解直角三角形与几何综合的两种考法（解析版）（北师大版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题01解直角三角形与几何综合的两种考法类型一、网格问题例．将放置在的正方形网格中，顶点在格点上．则的值为．

【答案】/【分析】如图所示，连接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，进而得到，再根据45度角的正弦值为即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接，由网格的特点可知，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴，∴，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键．例2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点都在方格的格点上，则=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长CB到格点D，连接AD，先算出AC、CD，根据余弦的定义求出∠C的余弦值即可．【详解】解：延长CB到格点D，连接AD，如图所示：根据格点特点可知AD⊥CD，∴∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，∵，，∴，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了在方格纸中求余弦值，作出辅助线，将∠C放在直角三角形中，是解题的关键．【变式训练1】．如图，△ABC的顶点是正方形的格点，则sin∠BAC的值为【答案】【分析】找到方格点D，连接CD，由直角三角形逆定理得出三角形ADC为直角三角形，然后根据正弦函数的定义求解即可．【详解】：找到方格点D，连接CD，根据题意可得：AD2=12+12=2，，AC2=12+32=10，，CD2=22+22=8，，∴AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查勾股定理及其逆定理，求角的正弦等，理解题意，找准直角三角形求解是解题关键．【变式训练2】．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值为（

）

A．3 B． C．1 D．2【答案】D【分析】首先连接，由题意易得，然后由相似三角形的对应边成比例，易得，即可得，在中，即可求得的值，继而求得答案．【详解】解：如图，连接，

∵四边形是正方形，∴，∴，根据题意得：，∴，∴，∴，∴，在中，，∵，∴．故选：D．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．【变式训练3】如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则．【答案】【分析】过作于，则，求出和的长，再解直角三角形求出即可．【详解】解：如图，过作于，∴，∵小正方形的边长为，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．【变式训练4】．如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，连接．

（1）的长为；（2）连接与相交于点，则的值是．【答案】2【分析】（1）根据勾股定理来求的长度；（2）首先连接，由题意易得，，然后由相似三角形的对应边成比例，易得，即可得，在中，即可求得的值．【详解】解：（1）如图，根据勾股定理得，故答案为：；（2）如图，连接，四边形是正方形，，，，，，根据题意得：，，，，，在中，，，．故答案为：2．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．类型二、构造直角三角形问题例1．如图，在中，，，，则的长为（

）

A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可．【详解】如下图，作于，

在中，，，，，在中，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．例2．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为．【答案】【分析】如图，延长BC，AD交于E，解直角三角形分别求出AE、DE、CE、BC的长，再运用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，延长BC，AD交于E，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴,∴BC=BE-CE=，∴．故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，理解题意、明确思路、正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．例3．如图，在矩形中，，连接，点在上，平分．

【答案】/【分析】过点D作，由平分可得是等腰直角三角形，再根据矩形性质和勾股定理易求对角线长，进而解三角形求出、即可解答．【详解】解：过点D作，如图：

∵平分，∴，∴，∵在矩形中，，∴，，，∴，∴，，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形性质和解三角形，解题关键是过点D作构造是等腰直角三角形，再解三角形．【变式训练1】．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（

）

A．48 B．50 C．52 D．54【答案】A【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果．【详解】解：连接，如图所示

，，，四边形的面积为48故选：A．【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题．【变式训练2】．如图，在中，，，，则的长为，的面积为．【答案】【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到．【详解】解：过作，如图所示：在中，，，，在中，，，即，，由勾股定理得；，故答案为：，．【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键．【变式训练3】．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（

）A． B．12 C． D．6【答案】B【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解．【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为，在中，，在中，，∵中，，，∴，∵是的角平分线，∴，∴，∴，∴．故选:B．【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．【变式训练4】．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，∵∠AOD=60°，∴∠AOD=∠BOC=60°，∴DG=DO，同理可得：BH=BO，S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH=×AC××（DO+BO）=，故选：C．【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键．课后作业1．如图，的三个顶点分别在边长为1的正方形网格上，则的值为．【答案】【分析】根据，，，得到，推出是直角三角形，，推出．【详解】如图，∵，，，∴，∴是直角三角形，，∴故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角函数等．解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判断直角三角形，锐角三角函数定义．2．如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么的值为．

【答案】1【分析】连接，根据勾股定理可求出，，从而得出，则根据勾股定理逆定理可得出为直角三角形，且，最后根据正切的定义求解即可．【详解】解：如图，连接．

由图可知，，，∴，∴为直角三角形，且，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理逆定理，正切的定义．正确的作出辅助线是解题关键．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，且AE=BE，连接DE，若AB=CD=CE=2，则tan∠DEC=．【答案】3【分析】作于点，于点，于点交于点，先证明四边形是平行四边形，得，再证明，由，求得，再根据，求出、的长，进而求出、的长，即可求出的值．【详解】解：如图，作于点，于点，于点交于点，，∴DH//AB，∴AD//BC，四边形是平行四边形，，，，设，，，，，，，，，，∵GH//BE，，，，，，，，，故答案为：3．【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．4．如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.

(1)若，求的长度；(2)若，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据，得到中各边长的比值关系，计算出的长度，根据中点的性质得到的长度，最后再用