专题03 解题技巧专题：二次函数的图象与系数压轴题五种模型全攻略（解析版）

专题03解题技巧专题：二次函数的图象与系数压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一二次函数与一次函数图象共存问题】 1【考点二二次函数与反比例函数图象共存问题】 5【考点三含字母参数的二次函数的图象和性质】 10【考点四二次函数的图象和性质与系数a,b,c的问题】 20【考点五二次函数的图象与几何动点问题】 29【典型例题】【考点一二次函数与一次函数图象共存问题】例题：（2023秋·广东东莞·九年级东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）已知a是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据题意分和两种情况讨论，结合函数图象即可求解．【详解】解：A.正比例函数中，二次函数开口向下，，与y轴的交点在y轴负半轴，则，矛盾，故A不正确；B.正比例函数中，二次函数开口向上，，与y轴的交点在y轴正半轴，则，矛盾，故B不正确；C.正比例函数中，二次函数开口向上，，与y轴的交点在y轴负半轴，则，故C正确；D..正比例函数中，二次函数开口向下，，与y轴的交点在y轴正半轴，则，矛盾，故D不正确；故选C．【点睛】本题考查了正比例函数与二次函数的图象的性质，掌握正比例函数与二次函数图象的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·安徽合肥·九年级统考阶段练习）一次函数与二次函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据一次函数的图象，二次函数的图象即可分析判断得出答案．【详解】解：∵二次函数的解析式为：，∴对称轴为，故A和B错误；当，一次函数过第一、二、三象限，二次函数图象开口向上，对称轴为，故C正确，D错误，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，利用函数图象解决问题是本题的关键．2．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（

