第二十七章 圆与正多边形（7类压轴题专练）

第1页共2页第二十七章圆与正多边形7类压轴题专练压轴题型一圆的确定1．如图，⊙O的半径为5，弦BD的长为6，延长BD至点A，使得点D为AB的中点，在⊙O上任取一点C，连接AC、BC，则AC2+B

A．290 B．272 C．252 D．2442．如图，AB=4，以点B为圆心，作半径为2的圆，点C在⊙B上，连接AC作等腰直角三角形，使∠ACD=90°，CA=CD，则△ABDA．42+4 B．42+8 C．3．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是⊙A上一动点，P是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是（

）

A．2 B．3 C．4 D．24．左老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．

有以下结论：①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的；②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的；③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的；④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的；其中所有正确结论的序号是（

）A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④5．如图，在▱ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，∠DAB=60°，点P为AB上一点，过点C，D，P作⊙O，当点P从点A运动到点B时，点O运动路线的长为

6．如图，AB=4，O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以PB为边作等边三角形PBC（点P、B、C按逆时针方向排列），连接AC，则线段AC长的最大值为．

7．定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点Px0，y0，满足y0=mx0+1，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：当m=2时，点-2,-2在函数的图像上，且满足-2=2×(1)在点A2，3，B-2,-3，C-3，(2)若函数y=-x2+bx存在唯一的“4倍点(3)若函数y=-x+2m+1的“m倍点”在以点0,10为圆心，半径长为2m的圆外，求m的所有值．8．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC，OD分别与OA，OB重合，OA=OB=4,OC=OD=2，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC，（1）当OC∥AB时，旋转角α=______度；当OC⊥AB时旋转角α=_______度．（2）发现：线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明．（3）应用：当A，C，D三点共线时，求BD的长．（4）拓展：P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的最大值________与最小值________．压轴题型二圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1．如图，等腰三角形ABC的顶点是圆的n等分点，且腰AC，BC所对的劣弧（不包括A，B，C）上分别有3个n等分点，若等腰三角形ABC是钝角三角形．则n至少是（

）A．15 B．16 C．17 D．182．如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将AC沿弦AC折叠交直径AB于点D，点E是AD的中点，连结OE，若OE的最小值为6-3，则AB的长为（A．10 B．11 C．23 D．3．如图，半径为5的圆中有一个内接矩形ABCD，AB>BC，点M是ABC的中点，MN⊥AB于点N，若矩形ABCD的面积为30，则线段MN的长为(

)A．10 B．522 C． D．4．已知钝角△ABC内接于⊙O，AB=BC，将△ABC沿AO所在直线翻折，得到△AB'C'，连接BB'、CC5．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，点D、E分别在边BC、AB上，且DE⊥BC，，将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，点D、E分别对应点D1、E1，当A、D6．如图，在四边形ABCD中，，CD=3，∠ABC=∠ADC=90°，E为BD上一点，且∠AEC=135°，则AE=．7．如图1，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD相交于E点，连OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+

(1)求证：AC(2)如图2，若∠ADC=90°，延长DA，CB相交于F点，DC=6，DF=8，求DB的长．8．【特例感知】

（1）如图①，AB是⊙O的直径，∠BAC是⊙O的圆周角，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接CD、BD．已知BD=3，∠BAD=30°，则∠BDC的度数为°，点D到直线AC的距离为【类比迁移】（2）如图②，∠BAC是⊙O的圆周角，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DM⊥AB，垂足为M，探索线段AB、【问题解决】（3）图③，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BAD=90°，AC平分∠BAD，AB=5，AD+AC=15，求线段压轴题型三垂径定理1．如图，在扇形OAB中，点D在OA上，点C在AB上，∠AOB=∠BCD=90°．若CD=3，BC=4，则⊙O的半径为(A．4 B．4.8 C．5 D．22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD=90°,AB=AD=42，E为AC上一点，且ED⊥CD，则的最小值为（A．22-2 B．25-2 C．3．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，且AB=AC，∠BAC=120°，D为弦BC的中点，弦EF经过点D，且EF∥AB．若⊙O的半径为2，则弦EF的长是（

）

A．35 B．213 C．13 D4．如图，⊙O的半径为2，点C是半圆AB的中点，点D是BC的一个三等分点（靠近点B），点P是直径AB上的动点，则CP+DP的最小值．

5如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为2，将劣弧AC沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若∠ACB=60°，则弦AC的长为．

6．如图，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．7．如图（1），BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，DB∥OA，BC=10，AC=6．(1)求证：BA平分∠DBC(2)求DB的长；(3)如图（2），E是半圆CB的中点，连接AE，求AE的长．8．如图1，点E是⊙O直径AB上一点，AE=2，BE=8，过点E作弦CD⊥AB，点G在BD上运动，连接．

(1)求CD的长．(2)如图2，连接AG，作∠DCG的角平分线交AG于点F，在点G运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值．(3)如图3，过点B作BH⊥CG于，连接DH，求DH的最小值．压轴题型四直线与圆的位置关系1．如图，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，连接OD，OC，下结论错误的是（

）

A．AD+BC=CD B．∠C．S梯形ABCD=CD⋅OA2．在平面直角坐标系xOy中，点A-2,0，B2,0，若在直线y=x+m上存在点P满足，则mA．-6≤m≤6 B．-C．-2-22≤m≤2+223．如图，点O在线段AB上，OA=2，OB=6，以O为圆心，OA为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接，以为一边作等边△MBC，连接AC，则AC长度的最小值为（）

