6，PQ的最小值为PC−CQ=10−2t，∴PQ长度的最大值与最小值的差为2t+6−10−2t故答案为：4t−4．【点睛】本题考查了圆的综合问题，主要考查了中位线的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定及性质，正确画出图形并作出辅助线是解题的关键．17．（2023·山东济宁·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D为线段AB上的动点，连接CD，过点B作BE⊥CD交CD于点E，则在点D的运动过程中，求线段AE的最小值为______

【答案】73−3/【分析】根据BE⊥CD，得到∠BEC=90°，进而得到点E在以BC为直径的圆上，设BC的中点为O，连接AO，交⊙O于点F，连接OE，则：AE≥OA−OE，当且仅当O,A,E三点共线时，AE取得最小值，即点E与点F重合时，AE取得最小值，进行求解即可．【详解】解：∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，∴点E在以BC为直径的圆上，设BC的中点为O，连接AO，交⊙O于点F，连接OE，则：AE≥OA−OE，

∴当且仅当O,A,E三点共线时，AE取得最小值，此时点E与点F重合，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴OF=BO=3，AO=∴AE的最小值为：AO−OF=73故答案为：73−3【点睛】本题考查勾股定理，求一点到圆上的距离的最小值．解题的关键是确定点E在以BC为直径的圆上．18．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，P是矩形内部一动点，且满足，则线段BP的最小值是______；当BP取最小值时，DP延长线交线段BC于E，则CE的长为______．

【答案】23【分析】（1）如图，由∠BCP=∠PDC及∠BCD=90°易证∠CPD=90°，所以点P在以CD为直径的圆上，连接OB，交⊙O于P，此时BP长最小，根据勾股定理求解OB=5,进而求得BP为2；（2）如图，作OF∥BC交DE于F，由OC=OD可证OF=12CE，由△BPE∼△OPF知BE【详解】

解：∵四边形ABCD矩形，∴∠BCD=90°，∴∠BCP+∠DCP=90°∵∠BCP=∠PDC，∴∠PDC+∠PCD=90°，∴∠CPD=90°，以CD为直径作⊙O，⊙O经过点P，连接OB，交⊙O于P，此时PB长最小．∵OB∴OB=5，∴PB=OB−OP=5−3=2，故答案为2．

（2）作OF∥BC交DE于∵OC=OD，∴DF=EF，∴OF=1∵OF∥BC∴∠PFO=∠PEB，∠POF=∠PBE∴△BPE∼△OPF∴BEOF∴4−CE1∴CE=3．故答案3．【点睛】本题主要考查直角三角形的外接圆、点到圆上点的最值问题、中位线定理、相似三角形的判定和性质；明确动点P的轨迹，确定BP取最小值时点P的位置是解题的关键；求CE长的关键是利用矩形的性质及（1）空的结论构造相似三角形求解．题型06由垂径定理及推论判断正误19．（2022·山东济宁·二模）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO、AD、OD，∠BAD=22.5°，则下列说法中不正确的是（

）A．CE=EO B．OC=2C．∠OCE=45° D．∠BOC=2∠BAD【答案】B【分析】由AB⊥CD，AB是⊙O的直径，得CE=DE，BC⏜=BD⏜，进而得出△OCE为等腰直角三角形，进而得出∠OCE=45°，【详解】解：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴CE=DE，BC⏜∴∠BOC=2∠BAD=2×22.5°=45°，∴△OCE为等腰直角三角形，∴∠OCE=45°，OC=2CE，∴OC=2故选：B．【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形，熟练掌握垂径定理是解题的关键．20．（2022·河南许昌·统考一模）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（

）A．AE＝BE B．OE＝DE C．AC=BC 【答案】B【分析】根据垂径定理即可判断．【详解】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，∴AE=EB，AC=BC，故选：B．【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．21．（2018·内蒙古包头·校联考一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC、BD、AC，下列结论中不一定正确的是（）A．∠ACB=90° B．OE=BE C．BD=BC D．AD【答案】B【分析】根据垂径定理及圆周角定理进行解答即可．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，故A正确；∵点E不一定是OB的中点，∴OE与BE的关系不能确定，故B错误；∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴BD=∴BD=BC，故C正确；∴AD=故选B．【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．题型07利用垂径定理求解22．（2023·云南·模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（

）A．713 B．1213 C．712【答案】B【分析】先根据垂径定理求出CE=1【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD．∴CE=12CD=12,∠OEC=90°，OC∴cos∠OCE=故选：B．【点睛】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答此题的关键．23．（2023·陕西西安·校考二模）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为(