）A．B．

C．

D．

【答案】C【分析】由二次函数得抛物线开口向上，根据一次函数，得直线与轴的正半轴相交，交点为，可排除B、D，根据A、C图象可知，抛物线交轴于负半轴得，则直线应为下降趋势，选择答案即可．【详解】解：∵二次函数，一次函数，∴得抛物线开口向上，直线与y轴的正半轴相交，交点为，∴B、D图象不可能，∵根据A、C图象可知，抛物线交轴于负半轴，∴，∴直线应为下降趋势，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数、二次函数的图象与性质是解题的关键．3．（2023秋·广东江门·九年级校考阶段练习）如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据解析式可得抛物线顶点为，进而根据当时，一次函数经过一三四象限，即可求解．【详解】解：∵的顶点为，∴只有A，C选项符合题意，当时，一次函数经过一三四象限，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．4．（2023秋·安徽合肥·九年级统考阶段练习）二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系内的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据一次函数的性质和二次函数的性质即可判断【详解】解：A选项中二次函数图象开口朝下，可得，由一次函数图象可得，故此选项错误；B选项中二次函数图象开口朝上，可得，可得，又由一次函数图象可得，故此选项正确；C选项二次函数图象开口朝上，可得，由一次函数图象可得，故此选项错误；D选项二次函数图象开口朝上，可得，可得，由一次函数图象可得，故此选项错误；故选：B【点睛】本题考查了一次函数图象和二次函数图象的基本性质，熟练的掌握函数图象的基本性质是解题的关键．5．（2023秋·浙江杭州·九年级萧山区金山初级中学校考阶段练习）己知二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】先根据二次函数图象求出，，再根据一次函数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案．【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，∴，∴，∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，∴四个选项中只有C选项符合题意，故选C．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合判断，正确根据二次函数推出，是解题的关键．【考点二二次函数与反比例函数图象共存问题】例题：（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据可知，二次函数图象与y轴交点为时，即二次函数图象过原点．再分两种情况即，时结合二次函数中a，b同号对称轴在y轴左侧，a，b异号对称轴在y轴右侧来判断出二次函数与反比例函数图象所在象限，找到符合题意的即为正确答案．【详解】解：①当时，二次函数开口向上，过原点，对称轴在y轴左侧，故二次函数在一、二、三象限，反比例函数在一、三象限；②当时，二次函数开口向下，过原点，对称轴在y轴左侧，故二次函数在二、三、四象限，反比例函数在二、四象限，观察图象可知只有D符合，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象以及反比例函数图象的性质，解题的关键是根据二次函数中a的取值确定二次函数以及反比例函数的图象．【变式训练】1．（2023春·山东日照·九年级校考期中）在同一直角坐标系中，反比例函数与二次函数的大致图像可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质进行判断即可．【详解】解：当时，反比例函数的图像经过一、三象限，二次函数的图像开口向上，其对称轴在轴右侧，且与轴交于负半轴，故选项C、D不符合题意；当时，反比例函数的图像经过二、四象限，二次函数的图像开口向上，其对称轴在轴左侧，且与轴交于正半轴，故选项A不符合题意，选项B符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质，解题关键是根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论．2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）若，函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先由函数的图象所在象限判断的正负，得的正负，判断函数的图象开口方向是否符合；由，得，判断函数的图象与轴交点应在轴的正半轴上．据此逐项判断即可．【详解】由，得，判断函数的图象与轴交点应在轴的正半轴上．A、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得，则，抛物线开口方向应向下、抛物线与轴的交点应在轴的正半轴上，本图象符合，故选项A正确；B、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得，则，抛物线与轴的交点应在轴的正半轴上，抛物线开口方向应向上，而本图象抛物线开口方向是向下，不符合，故选项B错误；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得，则，抛物线开口方向应向下、抛物线与轴的交点应在轴的正半轴上，本图象抛物线开口方向、与轴的交点都不符合，故选项C错误；D、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得，则，抛物线开口方向应向上、抛物线与轴的交点应在轴的正半轴上，而本图象抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，不符合，故选项D错误．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数及反比例函数的图象和性质，解决此类问题方法步骤一般为：（1）先根据反比例函数图象所在象限与二次函数图象开口方向是否同时符合的正负；（2）根据二次函数图象判断抛物线与轴的交点是否符合要求．掌握解决此类问题的方法步骤是解题的关键．3．（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据可知，二次函数图象与y轴交点为时，即二次函数图象过原点．再分两种情况即，时结合二次函数中a，b同号对称轴在y轴左侧，a，b异号对称轴在y轴右侧来判断出二次函数与反比例函数图象所在象限，找到符合题意的即为正确答案．【详解】解：①当时，二次函数开口向上，过原点，对称轴在y轴左侧，故二次函数在一、二、三象限，反比例函数在一、三象限；②当时，二次函数开口向下，过原点，对称轴在y轴左侧，故二次函数在二、三、四象限，反比例函数在二、四象限，观察图象可知只有D符合，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象以及反比例函数图象的性质，解题的关键是根据二次函数中a的取值确定二次函数以及反比例函数的图象．4．（2023·贵州铜仁·校考一模）函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据，，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．【详解】解：分两种情况讨论：①当时，反比例函数，在二、四象限，而二次函数开口向下，与y轴交点在原点上方，故选项B、C、D都不符合题意，选项A符合题意；②当时，反比例函数，在一、三象限，而二次函数开口向上，与y轴交点在原点下方，故选项A、B、C、D都不符合题意，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．5．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，一次函数和反比例函数图像，则二次函数的图像可能是(

)

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据一次函数与反比例函数的图象位置，确定出的正负，进而利用二次函数图象与性质判断即可．【详解】解：观察图象可得：，二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在负半轴，则二次函数的图象可能是

，故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象，一次函数图象，以及二次函数的图象，熟练掌握各自图象的性质是解本题的关键．6．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即在第四象限可得，从而得到反比例函数的图象分布在二、四象限，由抛物线的开口方向和与的交点个数得到，从而得到一次函数的图象经过一、二、三象限，即可得到答案．【详解】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即在第四象限，，反比例函数的图象分布在二、四象限，抛物线的开口向上，，抛物线与轴有两个交点，，一次函数的图象经过一、二、三象限，故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象与系数的关系，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．【考点三含字母参数的二次函数的图象和性质】例题：（2023·全国·九年级专题练习）已知二次函数，下列说法正确的是(

