第2章 直线与圆的位置关系 综合检测

第2章直线与圆的位置关系综合检测一、单选题(每题3分，共30分)1．平面内，⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为()A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的()A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点3．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝4，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是()A．4 B．8 C．12 D．164．如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，⊙O的半径为6，且PA＝8，则cos∠APO等于()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5) C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)5．在平面直角坐标系中，以点(3，－4)为圆心，2为半径作圆，这个圆与直线x＝1的位置关系为()A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定6．如图，两个同心圆(圆心相同、半径不同的圆)的半径分别为6cm和3cm，大圆的弦AB与小圆相切，则劣弧AB的长为()A．2πcm B．4πcm C．6πcm D．8πcm7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝()A．70° B．110° C．120° D．130°8．如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC＝OB，CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD∶DE的值是()A.eq\f(1,2) B．1 C．2 D．39．如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E、F为⊙O上的两点，且∠CDE＝∠ADF.若⊙O的半径为eq\f(5,2)，CD＝4，则弦EF的长为()A．4 B．2eq\r(5) C．5 D．610．如图，点A在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过点A的切线交于点B，且∠APB＝60°.设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是()二、填空题(每题4分，共24分)11．已知⊙O的半径为5，直线AB与⊙O相交，则圆心O到直线AB的距离d的取值范围是________．12．等边三角形ABC的边长为4cm，则它的内切圆的半径为________cm.13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.若∠P＝40°，则∠ADC＝________°.14．如图，在▱ABCD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连结OC.若OC＝AB，则▱ABCD的周长为________．15．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，E是AB上一点，且AE＝eq\f(1,4)AB，⊙O经过点E，与CD相切于点G，与AB交于另一点F，且EG∶EF＝eq\r(5)∶2，BC与⊙O相切，则AB的长是________．16．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，点O为斜边AB的中点，⊙O的半径为1，点P在AC，BC上运动，则点P到⊙O的切线长PQ的最小值为________．三、解答题(共66分)17．(6分)如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C.求证：AC＝BC.18．(6分)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD是BC边上的中线．请用尺规作图，作出△ABC的内切圆．(保留作图痕迹，不写作法)19．(6分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连结BD，BE.(1)求证：DB＝DE.(2)若AE＝3，DF＝4，求DB的长．20．(8分)如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D.(1)求证：AE平分∠BAC.(2)若CE＝eq\r(3)，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．21．(8分)如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°.(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．22．(10分)如图，在△ABC中，CA＝CB，BC与⊙A相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交⊙A于点F，连结BF.(1)求证：BF是⊙A的切线．(2)若BE＝5，CA＝20，求EF的长．23．(10分)阅读材料：如图1，△ABC的周长为l，内切圆⊙O的半径为r，连结OA、OB、OC，△ABC被分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．∵S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA，S△OAB＝eq\f(1,2)AB·r，S△OBC＝eq\f(1,2)BC·r，S△OCA＝eq\f(1,2)CA·r，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·r＋eq\f(1,2)BC·r＋eq\f(1,2)CA·r＝eq\f(1,2)l·r.∴r＝eq\f(2S△ABC,l)(可作为三角形的内切圆半径公式)．根据上述阅读材料完成下列各题：(1)理解与应用：利用公式计算三边长分别为5、12、13的三角形的内切圆半径．(2)类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆⊙O(与各边都相切的圆)如图2，且四边形ABCD的面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式．(3)拓展与延伸：若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆(与各边都相切的圆)，且该n边形的面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、an，合理猜想该n边形的内切圆半径公式(不需说明理由)．24．(12分)如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，A是⊙O上的一个动点(不与点B，D重合)，以A，B，D为顶点作▱ABCD.(1)若A是劣弧BD的中点．①求证：▱ABCD是菱形；②求▱ABCD的面积．(2)若点A运动到优弧BD上，且▱ABCD有一边与⊙O相切．①求AB的长；②直接写出▱ABCD的对角线所夹锐角的正切值．

