福建省泉州市永春县侨中联考2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年福建省泉州市永春县侨中联考九年级（上）期中数学试卷一.选择题（每题4分，共40分）1．（4分）下列四个数，二次根式中x不可取的数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．3．（4分）已知线段m、n、p、q的长度满足等式mn＝pq，将它改写成比例式的形式，错误的是（）A． B． C． D．4．（4分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上，连接AD，BC交于点E，则S△ABE：S△DCE＝（）A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．9：15．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B． C． D．6．（4分）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（）A．x2+4x﹣3＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2﹣4x﹣2＝07．（4分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（）A．18.63（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝18.63 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.638．（4分）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（）A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮9．（4分）若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+2024的值为（）A．2002 B．2003 C．2004 D．200510．（4分）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.4cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，则像CD的高为（）A．15cm B．14.4cm C．13.5cm D．9cm二.填空题（每题4分，共2A分）11．（4分）已知四条线段6，3，a+1，4是成比例线段，则a的值为．12．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为．13．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是．14．（4分）根据物理学规律，如果把一物体从地面以9.8m/s的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m）约为9.8x﹣4.9x2．根据上述规律，物体经过秒落回到地面．15．（4分）如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则AB长为．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC+CD的最大值为．三.解答题（共86分）17．（8分）计算：÷﹣×+．18．（8分）如图，已知线段AB与CD交于点O，OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，求证：△AOC∽△DOB．19．（8分）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．解方程：2x2﹣3x﹣5＝0．解：2x2﹣3x﹣5＝0．，第一步，第二步，第三步x﹣，第四步x﹣，或x﹣，第五步x1＝，x2＝﹣1．第六步任务一：①小颖解方程的方法是；A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法②解方程过程中第二步变形的依据是；任务二：请你用“公式法“解该方程．20．（8分）已知，．（1）求ab及a2+b2的值；（2）求不超过a5的最大整数．21．（8分）如图，已知△ABC，点D在BC延长线上，且CD＝BC．（1）求作▱ACDE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若F是DE的中点，连接BF交AC于点M，连接CE交BF于点N，求的值．22．（10分）某汽车租赁公司共有汽车50辆，市场调查表明，当租金为每辆每日200元时可全部租出，当租金每提高10元，租出去的汽车就减少2辆．（1）若租金提高了40元，租出去的汽车有辆，日收益为元；（2）公司希望日收益达到10160元，你认为能否实现？若能，求出此时的租金；若不能，请说明理由．23．（10分）已知关于x的方程：x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0，其中n为整数．（1）求证：此方程不可能有两个相等的实数根．（2）若方程的两个根均为整数，求n的值．24．（12分）综合与实践：（1）活动一（阅读经典）如图1，等腰△ABC，顶角∠BAC＝36°，BD平分∠ABC．求证：△ABD和△BCD都为等腰三角形．这个例题大家都熟悉．这个△ABC是个特殊等腰三角形，平分线把图中等腰△ABC分成三个等腰三角形，底边与腰的比值等于黄金分割值，我们把这种三角形称为黄金三角形．以下是求等腰△ABC的底边与腰的比值过程：由△ABC、△ABD和△BCD都为等腰三角形可得AB＝AC，AD＝BD＝BC，设CD＝x，AD＝BD＝BC＝y，因为底角∠ACB＝∠BCD，则∠BAC＝∠CBD．