)A．点在该函数的图象上B．当且时，C．该函数的图象与x轴一定有交点D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧【答案】C【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：∵，当时：，∵，∴，即：点不在该函数的图象上，故A选项错误；当时，，∴抛物线的开口向上，对称轴为，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵，，∴当时，有最大值为，当时，有最小值为，∴，故B选项错误；∵，∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；当时，抛物线的对称轴为：，∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；故选C．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．【变式训练】1．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④【答案】B【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．【详解】解：∵抛物线对称轴为，，∴二次函数图象必经过第一、二象限，又∵，∵，∴，当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，故①错误；②正确；∵抛物线对称轴为，，∴抛物线开口向上，∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键．2．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）抛物线（是常数且）经过点A（3，0）．下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③点，在抛物线上，且，则；④若是方程的两个根，其中，则．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由函数解析式可得函数的对称轴为直线，再根据二次函数的图像和性质，逐一分析，判断对错即可解答．【详解】解：①∵抛物线经过点，，，当时，，，∴该抛物线一定经过，故此项正确；②由①得：，，，，，，，故此项正确；③抛物线的对称轴为直线，当时，，，，也符合题意与矛盾，故此项错误．④∵抛物线，对称轴为直线，抛物线对称轴为直线，∴抛物线图象向左平移2个单位得到抛物线的图象，∵抛物线经过点，∴抛物线经过点，是方程的两个根，是抛物线与直线交点的横坐标，，，故此项正确，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质和数形结合的思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键．3．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）已知是关于x的二次函数，当自变量x的取值范围为时，函数y有最大值，最大值为13，则下列结论不正确的是（）A．抛物线与x轴有两个交点 B．当抛物线开口向下时，C．对称轴在y轴的左侧 D．当抛物线开口向上时，【答案】D【分析】先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可．【详解】解：由题意得，有最大值是13∵，∴，解得，∴B选项正确．抛物线解析式为：，即对称轴是：直线，∴C选项正确，又当时，，，∴有两个不等的实数根，∴A选项正确，∵，∴当抛物线开口向上时，由时，得当时，则，解得，∴D选项错误．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的最值，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．4．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）关于的二次函数的结论①对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等．②若图象过点，点，点，则当时，．③若，对应的的整数值有个，则或．④当且时，，则．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】先求出该函数对称轴为直线，再得出和关于直线对称，即可判断①；把代入，求出，则当时，y随x的增大而增大，得出，即可判断②；根据，然后进行分类讨论：当时，当时，即可判断③；根据当且时，得出y随x的增大而减小，根据时，，求出，则当时，，求出n的值，即可判断④．【详解】解：①∵二次函数，∴该函数的对称轴为直线，∵，，∴，即和关于直线对称，∴对应的函数值与对应的函数值相等，故①正确，符合题意；②把代入得：，解得：，∴二次函数表达式为，∵，该函数的对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，∵，∴，∴，∴，故②不正确，不符合题意；③∵，∴当时，，当时，，当时，∵，∴y随x的增大而增大，∵，对应的的整数值有个，∴四个整数解为：，∴，解得：，当时，∵，∴y随x的增大而减小，∵，对应的的整数值有个，∴四个整数解为：，∴，解得：，综上：或，故③正确，符合题意；④当且时，y随x的增大而减小，∵，∴当时，，解得：，∴，当时，，解得：，故④不正确，不符合题意；综上：正确的有①③，共2个，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．5．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知二次函数，下列说法中正确的个数是（