第2章直线与圆的位置关系综合检测答案一、1．C2．B3．B4．A5．B6．B7．B8．C9．B10．D二、11．0≤d<512．eq\f(2\r(3),3)13．11514．24＋6eq\r(5)15．1216．eq\f(\r(5),2)三、17．证明：如图，连结OC，∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB.又∵OA＝OB，∴AC＝BC.18．解：如图，⊙O即为所求．19．(1)证明：∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC.∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.又∵∠DBC＝∠CAD，∴∠DBC＝∠BAE.∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE，∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.(2)解：由(1)知∠DBC＝∠BAE.∵∠D＝∠D，∴△DBF∽△DAB.∴eq\f(DB,DA)＝eq\f(DF,DB).∵DE＝DB，∴DB＝DF＋EF＝4＋EF，又∵DA＝AE＋EF＋DF＝7＋EF，∴eq\f(4＋EF,7＋EF)＝eq\f(4,4＋EF)，解得EF＝2(负值舍去)．∴DB＝6.20．(1)证明：如图，连结OE，∵PQ切⊙O于E，∴OE⊥PQ.又∵AC⊥PQ，∴OE∥AC.∴∠OEA＝∠EAC.∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE.∴∠OAE＝∠EAC，∴AE平分∠BAC.(2)解：如图，连结BE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.∵∠BAC＝60°，∴∠OAE＝∠EAC＝30°.∴AB＝2BE.∵AC⊥PQ，∴∠ACE＝90°，∴AE＝2CE.∵CE＝eq\r(3)，∴AE＝2eq\r(3).设BE＝x，则AB＝2x，由勾股定理，得x2＋12＝4x2，解得x＝2(负值舍去)．∴AB＝4，∴⊙O的半径为2.21．(1)证明：连结OC.∵AC＝CD，∠ACD＝120°，∴∠A＝30°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°.∴∠OCD＝∠ACD－∠ACO＝90°，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线．(2)解：∵∠COB＝∠ACO＋∠A＝60°，⊙O的半径为2，∴S扇形BOC＝eq\f(60π×22,360)＝eq\f(2π,3).在Rt△OCD中，易知∠D＝30°，∴OD＝2OC＝4.∴CD＝eq\r(OD2－OC2)＝2eq\r(3).∴SRt△OCD＝eq\f(1,2)OC·CD＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3).∴S阴影＝SRt△OCD－S扇形BOC＝2eq\r(3)－eq\f(2π,3).22．(1)证明：连结AD，如图，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC.∵AE⊥AC，∴∠CAB＋∠BAE＝90°.∵BC与⊙A相切于点D，∴∠ADB＝90°.∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∴∠BAE＝∠BAD.在△ABF和△ABD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AB，,∠BAE＝∠BAD，,AF＝AD，))∴△ABF≌△ABD.∴∠AFB＝∠ADB＝90°，即AF⊥BF.∴BF是⊙A的切线．(2)解：由(1)得AF⊥BF，∵AC⊥AE，∴BF∥AC.∴△EFB∽△EAC.∴eq\f(BE,CE)＝eq\f(BF,CA).∵BE＝5，CB＝CA＝20，∴CE＝BE＋CB＝20＋5＝25.∴eq\f(5,25)＝eq\f(BF,20).∴BF＝4.在Rt△BEF中，EF＝eq\r(BE2－BF2)＝eq\r(52－42)＝3.23．解：(1)∵52＋122＝25＋144＝169＝132，∴三边长分别为5、12、13的三角形是直角三角形．∴该三角形的面积为eq\f(1,2)×5×12＝30.又∵该三角形的周长为5＋12＋13＝30，∴该三角形的内切圆半径为eq\f(2×30,30)＝2.(2)如图，连结OA、OB、OC、OD.设⊙O的半径为r，∵S＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCD＋S△AOD，S△OAB＝eq\f(1,2)AB·r，S△OBC＝eq\f(1,2)BC·r，S△OCD＝eq\f(1,2)CD·r，S△AOD＝eq\f(1,2)AD·r，∴S＝eq\f(1,2)AB·r＋eq\f(1,2)BC·r＋eq\f(1,2)CD·r＋eq\f(1,2)AD·r＝eq\f(1,2)(a＋b＋c＋d)·r.∴r＝eq\f(2S,a＋b＋c＋d).(3)设该n边形的内切圆半径为r，则r＝eq\f(2S,a1＋a2＋a3＋…＋an).24．(1)①证明：∵A是劣弧BD的中点，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(AB,\s\up8(︵))，∴AD＝AB.∴▱ABCD是菱形．②解：如图1，连结AC交BD于点J，连结OB，OD.∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AJ，AC垂直平分BD.∵OB＝OD，∴点O在AC上．∵BD＝4eq\r(2)，∴DJ＝2eq\r(2).在Rt△OJD中，OD＝3，∴OJ＝eq\r(OD2－DJ2)＝eq\r(32－(2\r(2))2)＝1.∴AJ＝OA－OJ＝3－1＝2.∴AC＝4.∴S▱ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×4×4eq\r(2)＝8eq\r(2).(2)①解：当CD与⊙O相切时，如图2，连结AC交BD于点H，连结OH，OD，延长DO交AB于点P.∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD.∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，DH＝HB.∴DP⊥AB，OH⊥BD.∴PA＝PB，∠DHO＝∠DPB＝90°.∴AD＝BD＝4eq\r(2).∴DH＝2eq\r(2).在Rt△DHO中，OH＝eq\r(OD2－DH2)＝eq\r(32－(2\r(2))2)＝1.∵∠ODH＝∠BDP，∴△DHO∽△DPB.∴eq\f(DO,DB)＝eq