所以△BDC∽△ABC，所以，得．整理，得到，解得＝．所以等腰△ABC的底边与腰的比值等于（保留三位小数）．活动小结：通过辅助线（分割线），可以求得一些不是特殊图形（包含三角形、角等常见图形）的一些线段的比值．（2）活动二（实践研究）：如图2，等腰△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC．求边BC与边AB的比值．解：过点B作BH⊥AC于点H，截取DH＝CH，过D作DE⊥AB于点E．（以上是小龙同学解此题所作的辅助线，请您帮助小龙完成剩下的解答过程．）（3）活动三（问题解决）在活动二（实践研究）原有条件不变情况下，老题新增以下条件，并提出问题，请解答问题：如图3，延长BA到点D，使得AD＝AB，连接CD，求的值．25．（14分）如图1，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝1，点E在AB上．（1）当AE＝AD，∠DCE＝2∠BCE，求证：∠DCE＝45°．（2）如图2，延长CD及BA相交于点F，延长CE及DA相交于点G，△AED的周长为2．①求AF•AG的值．②连接FG，FG⊥CF，取FG的中点M，连接CM，作FN⊥CM，连接NG，求NG与NC的数量关系．

2024-2025学年福建省泉州市永春县侨中联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每题4分，共40分）1．（4分）下列四个数，二次根式中x不可取的数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件进行解答即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴x﹣1≥0，解得：x≥1，∵0＜1＜2＜3，∴x不可取的数为0，故A正确．故选：A．2．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据同类二次根式的定义进行解题即可．【解答】解：A、与不是同类二次根式；B、与不是同类二次根式；C、与不是同类二次根式；D、＝2，与是同类二次根式；故选：D．3．（4分）已知线段m、n、p、q的长度满足等式mn＝pq，将它改写成比例式的形式，错误的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．【解答】解：A、两边同时乘以最简公分母pn得mn＝pq，与原式相等，正确，不符合题意；B、两边同时乘以最简公分母mq得mn＝pq，与原式相等，正确，不符合题意；C、两边同时乘以最简公分母qm得pq＝mn，与原式相等，正确，不符合题意；D、两边同时乘以最简公分母qn得mq＝pn，与原式不相等，错误，符合题意；故选：D．4．（4分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上，连接AD，BC交于点E，则S△ABE：S△DCE＝（）A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．9：1【答案】D【分析】判定△ABE∽△DCE，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：∵CD∥AB，∴△ABE∽△DCE，∴S△ABE：S△DCE＝AB2：CD2，∵AB＝6，CD＝2，∴S△ABE：S△DCE＝9：1．故选：D．5．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由∠BDE＝∠A＝75°，∠B＝∠B，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△DBE∽△ABC，可判断A不符合题意；由∠CFG＝∠A＝75°，∠C＝∠C，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△FGC∽△ABC，可判断B不符合题意；由＝＝，∠A＝∠A，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ACH∽△ABC，可判断C不符合题意；由△IBJ与△ABC的对应边不成比例，可知△IBJ与△ABC不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．【解答】解：如图1，∵∠BDE＝∠A＝75°，∠B＝∠B，∴△DBE∽△ABC，故A不符合题意；如图2，∵∠CFG＝∠A＝75°，∠C＝∠C，∴△FGC∽△ABC，故B不符合题意；如图3，∵AB＝8，AC＝6，AH＝4.5，∴＝＝，＝＝，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ACH∽△ABC，故C不符合题意；如图4，△IBJ与△ABC的对应边不成比例，∴△IBJ与△ABC不相似，故D符合题意，故选：D．6．（4分）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（）A．x2+4x﹣3＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2﹣4x﹣2＝0【答案】D【分析】根据公式法解答，即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程的根为，∴二次项系数为1，一次项系数为﹣4，常数项为﹣2，∴这个方程为x2﹣4x﹣2＝0．故选：D．7．（4分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（）A．18.63（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝18.63 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63【答案】B【分析】首先根据2月份售价为23万元，月平均降价率是x可得出3月份的售价为23（1﹣x）万元，4月份的售价为23（1﹣x）（1﹣x）＝23（1﹣x）2万元，据此根据4月份售价为18.63万元可列出方程，进而可得出答案．