）（1）当时，此抛物线图象关于轴对称；（2）若点，点在此函数图象上，则；（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则；（4）无论为何值，此抛物线的顶点到直线的距离都等于．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求得抛物线的对称轴即可判断①；求得两点到对称轴的距离即可判断②；令，根据，求得m的值即可判断③；求得抛物线顶点坐标得到抛物线的顶点在直线上，可知直线与直线平行，求得两直线的距离即可判断④．【详解】解：（1）当时，，∴抛物线的对称轴为y轴，此抛物线图象关于y轴对称，故该项正确；（2）∵，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∵点，点在此函数图象上，且，∴，故该项错误；（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则令，整理得，∴解得，故该项错误；（4）∵∴顶点为，∴抛物线的顶点在直线上，∵直线与直线平行，∴此抛物线的顶点到直线的距离都相等．

设直线交x轴于A，交y轴于B，点O到的距离为，则，∴∵∴∴，∴两直线间的距离为，故该项正确；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，熟知二次函数的性质是解题的关键．6．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数为实数，下列四个结论：当时，图象与坐标轴所夹的锐角为；若，则当时，随着的增大而减小；不论为何值，若将函数图象向左平移个单位长度，则图象经过原点；当时，抛物线顶点在第一象限．其中正确的结论是（填写序号）【答案】【分析】由一次函数即可判断；根据二次函数的性质即可判断；得到平移后的解析式即可判断；求得顶点坐标即可判断．【详解】解：当时，函数为一次函数，由于系数为，所以图象与坐标轴所夹的锐角不为，故错误；若，抛物线的对称轴为直线，则当时，随着的增大而减小，故正确；当函数图象向左平移个单位时，解析式为，则其图象过原点，故正确；当时，对称轴直线，顶点纵坐标为，故抛物线顶点在第一象限，故正确；故答案为：．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．7．（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）对于二次函数．有下列说法：①若，则二次函数的图象与y轴的负半轴相交；②若，当时，y有最大值3；③若a为整数，且二次函数的图象与x轴的两个公共点都为整数点，则a的值只能等于1；④若，且为该函数图象上的三点，则．其中正确的是．（只需填写序号）【答案】①②④【分析】求出的取值即可判断①；由对称轴方程可判断出当时，函数在时，y有最大值3，故可判断②；根据二次函数的图象与x轴的两个公共点都为整数点可知对称轴也是整数，可求出a，进而判断③；分别求出A，B，C三点对应的函数值，再进行比较即可判断④．【详解】解：①对于，令，得，由可得，即二次函数的图象与y轴的负半轴相交，故①正确；②二次函数对称轴方程为直线，∵，∴又抛物线的开口向上，∴二次函数的图象在内，当时，y有最大值，最大值为：3；故②正确；③∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴，∵a为整数，∴，即a为任意整数；又二次函数的图象与x轴的两个公共点都为整数点，∴对称轴必为整数，此时a的值不只能等于1，也可以是，故③错误；④∵为函数图象上的三点，∴当时，；当时，；当时，；∵，∴，即．故④正确，所以，正确的结论是①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用数形结合，从开口方向、对称轴、与x轴（y轴）的交点进行判断是解题的关键．【考点四二次函数的图象和性质与系数a,b,c的问题】例题：（2023秋·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）；其中正确结论的个数为（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据对称性，判断时函数值的符号，判断①；根据图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断②；根据图象判断时，函数值的符号，判断③；结合对称轴和特殊点判断④；根据二次函数图像的顶点判断⑤，进而得出结论．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，∴和的函数值相同，即：，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴，∴，故①正确；∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，∴，，∴，∴，故②正确；由图象可知：当时，对应的函数值小于0，即，∴，故③错误；∵，，∴，∴，即：，故④正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，函数取得最大值为，∴，∴，故⑤错误；综上：正确的有①②④，共3个．故选B．【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号．熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·湖北黄石·九年级校联考阶段练习）如图，二次函数图象的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有．其中正确的结论的个数是（）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】根据对称轴在轴左侧可得同号，根据抛物线与轴的交点可得，即可判断①；根据抛物线的对称轴为直线可得，即可判断②；根据当时，结合即可判断③；根据当时，为最大值，即可判断④，由此即可得到答案．【详解】解：对称轴在轴的左侧，同号，抛物线与轴交于正半轴，，，故①错误，不符合题意；抛物线的对称轴为直线，，，即，故②正确，符合题意；当2，，，，故③正确，符合题意；当时，为最大值，，即，故④错误，不符合题意；综上所述，正确的有②③，共2个，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当时，抛物线开口向上；对称轴为直线，抛物线与轴的交点坐标为．2．（2023秋·山东济宁·九年级统考阶段练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：；；；；．其中正确的结论有（

