第05讲 平面向量之极化恒等式（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第05讲平面向量之极化恒等式（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。而本节要学的极化恒等式可以从另一角度来综合解题。利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。知识讲解极化恒等式恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形中,则在上述图形中设平行四边形对角线交于点,则对于三角形来说:极化恒等式的适用条件共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点;第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。考点一、极化恒等式求值1．（全国·高考真题）设向量满足，，则A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A方法一：基本方法，详见解析版方法二：极化恒等式由极化恒等式可得：，故选A．2．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【详解】方法一、二、三，详见解析版方法四：极化恒等式设CD中点为O点，由极化恒等式可得：，故选：B.1．（江苏·高考真题）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是.

【答案】方法一：详见解析版方法二：极化恒等式因为是上的两个三等分点,所以联立解得:，所以2.如图,在中,已知,点分別在边上,且,若为的中点,则的值为________3．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式.已知在中，是中点，，，则（

）A． B．16 C． D．84．（21-22高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（

）A．32 B．-32 C．16 D．-16考点二、极化恒等式求范围1．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．如图所示,正方形的边长为分别在轴,轴的正半轴(含原点)上滑动,则的最大值是_________2．（全国·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．如图,在平面四边形中,,则的最大值为____设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则的最小值为_______已知的斜边,设是以为圆心,1为半径的圆上任意一点,则的取值范围是（）A.B.C.D.1．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为.2．（2023·天津红桥·二模）已知菱形ABCD的边长为2，，点E在边BC上，，若G为线段DC上的动点，则的最大值为（

）A．2 B．C． D．43．（23-24高一下·北京昌平·期末）在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（

）A．9 B．10 C．11 D．124．（23-24高二下·浙江·期中）在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（）A． B． C． D．5．（23-24高一下·湖南常德·期中）如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和．点是直线上一个动点，过点作，点在线段上运动（包括端点）且，若的面积为．则的最小值为（

）

A． B． C． D．6．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知是边长为1的正六边形边上相异的三点，则的取值范围是.1．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（

）A．2 B． C．8 D．2．（23-24高一下·北京顺义·期中）已知点A，点B，点P都在单位圆上，且，则的最大值是（

）A． B．3 C．1 D．23．（23-24高一下·福建泉州·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（）A． B． C． D．4．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·北京·阶段练习）在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量满足，且向量在方向上的投影向量为．若动点C满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．（23-24高一下·湖北·期中）在中，点E，F分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为4，则的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．8．（23-24高一下·湖南张家界·期中）青花瓷（blue

and

white

porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是（

）A． B．C． D．9．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）已知图中正六边形的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（

）

A． B． C． D．10．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要，有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形，已知与为全等的正六边形，且，点P为线段（包括顶点）上的一点，则的取值范围为（

）

A． B． C． D．1．（21-22高二上·浙江衢州·期末）已知点P在圆上，已知，，则的最小值为.2．（21-22高一下·浙江·期中）正方形ABCD的边长为2，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面内一点，且满足，则·的最小值为（）A． B． C． D．3．（21-22高一下·江西·期中）已知点是正六边形内部（包括边界）一动点，，则的最大值为．4．（2024高三·全国·专题练习）已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（

）A．6 B．12 C．24 D．3224．5．（23-24高一下·浙江·期中）已知中，，，若在平面内一点满足，则的最大值为6．（22-23高一下·湖北襄阳·期中）已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（

）A． B． C． D．-17．（2023高三·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（）

A． B．C． D．8．（23-24高