第14讲 导数中的隐零点问题（虚设零点设而不求）（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page导数中的隐零点问题（虚设零点设而不求）（高阶拓展、竞赛适用）（3类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2020年新I卷，第21题,12分导数中的隐零点问题不等式恒成立问题2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【备考策略】1能用导数求解函数基本问题2掌握函数零点存在性定理及其应用3能设而不求进行隐零点的相关替换求值或范围【命题预测】零点问题是高考的热点问题，隐零点的代换与估计问题是函数零点中常见的问题之一,其源于含指对函数的方程无精确解,这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围，高考中曾多次考查隐零点代换与估计,所以本节我们做一个专门的分析与讨论，方便学生高考综合复习知识讲解在求解导数问题时，我们一般对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题，我们称这类问题为“隐零点问题”．1.解题步骤第1步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程,并结合的单调性得到零点的范围;第2步:以零点为分界点,说明导函数的正负,进而得到的最值表达式;第3步:将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简:（1）要么消除最值式中的指对项（2）要么消除其中的参数项;从而得到最值式的估计.2.隐零点的同构实际上,很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项,而这类问题由往往具有同构特征,所以下面我们看到的这两个问题,它的隐零点代换则需要同构才能做出,否则,我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.我们看下面两例:一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析所以在解决形如,这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.3.解题感悟1.隐零点指对于超越方程或者是一些带参数的方程，无法直接求得确切的零点，但是零点确实存在的问题。特别是在求导的过程，求函数极值点，对原函数求导后，令导函数等于零，就导函数零点进一步探寻原函数极值点或最值时会经常遇到“隐零点”问题。2.隐零点常见题型，有证明零点个数，求解不等式，求最值的取值范围，求参数的范围。3.解决办法，往往是“虚设零点”，设而不求，结合零点存在定理来初步确定零点的所在区间。往往这样的零点都与某个参数相关联，相互依赖。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间。4.特别是针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题，或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题。考点一、隐零点初应用用隐零点证明不等式：用隐零点证明3．已知函数，求：(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，总有，求整数的最小值.1．（2024·山东威海·二模）已知函数．(1)求的极值；(2)证明：．2．（2024·浙江杭州·一模）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，证明：对任意的，．考点二、隐零点问题之参数范围综合1．（2020·新Ⅰ卷·统考高考真题第21题）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．2．已知函数，若,求的取值范围.3．已知函数，当且时,不等式在上恒成立,求的最大值.4．已知函数对任意的恒成立,其中实数,求的取值范围.1．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数(1)若，求的单调区间.(2)若对，恒成立，求实数的取值范围2．（2024·山东日照·三模）已知函数，，.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，对，，求正整数的最大值.3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数.(1)讨论的零点个数；(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.考点三、隐零点问题之不等式证明综合1．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，证明：在定义域内恒成立．2．（2024·河北张家口·三模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：．1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，若的最小值为0，(1)求的值;(2)若，证明:存在唯一的极大值点，且.2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数，.(1)求的极值；(2)证明：.1．（2021·黑龙江·模拟预测）已知函数，求：(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，总有，求整数的最小值.2．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数的最小值为，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．3．（2023·吉林·三模）已知函数．(1)证明：函数在上存在唯一的零点；(2)若函数在区间上的最小值为1，求a的值．4．（2023·江苏盐城·二模）设函数，（1）当时，求函数图象在处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若不等式对恒成立，求整数的最大值.5．（2023高三·天津·阶段练习）已知函数（其中为自然对数的底数）．(1)当时，求函数的极值；(2)若函数在有唯一零点，求实数的取值范围；(3)若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值．6．（2023高三下·全国·阶段练习）已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为．（1）求实数的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值．7．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）函数．(1)若，求函数的最大值；(2)若在恒成立，求实数m的取值范围．8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，.(1)求证：；(2)若，求的取值范围.9．（2023高三·云南·阶段练习）已知函数，．（1）令，求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范围．10．（2023·山东·一模）已知函数在点处的切线过点．(1)求实数的值，并求出函数单调区间；(2)若整数使得在上恒成立，求的最大值．11．（2024·山东·二模）已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)当时，，求的取值范围．12．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数在点处的切线与直线垂直.(1)求实数的值；(2)求函数在区间的最大值和最小值；(3)证明：.13．（2024·四川南充·三模）已知函数．(1)当时，求的最小值；(2)①求证：有且仅有一个极值点；②当时，设的极值点为，若．求证：．14．（2024·安徽合肥·模拟预测）.(1)若的图象在点处的切线经过原点，求；(2)对任意的，有，求的取值范围.15．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知函数.(1)若在有