【解答】解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18.63．故选：B．8．（4分）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（）A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮【答案】B【分析】根据二次根式的运算法则，对每步算式进行计算即可．【解答】解：因为＝，所以小明没有出现错误．因为＝＝，所以小丽出现错误．因为，所以小红出现错误．因为＝，所以小亮没有出现错误．故选：B．9．（4分）若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+2024的值为（）A．2002 B．2003 C．2004 D．2005【答案】D【分析】根据根与系数的关系和m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，通过变形可以求得m3﹣4n2+2024的值．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，∴m2＝3﹣m，n2＝3﹣n，∴m3＝m•m2＝m（3﹣m）＝3m﹣m2＝3m﹣（3﹣m）＝4m﹣3，∴m3﹣4n2+2024＝4m﹣3﹣4（3﹣n）+2024＝4m﹣3﹣12+4n+2024＝4（m+n）+2009＝﹣4+2009＝2005．故选：D．10．（4分）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.4cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，则像CD的高为（）A．15cm B．14.4cm C．13.5cm D．9cm【答案】C【分析】先证△CAE∽△COF得出，再证△OAB∽△OCD，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出CD的长．【解答】解：由题意得，AB∥MN，AE∥OF，AB∥CD，∴四边形ABOE是平行四边形，∴AE＝OB＝6cm，∵AE∥OF，∴△CAE∽△COF，∴，∴，∴，∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴，∴，∴CD＝13.5cm，故选：C．二.填空题（每题4分，共2A分）11．（4分）已知四条线段6，3，a+1，4是成比例线段，则a的值为7．【答案】见试题解答内容【分析】根据对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【解答】解：∵四条线段6，3，a+1，4是成比例线段，∴6：3＝（a+1）：4，即3（a+1）＝4×6，解得a＝7．故答案为：7．12．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为．【答案】见试题解答内容【分析】根据一元二次方程x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根可知Δ＝0，即1﹣4c＝0，即可解得答案．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即1﹣4c＝0，解得c＝；故答案为：．13．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是b．【答案】b．【分析】根据数轴判断a与a+b和0的关系，再根据二次根式的性质化简即可得到答案；【解答】解：由数轴可得，a＜0＜b，|a|＞|b|∴a+b＜0，∴，故答案为：b．14．（4分）根据物理学规律，如果把一物体从地面以9.8m/s的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m）约为9.8x﹣4.9x2．根据上述规律，物体经过2秒落回到地面．【答案】2．【分析】根据“物体落回到地面”可得9.8x﹣4.9x2＝0，解此方程即可．【解答】解：由题意可得：9.8x﹣4.9x2＝0，解得：x1＝0（舍去），x2＝2，∴物体经过2秒落回到地面．故答案为：2．15．（4分）如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则AB长为﹣1．【答案】﹣1．【分析】已知图中的①和②，③和④形状大小分别完全相同，结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形，②③能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；利用拼图前后的面积相等列出方程求解即可得出答案．【解答】解：如图：设AB＝b，图1中的正方形面积为4，∴正方形边长为2，直角三角形①中的长直角边为2，∴b（2+b）＝4，解得：h＝﹣1（负值已舍去），∴AB＝﹣1，故答案为：﹣1．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC+CD的最大值为．【答案】．【分析】由相似三角形的性质得出CD＝AC2，进而求出CD＝（9﹣BC2）＝3﹣BC2，设BC＝x，则BC+CD＝﹣+，由二次函数的性质可得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△CAD，∴＝，∵AB＝3，∴＝，∴CD＝AC2，∵∠ACB＝90°，∴AC2＝AB2﹣BC2＝9﹣BC2，∴CD＝（9﹣BC2）＝3﹣BC2，设BC＝x，∴BC+CD＝x+3﹣x2＝﹣+∴x＝时，BC+CD的最大值为．故答案为：．三.解答题（共86分）17．（8分）计算：÷﹣×+．