第11讲 利用导数研究双变量问题（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第11讲利用导数研究双变量问题（核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【命题预测】题型分析双变量问题运算量大，综合性强，解决起来需要很强的技巧性，解题总的思想方法是化双变量为单变量，然后利用函数的单调性、最值等解决．知识讲解破解双参数不等式的方法:一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式:二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值;三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果考点一、利用导数解决函数中的双变量问题1．（2024·天津·高考真题）设函数．(1)求图象上点处的切线方程；(2)若在时恒成立，求的值；(3)若，证明．2．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．3．（2021·全国·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.1．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数，其中．(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)当时，若且，比较与的大小，并说明理由2．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，其中.(1)讨论的单调性；(2)若，证明：.3．（23-24高三下·北京·开学考试）已知.(1)若，求在处的切线方程；(2)设，求的单调区间；(3)求证：当时，.4．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知函数，．(1)求证：存在唯一零点；(2)设，若存在，使得，求证：．5．（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数.(1)当时，存在，使得，求M的最大值；(2)已知m，n是的两个零点，记为的导函数，若，且，证明：.1．（2023·甘肃定西·模拟预测）已知函数．(1)若a＝1，求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，且，求证：．2．（2024·四川德阳·二模）已知函数，(1)当时，讨论的单调性；(2)若函数有两个极值点，求的最小值.3．（2023·福建龙岩·模拟预测）设函数.(1)求的极值；(2)已知，有最小值，求的取值范围.4．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数．(1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点；(2)若，满足，且，求的取值范围．5．（2022·四川泸州·一模）已知函数的图像在处的切线与直线平行．(1)求函数的单调区间；(2)若，且时，，求实数m的取值范围．6．（2023·河南郑州·三模）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．7．（2023·福建龙岩·二模）已知函数，．(1)若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线；(2)若，且，证明：．8．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知函数，．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)设是函数的两个极值点，证明：．9．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数．(1)若恒成立，求的取值范围；(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．10．（2023·广西·模拟预测）已知函数．(1)若，求在处的切线方程；(2)若有两个不同零点，证明：．11．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若，当时，证明：．12．（2023·海南·模拟预测）已知函数在上单调递增.(1)求的取值范围；(2)若存在正数满足（为的导函数），求证：.13．（2024高三下·全国·专题练习）设是函数的一个极值点．(1)求与的关系式（用表示），并求的单调区间；(2)设，．若存在，，使得，求实数的取值范围．14．（2024·浙江绍兴·三模）若函数有且仅有一个极值点，函数有且仅有一个极值点，且，则称与具有性质．(1)函数与是否具有性质？并说明理由．(2)已知函数与具有性质．（i）求的取值范围；（ii）证明：．15．（2023·全国·模拟预测）已知函数.(1)设函数，若恒成立，求的最小值；(2)若方程有两个不相等的实根、，求证：.1．（重庆·高考真题）设函数，.（1）求导数，并证明有两个不同的极值点､；（2）若不等式成立，求的取值范围.2．（湖南·高考真题）设函数（1）讨论的单调性；