第05讲 基本不等式（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第05讲基本不等式（10类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新Ⅰ卷，第18题第一问,4分基本不等式求范围导数综合2023年新Ⅰ卷，第22题第二问,8分基本不等式求最值圆锥曲线大题综合2022年新Ⅰ卷，第18题第二问,6分基本不等式求最值正余弦定理解三角形2022年新Ⅱ卷，第12题,5分基本不等式求最值三角换元及三角函数相关性质2021年新Ⅰ卷，第5题,5分基本不等式求最值椭圆方程及其性质2020年新Ⅰ卷，第20题第二问,6分基本不等式求最值空间向量及立体几何2020年新Ⅱ卷，第12题,5分基本不等式求最值指对函数的性质及单调性2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，具体视命题情况而定，本身知识点命题可变性多，学生易上手学习，但高考常作为载体和其他版块结合考查，难度不定，分值为5分左右【备考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”2.能正确处理常数“1”求最值3.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值4.能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。知识讲解1．基本不等式如果，那么（当且仅当时取“=”）.说明：①对于非负数，我们把称为的，称为的.②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当时，有；另一方面当时，有.④结构特点：和式与积式的关系.【答案】算术平均数几何平均数2．基本不等式求最值（1）设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值（简记为：积定和最小）.（2）设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2（简记为：和定积最大）.【答案】23．几个重要不等式（含基本不等式链）（1）（）；（2）（）；（3）（）；（4）或（）；（5）【答案】2考点一、直接用基本不等式求和或积的最值1．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（

）A．0 B．1 C．-1 D．2【答案】B【分析】根据基本不等式，求解即可得出答案.【详解】因为，，则由基本不等式可得，所以有，当且仅当时等号成立.故选：B.2．（2024·全国·模拟预测）若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】，当且仅当且，即时等号成立，故选：B.1．（2023·上海·模拟预测）已知正实数a、b满足，则的最大值为．【答案】【分析】由，代入即可得出答案.【详解】，当且仅当“”，即时取等，所以的最大值为.故答案为：2．（2024·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为.【答案】【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】由正数满足，可得，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：.考点二、巧用“1”或常数关系求最值1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（

）A．4 B． C．6 D．【答案】D【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即，时取等号.故选：D2．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为．【答案】【分析】是的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．故答案为：.1．（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】由，可得，再利用基本不等式计算即可得.【详解】，当且仅当，即时，等号成立.故选：D.2．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，，则的最小值为.【答案】【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为，，所以，当且仅当，即，时取等号.故答案为：3．（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（）A． B． C． D．3【答案】C【分析】由不等式“1”的代换求解即可.【详解】因为，所以，因为，，所以.当且仅当，即时取等.故选：C.考点三、拼凑法求最值1．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（

）A．1 B．4 C． D．【答案】D【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．【详解】因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，取得最小值，故选：D．2．（2024高三·全国·专题练习）若函数在处取最小值，则．【答案】4【分析】利用配凑法可得，结合基本不等式计算即可求解.【详解】，当且仅当即时取等号，即时取最小值，故．故答案为：43．（2024·江西赣州·二模）已知，则的最小值为.【答案】【分析】依据条件结构特征利用分离常数法和配凑法思想对进行变形配凑，再结合基本不等式即可求解最小值.【详解】由题，所以，当且仅当，即，即时等号成立.故答案为：.【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于巧妙变形分离和配凑.1．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是．