【答案】见试题解答内容【分析】先计算乘法和除法，再合并即可得．【解答】解：原式＝﹣+2＝4+18．（8分）如图，已知线段AB与CD交于点O，OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，求证：△AOC∽△DOB．【答案】证明过程见解析．【分析】由已知条件证得，由相似三角形的判定可得出结论．【解答】证明：∵OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，∴，，∴，∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△DOB．19．（8分）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．解方程：2x2﹣3x﹣5＝0．解：2x2﹣3x﹣5＝0．，第一步，第二步，第三步x﹣，第四步x﹣，或x﹣，第五步x1＝，x2＝﹣1．第六步任务一：①小颖解方程的方法是C；A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法②解方程过程中第二步变形的依据是等式的基本性质1；任务二：请你用“公式法“解该方程．【答案】任务一：①C；②等式基本性质一；任务二：见解答．【分析】任务一：根据解答过程和等式的基本性质求解即可；任务二：根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可．【解答】解：任务一：①由题意知，小颖解方程的方法是配方法，故选：C；②解方程过程中第二步变形的依据是等式的基本性质1，故答案为：等式的基本性质1；任务二：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）＝49＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝﹣1．20．（8分）已知，．（1）求ab及a2+b2的值；（2）求不超过a5的最大整数．【答案】（1）ab＝1，a2+b2＝3；（2）11．【分析】（1）先求出ab和a+b的值，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入计算即可；（2）先求出a2，a4，再计算a8＝（a4）2，最后a10＝a8•a2，即可得出结果．【解答】解：（1）∵a＝，b＝，∴ab＝＝＝﹣1，a+b＝＝1，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣1）＝3；（2）∵a2＝（）2＝，∴a4＝（）2＝，∴a5＝＝∵≈2.236，∴a5＞＞11，＜12．因此，不超过a10的最大整数为11．21．（8分）如图，已知△ABC，点D在BC延长线上，且CD＝BC．（1）求作▱ACDE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若F是DE的中点，连接BF交AC于点M，连接CE交BF于点N，求的值．【答案】（1）见解析过程；（2）．【分析】（1）以点C为圆心，AB为半径画弧，以点D为圆心，AC为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，则四边形ACDE为平行四边形；（2）通过证明△BCM∽△BDF，可得DF＝2CM，通过证明△CMN∽△EFN，可求解．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AC∥DE，∴△BCM∽△BDF，∴，∵CD＝BC，∴BD＝2BC，∴DF＝2CM，∵点F是DE的中点，∴EF＝DF＝2CM，∵AC∥DE，∴△CMN∽△EFN，∴＝＝．22．（10分）某汽车租赁公司共有汽车50辆，市场调查表明，当租金为每辆每日200元时可全部租出，当租金每提高10元，租出去的汽车就减少2辆．（1）若租金提高了40元，租出去的汽车有42辆，日收益为10080元；（2）公司希望日收益达到10160元，你认为能否实现？若能，求出此时的租金；若不能，请说明理由．【答案】（1）42；10080；（2）日收益不能达到10160元．见解答．【分析】（1）租金提高40元，则每日可租出（50﹣）辆，根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数解答；（2）根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＜0，即可得出该一元二次方程无解，进而可得出日收益不能达到10160元．【解答】解：（1）根据题意知，每日可租出：50﹣＝42（辆），日收益为：240×42＝10080（元）．故答案为：42；10080；（2）假设能实现，租金提高x元，依题意，得：（200+x）（50﹣）＝10160，整理，得：x2﹣50x+800＝0，∵Δ＝（﹣50）2﹣4×1×800＜0，∴该一元二次方程无解，∴日收益不能达到10160元．23．（10分）已知关于x的方程：x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0，其中n为整数．（1）求证：此方程不可能有两个相等的实数根．（2）若方程的两个根均为整数，求n的值．【答案】（1）证明见解答过程；（2）10或﹣18或0或﹣8．【分析】（1）先求出该方程根据的判别式为16（n+4）2﹣232，再根据n为整数得16（n+4）2﹣232≠0，由此可得出答案；（2）将该方程配方得（x﹣3）2﹣（2n+8）2＝﹣55，进而得（2n+x+5）（2n﹣x+11）＝55，然后根据x，n均为整数，55＝1×55＝（﹣1）×（﹣55）＝5×11＝（﹣5）×（﹣11），将该方程转化为关于n，x的方程中，然后解方程组求出n的值就可．【解答】证明：（1）对于方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0，根的判别式为：（﹣6）2﹣4×（﹣4n2﹣32n）＝16n2+128n+36＝16（n+4）2﹣232，∵n为整数，∵16（n+4）2是一个整数的平方，232不是完全平方数，∴当n为整数时，16（n+4）2﹣232≠0，∴此方程不可能有两个相等的实数根．