）个A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根据对称轴、图象开口方向、与轴的交点判断出的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过，从而判断②；根据图象与轴有两个交点可以得到，从而可以判断③；根据二次函数的图象与轴的交点在和之间可以得出，再根据即可判断④，根据，进行比较即可判断⑤，从而得到答案．【详解】解：函数开口向上，，对称轴在轴右侧，异号，，抛物线与轴交点在轴负半轴，，，故①正确，符合题意；图象与轴交于点，对称轴为直线，图象与轴的另一个交点为，当时，，故②错误，不符合题意；由图象可得：抛物线与轴有两个交点，，，，，，故③正确，符合题意；二次函数的图象与轴的交点在和之间，，图象与轴交于点，对称轴为直线，，，，，，，故④正确，符合题意；，，，故⑤正确，符合题意；综上所述，正确的有：①③④⑤，共4个，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点位置确定，利用数形结合的思想是解此题的关键．3．（2023秋·北京·九年级校考阶段练习）已知函数（）的图象如图所示，现有下列4个结论：

①；②；③若，是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④【分析】由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断符号；把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负；由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大；由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根；【详解】解：①抛物线图象开口向上，∵对称轴在直线轴左侧，∴同号，，∵抛物线与轴交点在轴下方，∴，故①正确；②，当时，由图象可得，由图象知，当时，，由图象可得，∴，即，故②正确；③，，∵，∴点到对称轴的距离大于点，∴，故③错误；④抛物线的顶点坐标为，∴，∴，∴无实数根，故④正确，综上所述，①②④正确，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中与函数图象的关系．4．（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②当时，y随x的增大而减小；③；④．其中正确的结论有．（填序号）

【答案】①③④【分析】根据抛物线的特征可判断①，由抛物线与轴的交点确定对称轴后可判断②，由可判断③，由图可知，当时，，可判断④．【详解】解：抛物线开口向下，，对称轴在轴右侧，，抛物线与轴交于正半轴，，，故①正确，抛物线与轴交于点和点，抛物线的对称轴，当时，随的增大而增大，故②错误，，，，故③正确，由图可知，当时，，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的特征以及抛物线与轴的交点，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．5．（2023春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线为常数，的顶点为，抛物线与轴交于点，则下列结论：①；②若方程的解是，，且满足，则，；③关于的方程有两个不等的实数根；④，其中，正确的结论有．

【答案】①②/②①【分析】利用数形结合的方法得到a，b，c的符号，再利用二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可．【详解】解：由题意得：，∴．∵抛物线的开口方向向上，∴．∴．∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴．∴．∴①的结论正确；∵方程，即的解是，，，∴抛物线与直线的交点的横坐标为，，∵对称轴为直线，抛物线与x轴交于点，∴抛物线与x轴的另一个交点为，∵抛物线开口向上，∴，，∴②的结论正确；∵抛物线为常数，的顶点为，∴二次函数有最小值n．∴抛物线与直线没有公共点．∴方程无解．即方程没有实数根．∴③的结论错误；∵抛物线为常数，的顶点为，

∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴④的结论错误．综上，正确的结论为：①②，故答案为：①②．【点睛】本题中考查了二次函数的性质，待定系数法，数形结合法，正确利用图象的信息得出二次函数中的系数关系是解题的关键．【考点五二次函数的图象与几何动点问题】例题：（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，在中，．动点从点出发，沿线段以1单位长度/秒的速度运动，当点与点重合时，整个运动停止．以为一边向上作正方形，若设运动时间为秒，正方形与重合部分的面积为，则下列能大致反映与的函数关系的图象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根