【答案】/．【分析】利用“1”的巧用及基本不等式即可求解.【详解】由，得，因为，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是．故答案为：．2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是．【答案】24【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立，故答案为：考点四、换元法求最值1．（2022高三上·全国·专题练习）已知，求的最大值.【答案】【分析】根据题意分别设，然后可求出，再化简，再结合基本不等式即可求解.【详解】设，则，因此因，当且仅当，即时取等号，所以.故的最大值为.2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为．【答案】/【分析】通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可.【详解】令，，则，，，，，所以，所以，当且仅当，，即，时等号成立．故答案为：1．（2020·甘肃兰州·二模）设m，n为正数，且，则的最小值为.【答案】【分析】令，则，可化为，利用基本不等式可求的最小值，从而可得所求的最小值.【详解】令，则，且，，又，而，当且仅当时等号成立，故的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查多变量代数式的最值问题，一般可用基本不等式来求最值，但需要对原代数式化简变形以便出现和为定值或积为定值的形式，注意利用基本不等式求最值时要验证等号是否成立.2．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先变形，化简后换元，转化为关于的式子，利用基本不等式求最值.【详解】，，设，则，，当，即，时等号成立，所以的最大值为.故选：D考点五、二次与二次（一次）的商式求最值1．（2023高三·全国·专题练习）函数的最大值为.【答案】/【分析】首先化简可得，由则可以利用基本不等式求最值即可.【详解】因为，则，所以≤，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故答案为：.2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为．【答案】【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可.【详解】，当且仅当，，即时，等号成立.故答案为：1．（22-23高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为．【答案】【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为，，令，则，则，当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．故答案为：2．（2023高三·全国·专题练习）当时，求函数的最小值.【答案】【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果.【详解】因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为.考点六、两次应用基本不等式求最值1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是．【答案】【分析】将拆开为，同时用两次均值不等式构造相同结构即可.【详解】，所以，当且仅当时取到等号，故答案为：2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）对任意的正实数，满足，则的最小值为.【答案】【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值.【详解】任意的正实数，满足，由于为正实数，故由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，所以，当且仅当，即时，等号成立，综上，的最小值为.故答案为：【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为.【答案】/【分析】利用可把放缩为即的形式，利用基本不等式可求后者的最小值.【详解】因为，故.又，当且仅当，即时等号成立.故的最小值为.故答案为：.2．（2023·江西·一模）已知，，是正实数，且，则最小值为.【答案】【分析】由于，，是正实数，且，所以先结合基本不等式“1”的代换求的最小值，得，则，再根据基本不等式凑项法求的最小值，即可求得的最小值.【详解】解：，由于，，是正实数，且，所以，当且仅当，即，所以时等号成立，则的最小值为，所以，当且仅当，即时等号成立，则最小值为.故答案为：.考点七、条件等式变形求最值1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】将和两边放，然后两边同时除以，凑出，再用基本不等式即可.【详解】因为，，两边同时除以，得到，当且仅当即取“=”.则，当且仅当取“=”.两边取自然对数，则，当且仅当取“=”.故的最小值为.故选：D.2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是.【答案】【分析】因式分解得到，变形后得到，利用基本不等式求出最小值.【详解】因为为正实数，故，即，，当且仅当，即，此时，所以的最小值为.故答案为：3．（2023·江西·二模）实数，，满足：，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用立方和公式和完全平方公式将用与表示，再分离出，使用基本不等式求解即可.【详解】∵，∴，∴，∴，∴，∵，，令，则易知与均不为且符号相同，∴，解得或.（此时，可通过验证时，满足题意，，结合选项确定选项D正确.）又∵，，，，∴由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，∴，又∵，∴，（当时，），∴解得，即，当且仅当时，等号成立.∴综上所述，的取值范围是.故选：D.