第15讲 导数中的极值点偏移问题（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page导数中的极值点偏移问题（高阶拓展、竞赛适用）（8类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2022年全国甲卷理，第21题,12分导数中的极值偏移问题恒成立问题、零点问题利用导数证明不等式2021年新I卷，第22题,12分导数中的极值偏移问题利用导数求函数的单调区间(不含参)利用导数证明不等式2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【备考策略】1能用导数解决函数的基本问题2能理解并掌握极值点偏移的含义3能结合极值点偏移的形式综合证明及求解【命题预测】极值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高，需要综合复习知识讲解极值点偏移的含义众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点.如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同.故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.极值点偏移问题的一般题设形式1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3.若函数存在两个零点且，令，求证：；4.若函数中存在且满足，令，求证：.极值点偏移的判定定理对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏）左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏）对数平均不等式两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均､几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立．只证：当时，．不失一般性，可设．证明如下：（I）先证：……①不等式①（其中）构造函数，则．因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立；（II）再证：……②不等式②（其中）构造函数，则．因为时，，所以函数在上单调递增，故，从而不等式成立；综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立．运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函数；（3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.考点一、极值点偏移高考真题鉴赏1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.考点二、含对数型极值点偏移1．（2022·全国·模拟预测）设函数.(1)若，求函数的最值；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)若有两个极值点，求证：.2．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数．(1)若恒成立，求的取值范围；(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．考点三、含指数型极值点偏移1．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数．(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；(2)若存在极小值，且极小值等于，求证：．1．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间与极值．(2)若，求证：．2．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设，为函数（）的两个零点．(1)求实数的取值范围；(2)证明：．考点四、加法型极值点偏移1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数恰有两个零点．(1)求的取值范围；(2)证明：．2．（2023·山西·模拟预测）已知函数.(1)若，求的取值范围；(2)若关于的方程有两个不同的正实根，证明：.3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数．(1)当时，判断在区间内的单调性；(2)若有三个零点，且．（i）求的取值范围；（ii）证明：.1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点．(1)求实数的取值范围；(2)证明：．2．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数．(1)证明：；(2)若，且，证明：．3．（2024高三·全国·专题练习）设函数．(1)判断函数的单调性；(2)若，且，求证：．考点五、减法型极值点偏移1．（23-24高二下·云南·期中）已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：.1．（23-24高三上·河南·开学考试）有两个零点．(1)时，求的范围；(2)且时，求证：．2．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调区间；(2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；①求证：；②求证：．考点六、平方型（立方型）极值点偏移1．（22-23高三上·云南·阶段练习）已知函数，．(1)若，求的取值范围；(2)证明：若存在，，使得，则．2．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若有两个零点，，且，求证：．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．(1)若对任意的都有，求实数的取值范围；(2)若且，，证明：．1．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性：(2)若是方程的两不等实根，求证：；2．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.3．（2023·山西·模拟预测）已知函数.(1)若，求实数的取值范围；(2)若有2个不同的零点（），求证：.考点七、乘积型极值点偏移1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数.若有两个零点，证明：.2．（2024·广东湛江·一模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.(1)当时，判断函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明.1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数.(1)若有唯一极值，求的取值范围；(2)当时，若，，求证：.2．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）设，.(1)当时，求的极值；(2)若有恒成立，求的取值范围；(3)当时，若，求证：.3．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知．(1)当时，讨论函数的极值点个数；(2)若存在，，使，求证：．考点八、商式型极值点偏移1．（2022高三·全国·专题练习）已知函数有两个相异零点､，且，求证：.2．（福建省宁德市2021届高三三模数学试题）已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性：（2）若函数恰有两个极值点，且，求的最大值.3．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，.(1)若对于任意，都有，求实数的取值范围；(2)若函数有两个零点，求证：.1．（22-23高二下·湖北·期末）已知函数（）.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值.2．（21-22高二上·湖北武汉·期末）已知函数，其中为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，且，证明：.6．（2023·湖北武汉·三模）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：．1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数的图像与直线交于不同的两点，，求证：．2．（2023·江西·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若，且，证明：，且．3．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数的导函数为，若存在两个不同的零点.(1)求实数的取值范围；(2)证明：.4．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数.(1)当时，求函数的零点个数.(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明.5．（2024·云南·二模）已知常数，函数.(1)若，求的取值范围;(2)若、是的零点，且，证明:.6．（22-23高二下·安徽·阶段练习）已知函数．(1)若为定义域上的增函数，求a的取值范围；(2)令，设函数，且，求证：．7．（2023·山东日照·二模）已知函数．(1)若恒成立，求实数的值：(2)若，，，证明：．8．（2023·江西南昌·二模）已知函数，．(1)当时，恒成立，求a的取值范围．(2)若的两个相异零点为，，求证：．9．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，a为实数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：10．（2023·北京通州·三模）已知函数(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值；(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.(3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.11．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个零点、，证明.12．（2022高三·全国·专题练习）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求的取值范围；(2)记两个极值点为，且.若，证明：.13．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知函数.(1)当时，，求的取值范围.(2)若函数有两个极值点，证明：.14．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数．(1)若，讨论的单调性．(2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根．（i）求的取值范围；（ii）求证：．15．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知函数，a为实数．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：．16．（23-24高三上·重庆渝中·期中）已知函数．(1)若函数是减函数，求的取值范围；(2)若有两个零点，且，证明：．17．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数.(1)若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数有两个极值点,证明：.18．（2023·辽宁阜新·模拟预测）已知函数(1)若时，求的最值；(2)若函数，且为的两个极值点，证明：19．（2