斐波那契数列学案

神奇的斐波那契数列（学案）学习目标1、了解斐波那契数列的有关数学文化；了解斐波那契数列通项公式的推导方法；理解斐波那契数列在数列中的地位。2、通过研究斐波那契数列相关资料，体验收集、分析材料的一般方法，掌握学会学习的一般技能；通过利用斐波那契数列数列知识研究高中数学知识、现实生活中的应用等问题，在应用中掌握斐波那契数列的数学思想，培养应用知识分析问题能力和创新解决实际问题的能力。3、通过展示斐波那契数列的数学史，激发学习数学的热情态度，塑造良好的人文底蕴；通过介绍斐波那契数列在现实生活中的应用，激发勇于探索、积极思考、追求科学的学习品质；通过互联网技术呈现、感知人类探索数学在万物中的联系、养成良好的审美情趣，树立献身科学的人生观与回报社会的价值观。学习重难点学习重点斐波那契数列及其性质学习难点斐波那契数列通项公式的推导学习过程1、斐波那契数列引入（课下提前阅读数学必修5教材第37、38页）问题提出：如果一对兔子每月能生一对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假设在不发生死亡的情况下，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢?经过月数0123456789101112幼仔101123581321345589成兔对数01123581321345589144总体对数11235813213455891442332、斐波那契数列的递推式斐波那契数定义为：数列满足称为斐波那契数列3、大自然中有哪些斐波那契数列的体现【自然中的呈现】①花瓣数②生物学中“鲁德维格定律”树木的生长，树苗在一段间隔，比如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝继续萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”．这样，一株树木各个年份的枝桠数，这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。4、斐波那契数列的探究探究一：斐波那契数列的性质游戏活动：五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的学生需拍手一次，已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第20个数时，甲同学拍手的总次数为多少次？（1）（2）（3）（4）探究二：斐波那契数列通项公式：斐波那契数列的通项公式推导5、斐波那契数列在现实生活中的应用和体现（收集资料）本课小结知识小结（2）思想方法小结7、课后作业1.进一步探索斐波那契数列的性质。2.探究必修二中的“魔术师的地毯”问题（教材104、105页）。3.进一步探究性质中游戏活动并思考：学生甲第1个报数，当5位学生依序循环报到第100个数时，学生甲拍手的总次数为多少次？（2009年福建省高考试题）知识链接：斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》（LiberAbacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。斐波那契数列的排列是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……依次类推下去，你会发现，它后一个数等于前面两个数的和。在这个\t"/item/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0/_blank"数列中的数字，就被称为斐波那契数。2是第3个斐波那契数。这个\t"/item/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0/_blank"级数与大自然植物的关系极为密切。几乎所有花朵的花瓣数都来自这个级数中的一项数字：菠萝表皮方块形鳞苞形成两组旋向相反的螺线，它们的条数必须是这个级数中紧邻的两个数字（如左旋8行，右旋13行）；还有向日葵花盘……倘若两组螺线条数完全相同，岂不更加严格对称？可大自然偏不！直到最近的1993年，人们才对这个古老而重要的级数给出真正满意的解释：此级数中任何相邻的两个数，次第相除，其比率都最为接近0.618034……这个值，它的极限就是所谓的"\t"/item/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0/_blank"黄金分割数"。特别指出：0不是第一项，而是第零项。在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。自然界中的斐波那契数列斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。斐波那契螺旋：具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时的《达芬奇密码》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘会计时随口问的