【点睛】易错点睛：本题若忽视中的与同号，直接使用基本不等式求解，就容易错解，而优先考虑与同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项.1．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值为．【答案】64【分析】借助基本不等式计算即可得.【详解】法一：因为，，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以，当且仅当，即，时，等号成立．所以的最小值为64．法二：因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为64．故答案为：64.2．（2024·浙江绍兴·三模）若，且，则的最小值是．【答案】【分析】由题意可借助、表示出，从而消去，再计算化简后结合基本不等式计算即可得.【详解】由，则，即，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.3．（22-23高三上·天津和平·阶段练习）已知正数满足，则的最小值是．【答案】【分析】根据题意，将等式化简变形，得到的表达式，根据表达式特征利用换元法构造函数，求导得出函数单调性即可得出最小值.【详解】根据题意，由可得，即所以；又因为均是正数，令，则所以，令，则当且仅当，即时，等号成立；所以所以的最小值为;即当时，即时，等号成立.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据等式特征可知，利用基本不等式条件不明显，所以首先得出的表达式，根据可利用齐次式特征构造函数，再进行化简凑成基本不等式求解即可.考点八、利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围1．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）已知，恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】问题化为上，利用基本不等式求左侧最小值，注意取值条件，即可得参数范围.【详解】由题设，只需上即可，又，则，当且仅当时等号成立，所以，所求范围为.故答案为：2．（2023高一上·全国·专题练习）已知且，若恒成立，则实数的范围是．【答案】【分析】依题意得，利用基本不等式“1”的代换求出的最小值，即可得解.【详解】因为且，若恒成立，则，又，当且仅当，即，时等号成立，所以，即实数的取值范围是．故答案为：．3．（2023·广东湛江·二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果.【详解】当，时，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为．所以，即．故选：A.1．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解.【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当，所以，，故实数a的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解.2．设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果.【详解】设，则所以当且仅当即时取等号所以的最小值是，则的最大值为.故选A【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设，得出进行代换，属于偏难题目.3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（

）A．12 B．24 C． D．【答案】B【分析】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值.【详解】，，变形为，令，则转化为，即，其中

当且仅当，即时取等号，可知.故选：B【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.考点九、利用基本不等式判断或证明不等式关系1．（23-24高三上·江苏扬州·期末）若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】应用对数运算性质及基本不等式判断各式的大小关系.【详解】由，而，则，所以，即，由，则，即，综上，.故选：D2．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知正数满足.(1)若，求的最小值；(2)证明：.【答案】(1)4(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，得到，化简得到，结合基本不等式，即可求解；（2）根据题意，得到，再由，即可得证.【详解】（1）解：当时，可得，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.（2）证明：因为，可得,所以，当且仅当时，等号成立，因为，所以，所以.3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知为正数，且.证明：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由关于三个重要不等式左右分别相加，得到，结合题设条件推得代入即得；（2）先证明三维的柯西不等式，再利用柯西不等式将左式化成，再构造不等式，化简得到，代入条件即得.【详解】（1）因为为正数，，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以.（2）先证明三维的柯西不等式.已知求证:,当且仅当时取等号.证明：设①当，即时，不等式显然成立；②当时，∵对于任意实数，都有,当且仅当时取等号,∴，即∴,当且仅当时取等号.故得证.由柯西不等式，得，即.因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故得：.1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由不等式的性质判断A、B，根据基本不等式可判断C、D.