)A．363 B．243 C．183 D．723【答案】A【分析】连接OC，首先根据题意可求得OC=6，OE=3，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长，据此即可求得四边形ACBD的面积．【详解】解：如图，连接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，∴在Rt△COE中，EC=O∴CD＝2CE＝63，∴四边形ACBD的面积＝12故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．24．（2022·北京丰台·统考一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAD＝45°，则∠BOC＝_____°．【答案】45【分析】根据垂径定理可得△ACD是等腰三角形，∠BAC＝22.5°，然后再利用圆周角定理可得∠BOC＝45°．【详解】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，∴AB垂直平分CD∴AC＝AD∴△ACD是等腰三角形∴∠BAC＝12∠CAD＝1∴∠BOC＝2∠BAC＝45°，故答案为：45．【点睛】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定和性质，关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．25．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是AD所对的圆周角，则∠APD的度数是______．【答案】30°/30度【分析】根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=12∠AOD【详解】∵OC⊥AB，OD为直径，∴BD=∴∠AOB=∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∴∠APD=12∠AOD故答案为：30°．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．题型08根据垂径定理与全等/相似三角形综合求解26．（2022·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD=∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE=3，求GC和OF的长．【答案】（1）见详解；（2）GC=6，OF=【分析】（1）由题意易得BD=（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有OE=12CG,OE【详解】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴BD=∴∠BAD=∠CAD；（2）解：由题意可得如图所示：由（1）可得点E为BC的中点，∵点O是BG的中点，∴OE=1∴△AOF∽△CGF，∴OACG∵OE=3，∴CG=6，∵⊙O的半径为5，∴OA=OG=5，∴56∴OF=5【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．27．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）小明向如图所示的圆形区域内投掷飞镖．已知△ABC是等边三角形，D点是弧AC的中点，则飞镖落在阴影部分的概率为________．【答案】1【分析】如图，连接OA，OC，连接OD交AC于E，则OD⊥AC，AE=CE，OD=OC=CD=OA，∠OAE=∠DCE=30°，证明△AOE≌△CDESAS，则S△AOE=S△CDE【详解】解：如图，连接OA，OC，连接OD交AC于E，由题意知，OD⊥AC，AE=CE，∠OAE=∠DCE=30°，∵AD⏜∴∠AOD=∠COD=60°，∵OD=OC，∴△COD是等边三角形，∴CD=OA，在△AOE和△CDE中，∵OA=CD∠OAE=∠DCE=30°∴△AOE≌△CDESAS∴S△AOE∴S阴影∵S阴影∴飞镖落在阴影部分的概率为16故答案为：16【点睛】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆周角相等，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，扇形面积，几何概率等知识．解题的关键在于正确的表示阴影部分面积．28．（2022·广东广州·统考一模）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，则圆的半径为_____．【答案】22【分析】连接BC并延长，交圆于F，过O作OE⊥BF，连接AC,OA,AF，证明△ABC∽△FBA，则可得AB2＝BC•BF，进而求得DE＝32，OD【详解】解：连接BC并延长，交圆于F，过O作OE⊥BF，连接AC,OA,AF∵BA是圆O的切线，切点为A，∴∠OAB=90°∴∠OAC+∠CAB=90°∵∴∠AOC=在△AOC中，OA=OC∴∠AOC+2∠OAC=180°则2∠AFC+2∠OAC=180°∴∠AFC+∠OAC=90°∴∠AFC=∠CAB又∠B=∠B∴△ABC∽△FBA∴∴AB2＝BC•BF，∵BC＝DC＝3，AB＝6，∴BF＝12，CF＝9，∴DE＝32，OD∴OE＝OD2−DE2＝4−94∴OC＝OE2+CE2故答案为：22．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，垂径定理，勾股定理，切线的性质，证明AB2＝BC•BF，是解题的关键．29．（2022·广西钦州·统考一模）如图，在△ABC中，∠C=90∘，BC＝3，AC＝4，点D是AC边上一动点，过点A作AE⊥BE交BD的延长线于点E，则BDDE【答案】3【分析】连接OE，作EF⊥AC，垂足为点F，先证明△EDF∽△BDC，得出当点E是AC中点时，EF的值最大，则BDDE值的最小，此时E，F，O【详解】解：如图，设AB的中点为O，连接OE，作EF⊥AC，垂足为点F，∵∠C=90°，AE⊥BE，∴∠C=∠AEB=90°，∴A，B，E，C四点共圆，∵∠C=∠AEB=90°，∠EDF=∠BDC，∴△EDF∽△BDC，∴BDDE当点E是AC中点时，EF的值最大，则BDDE值的最小，此时E，F，O∵AC=4，BC=3，∴AB=32∴OE=12∵OE⊥AC，∴AF=12AC∴OF=OA∴EF=OE-OF=52∴BDDE∴BDDE故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角