（2）x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0，配方得：x2﹣6x+9﹣（4n2+32n+64）+55＝0，∴（x﹣3）2﹣（2n+8）2＝﹣55，∴（2n+8+x﹣3）（2n+8﹣x+3）＝55，即（2n+x+5）（2n﹣x+11）＝55，∵x，n均为整数，55＝1×55＝（﹣1）×（﹣55）＝5×11＝（﹣5）×（﹣11），∴或或或或或或或，由或，解得：n＝10；由或，解得：n＝﹣18；由或，解得：n＝0；由或，解得：n＝﹣8，当n＝10时，方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0为：x2﹣6x﹣720＝0，解得：x1＝30，x2＝﹣24，符合题意；当n＝﹣18时，方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0为：x2﹣6x﹣720＝0，解得：x1＝30，x2＝﹣24，符合题意；当n＝0时，方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0为：x2﹣6x＝0，解得：x1＝0，x2＝6，符合题意；当n＝﹣8时，方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0为：x2﹣6x＝0，解得：x1＝0，x2＝6，符合题意，综上所述：当方程的两个根均为整数，n的值为10或﹣18或0或﹣8．24．（12分）综合与实践：（1）活动一（阅读经典）如图1，等腰△ABC，顶角∠BAC＝36°，BD平分∠ABC．求证：△ABD和△BCD都为等腰三角形．这个例题大家都熟悉．这个△ABC是个特殊等腰三角形，平分线把图中等腰△ABC分成三个等腰三角形，底边与腰的比值等于黄金分割值，我们把这种三角形称为黄金三角形．以下是求等腰△ABC的底边与腰的比值过程：由△ABC、△ABD和△BCD都为等腰三角形可得AB＝AC，AD＝BD＝BC，设CD＝x，AD＝BD＝BC＝y，因为底角∠ACB＝∠BCD，则∠BAC＝∠CBD．所以△BDC∽△ABC，所以，得．整理，得到，解得＝．所以等腰△ABC的底边与腰的比值等于0.618（保留三位小数）．活动小结：通过辅助线（分割线），可以求得一些不是特殊图形（包含三角形、角等常见图形）的一些线段的比值．（2）活动二（实践研究）：如图2，等腰△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC．求边BC与边AB的比值．解：过点B作BH⊥AC于点H，截取DH＝CH，过D作DE⊥AB于点E．（以上是小龙同学解此题所作的辅助线，请您帮助小龙完成剩下的解答过程．）（3）活动三（问题解决）在活动二（实践研究）原有条件不变情况下，老题新增以下条件，并提出问题，请解答问题：如图3，延长BA到点D，使得AD＝AB，连接CD，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）2﹣．【分析】（1）解一元二次方程求得结果；（2）过点B作BH⊥AC于点H，截取DH＝CH，过D作DE⊥AB于点E，∠B＝∠ABC＝＝75°，进而求得∠ABD＝∠EDB＝45°，从而得出BC＝DB＝，设DE＝BE＝a，可表示出BD＝，AE＝，AB＝BE+AE＝（，进而得出结果；（3）作∠CBH＝60°，BH交CD于H，可得出∠ACD＝∠D＝15°，进而得出∠D＝∠DBH，从而DH＝BH，设CB＝k，则DH＝BH＝2BC＝2k，CH＝BC＝，从而CD＝DH+CH＝（2+，进而得出结果．【解答】解：（1）由得，＝，∵，∴≈，故答案为：；（2）如图1，过点B作BH⊥AC于点H，截取DH＝CH，过D作DE⊥AB于点E，∴BD＝BC，∠BED＝90°，∴∠C＝∠BDC，∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠B＝∠ABC＝＝75°，∴∠BDC＝75°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝75°﹣30°＝45°，∴∠BED＝90°﹣∠ABD＝45°，∴BC＝DB＝，设DE＝BE＝a，∴BD＝，AE＝，∴AB＝BE+AE＝（，∴；（3）如图2，作∠CBH＝60°，BH交CD于H，∵AB＝AC，AD＝AB，∴AD＝AC，∴∠D＝∠ACD，∵∠D+∠ACD＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠D＝15°，由（2）知，∠ACB＝75°，∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝90°，∴∠CHB＝90°﹣∠CBH＝30°，∴∠DBH＝∠CHB﹣∠D＝15°，∴∠D＝∠DBH，∴DH＝BH，设CB＝k，则DH＝BH＝2BC＝2k，CH＝BC＝，∴CD＝DH+CH＝（2+，∴．25．（14分）如图1，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝1，点E在AB上．（1）当AE＝AD，∠DCE＝2∠BCE，求证：∠DCE＝45°．（2）如图2，延长CD及BA相交于点F，延长CE及DA相交于点G，△AED的周长为2．①求AF•AG的值．②连接FG，FG⊥CF，取FG的中点M，连接CM，作FN⊥CM，连接NG，求NG与NC的数量关系．【答案】（1）证明见解答；（2）①AF•AG＝2；②NC＝NG，理由见解答．【分析】（1）如图1，连接AC交DE于P，先根据题意可知：△ABC是等腰直角三角形，则∠ACB＝∠BAC＝45°，再由等腰三角形的三线合一的性质，线段垂直平分线的性质即可解答；（2）①如图2，过点C作CH⊥AD，交AD的延长线于H，延长AB至O