【详解】因为且，所以或，对A：若，则，若，则，A错误；对B：∵，，∴，B错误；对C：由或，知且，∴，C正确；对D：当时，有，从而当，则且，∴，D错误.故选：C2．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足．(1)若，求证：；(2)若a，b，，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得，又，结合基本不等式可得，化简求得，得证；（2）法一，由已知条件得，同理可得，，三式相加得证；法二，根据已知条件可得，所以，利用柯西不等式求解证明.【详解】（1）因为，所以．因为，所以，当且仅当时等号成立，整理得，所以．（2）解法一：因为，且a，b，，所以，，，所以，同理可得，，以上三式相加得，当且仅当时等号成立．解法二：因为，且a，b，，所以，，，且，所以，当且仅当时等号成立．3．（2024·青海·一模）已知正数满足．求证：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据，结合基本不等式，即可得证；（2）由，结合基本不等式，即可得证.【详解】（1）证明：因为正数满足，由，当且仅当时，等号成立，可得，即，所以，当且仅当时，等号成立.（2）证明：由，当且仅当，即，等号成立.所以.考点十、基本不等式多选题综合1．（2024·全国·模拟预测）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据不等式，结合已知等式变形可判断A，C，D；由可得，结合实数的性质即可判断B.【详解】因为,当且仅当时等号成立，所以，A正确；因为，所以，所以，B错误；因为，当且仅当时等号成立，所以，C错误；由整理，得，当且仅当时等号成立，所以，D正确．故选：AD．2．（2024·河北保定·二模）已知，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为2 D．的最小值为【答案】AC【分析】借助基本不等式逐项判断即可得.【详解】对A：由，得，所以，当且仅当时取等号，故A正确；对B：由，得，所以，当且仅当时取等号，故B错误；对C：由，得，所以，当且仅当时取等号，故C正确；对D：由，得，所以，当且仅当时取等号，故D错误.故选：AC.3．（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】将恒成立，转化为恒成立，再利用基本不等式得到，转化为恒成立，逐项判断.【详解】解：因为正实数，且为自然数，所以，则恒成立，即恒成立，两边同乘，则，而，，当且仅当，即时，等号成立，若恒成立，则恒成立，A.当时，，不成立；B.当时，，成立；C.当时，，成立；D.当时，，不成立，故选：BC1．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列说法正确的是（

）A．有最小值4 B．有最小值C．有最小值 D．的最小值为【答案】ABD【分析】利用基本不等式可判断各选项.【详解】A选项：由，得，当且仅当，即，时取等号，故A选项正确；B选项：，当且仅当，即，时取等号，故B选项正确；C选项：由，得，所以，当且仅当，即，时取等号，故C选项错误；D选项：由A的分析知且，时取等号，所以，当且仅当，即，时取等号，故D选项正确；故选：ABD．2．（2024·广东广州·模拟预测）已知，且，则下列结论成立的是（

）A． B．C．存在，使得 D．【答案】ABD【分析】对于A，据已知条件即可证明；对于B，使用基本不等式即可证明；对于C，据已知条件即可否定；对于D，将条件变形为，再利用即可证明结论.【详解】对于A，由及，得，所以，A正确.对于B，由及，得，所以.同理可得.又，所以，所以，B正确.对于C，由及，得，所以，得，所以，得，C错误.对于D，由，得，所以.因为，，所以，所以，D正确.故选：ABD.3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D.【详解】A：由，得，即，得，解得，当且仅当时等号成立，故A错误；B：由选项A的分析知，故B正确；C：由，得，即，所以，得，当且仅当时等号成立，故C正确；D：由，得，即，所以，得，当且仅当时等号成立，故D错误.故选：BC【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.一、单选题1．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.【详解】，，当且仅当，即，时等号成立.故选：B.2．（2024·河南·模拟预测）已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】由题可得点满足的圆方程，进而，然后利用基本不等式结合条件即得.【详解】由题意可得点的坐标满足，所以，．因此，.当且仅当时，即时取等号．故选:D．二、多选题3．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用已知，求二元变量的最值，一般可用用消元法变为函数求最值，如，，当然也可以用均值不等式求最值，如，.【详解】选项A：因为，，，所以，所以，故A正确．选项B：，当且仅当时取等号，（利用基本不等式时注意取等号的条件）,故B正确．选项C：，所以，当且仅当时取等号，故C错误．选项D：，当且仅当时取等号，（另解：，当且仅当时取等号）,故D正确．故选:ABD.4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据不等式的性质可判断A；取，可判断BC；根据基本不等式可判断D．【详解】由题意，得，，，对于A，，故A正确；对于B，取，，则，故B错误；对于C，取，，则，故C错误；对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确．故选：AD三、填空题5．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为．【答案】/0.25【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】因为，显然当时，取得最大值，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以有最大值为.故答案为：.6．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数满足，则的最小值是．【答案】4【分析】由基本不等式求解即可．【详解】因为为正数，，所以，即，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：4．7．（2024·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为【答案】【分析】先对进行等式变形，利用把原式化简为，再利用均值不等式可得，然后由函数在区间上是单调递减，即可得到最小值为.【详解】由，因为，所以上式，又因为，，由均值不等式得：，利用函数在区间上是单调递减可知：，当且仅当时取到最小值.故答案为：8．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，若，则的取值范围为．【答案】【分析】根据数量积的坐标表示得到，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可求出其范围.【详解】因为，，，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的取值范围为.故答案为：9．（2024高三·全国·专题练习）若实数满足则的最小值为．【答案】【分析】根据基本不等式求和式的最值即可得结论.【详解】因为所以，当且仅当，即且时等号成立，故的最小值为.故答案为：.10．（2024·广东·三模）设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为.【答案】/【分析】令，根据分母最大分子最小时分式的值最小可得，结合基本不等式和计算即可．【详解】因为，所以,所以，当且仅当即时等号成立，即的最小值为.故答案为：.一、单选题1．（2024·北京顺义·三模）设，，.若，，则最大值为（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】先利用指、对数的关系利用表示，再利用基本不等式求最大值.【详解】∵，，，，∴，，∴，当且仅当，时取等号.∴的最大值为1.故选：C.2．（2024·江苏盐城·模拟预测）的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析知，将所求式子化为，结合基本不等式可得结果.【详解】若取得最小值，则，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故选：C.3．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】根据“1”的变形技巧，利用均值不等式求最值即可得解.【详解】因为，，所以，即，所以，当且仅当，即时等号成立，故.故选：C4．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先确定，再由基本不等式得到，从而求出的取值范围.【详解】因为，，则，所以．又，即，即，解得，所以，当且仅当，即时，等号成立，即的取值范围为.故选：D．二、填空题5．（2024·上海·三模）已知函数，若，，且，则的最小值是【答案】8【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解.【详解】函数的定义域为，且，所以为奇函数，又，所以函数单调递增，又，所以，所以，即，所以，当且仅当，即，，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.6．（2024·河南信阳·模拟预测）若实数，满足，则.【答案】【分析】先利用对数的运算法则进行化简，，右边使用不等式，根据不等式的传递性，，换元后利用函数的单调性得，所以只能，再根据取等条件求出即可.【详解】，，即，根据不等式得，，令，所以，因为，所以.，，所以，单调递增，单调递减，所以，即，，所以只能，即，所以，当成立，即，所以.故答案为：.7．（2024·河北·三模）已知函数，若，则当取得最小值时，．【答案】【分析】根据题意，由条件可得，令，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】由得，即，令，则当且仅当，即时，取得最小值，此时z也取得最小值．故答案为：.8．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为．【答案】【分析】配凑出，再利用基本不等式求最值.【详解】由，得，即，得，，，，，，，当且仅当，即，时取等号，此时，的最小值为故答案为：9．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知实数满足，则的最大值为；的取值范围为．【答案】1【分析】第一空：直接由基本不等式即可求解；第二空：首先将目标式子化为关于的代数式，通过三角换元得的范围，进一步取到倒，结合对勾函数性质得，从而即可得解.【详解】由题意，等号成立当且仅当，即的最大值为1；由题意，因为，所以设，所以，所以，所以，令，，所以，又，所以，所以.故答案为：1；.【点睛】关键点点睛：第二空的关键是首先画出关于的代数式，并求出的范围，由此即可顺利得解.三、解答题10．（2024高三·全国·专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值．【答案】【分析】利用换元法，将不等式左边转化为的表达式，再多次利用基本不等式求得其最小值，从而得解.【详解】因为，，所以，，令，，则，，，，所以，当且仅当且且且，即，即，时，等号成立，又不等式恒成立，所以，即的最大值为.1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误，故选：B.2．（2022·全国·高考真题）（多选）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．3．（2022·全国