A．213+2 B．213-2 C．4．如图，点A是⊙O上一定点，点B是⊙O上一动点、连接OA、OB、AB、分别将线段AO、AB绕点A顺时针旋转60°到AA'，AB'，连接OA'，①点A'在⊙O上；②；③∠BB'A'=12∠BOA

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．如图，∠ACB=60°，半径为1的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是．6．已知，点A1,0，点B0,1，直线l经过点B且垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，的角平分线与直线l交于点Q，则△OPQ的形状一定是；当点P运动至某一位置时，△OPQ的外接圆⊙M与一条坐标轴相切，则所有符合情况的点P的坐标为7．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x-2与坐标轴分别交与A、C两点，⊙B与x轴相切于点M，连接AB(1)∠CAO的度数是(2)若直线l以每秒的速度绕点A顺时针旋转t秒(0<t<12)，当直线l与⊙B有公共点时，t的取值范围是．(3)在（2）的条件下，直线与⊙B有公共点的条件下，若⊙B在直线l上截得的弦的中点为N．试判断∠ANM8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,-5)，以原点O为圆心，3为半径作圆．P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴负半轴运动，运动时间为t(s)．连结AP，将沿AP翻折，得到ΔAPQ．求ΔAPQ有一边所在直线与⊙O相切时直线AP的解析式．

压轴题型五圆与圆的位置关系1．⊙M和⊙O外切于点和⊙O的半径分别为1和2，直线TPQ与⊙M相切于点T，与⊙O相交于P,Q，则的值为（

）

A．33 B．63 C．222．如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，BC=63，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α0°<α≤360°，B、C的对应点分别为B'、C'，在旋转的过程中边所在直线与⊙A．1 B．2 C．3 D．43．如图，B是⊙O的半径OA延长线上一点，OA=AB=1，C是⊙O上一动点，以BC为边在BC的上方作等边△BCD，连接OD，则OD长的取值范围是．4．在△ABC中AB=7,BC=3,∠C=90°，点D在边AC上，点E在CA延长线上，且CD=DE，如果⊙B过点A，⊙E过点D，若⊙B与⊙E有公共点，那么⊙E半径r的取值范围是5．如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点P是第3列两个小圆的公共点．若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是．6．如图，如果两个圆只有一个公共点，那么我们称这两个圆相切，这个公共点就叫做切点，当两圆相切时，如果其中一个圆（除切点外）在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切；其中一个圆（除切点外）在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．如图所示：两圆的半径分别为R，r（R＞r），两圆的圆心之间的距离为d，若两个圆外切则d=R+r，若两个圆内切则d=R﹣r，已知两圆的半径分别为方程x2+mx+3=0的两个根，当两圆相切时，已知这两个圆的圆心之间的距离为4，则m的值为．7．如图，已知在等腰△ABC中，，BC=18，点D为BC边上一动点（不与点B重合），过点D作射线DE交AB于点E，∠BDE=∠A，以点D为圆心，DC的长为半径作⊙D．(1)设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)当⊙D与边AB相切时，求BD的长；(3)如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，那么当BD为多少长时，⊙D与⊙E8．在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得，那么称点P与点Q是图形W的“一对平衡点”．如图1，已知点A0,3,B(1)设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______，最大值是______；(2)在P132,0，P21,4，P3-3,0这三个点中，与点O是线段(3)如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为5,0．若点Ex,2在第一象限，且点D与点E是⊙O的“一对平衡点”，求x(4)如图3，已知点H-3,0，以点O为圆心，长为半径画弧，交x轴的正半轴于点K．点Ca,b（其中b≥0)是坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的“一对平衡点”，直接写出b

压轴题型六正多边形与圆1．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），下列结论：①；②当DB最长时，DB=2DC；③DA+DC=DB；④当AD=2，CD=3时，AC=25；⑤当AB=23时，四边形ABCD最大面积是43．其中一定正确的结论有（A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为点G，连接；①AG>GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④的最小值5-1．其中正确的说法有（）个．A．4 B．3 C．2 D．13．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为72

A．172 B．1722 C．154．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD,ON，则∠DON＝

5．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则2PC-PD的最大值是6．如图，已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心，连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为．6．如图①，C，D分别是半圆O的直径AB上的点，点E，F在AB上，且四边形CDEF是正方形．

(1)若AB=45，则正方形CDEF的面积为(2)如图②，点G，，M分别在AB，AB，DE上，连接HG，HM，四边形DGHM是正方形，且其面积为16①求AB的值；②如图③，点N，P，Q分别在HM，AB，EM上，连接PN，，四边形MNPQ是正方形．直接写出正方形MNPQ与正方形DGHM的面积比．8．已知正方形ABCD的边长为4．(1)将正方形ABCD对折，折痕为EF，如图①把这个正方形展平，再将点C折到折痕EF上的点N的位置，折痕为BM．①判断△BCN②求PF的长；(2)如图②当AE=CF时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，直接写出△ADG压轴题型七弧长与扇形面积1．如图，已知一个半圆形工件，搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是（

）m．A．52π B．2π C．322．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30°，在直径AB上截取AD=AC，延长CD交⊙O于点E．若CE=22，则CE的长为（

A．π B．2π C．3π D．3．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连接AC、BD，则图中阴影部分的面积为（

）

A．12π B．π C．2π D4．如图，扇形AOB的半径OA=OB=4cm，∠AOB=90°，分别以OA、OB的中点C、D为圆心，OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为5．新定义：在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，如果DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，那么DE称为△ABC的中内弧．已知在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=22，点D、E分别是边AB、AC的中点，如果DE6．如图，以G(0,2)为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为圆G上一动点，CF⊥AE于（1）AC的长度为；（2）当点E在圆G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．7．如图1．扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=6，点P在半径OB上，连接(1)把△AOP沿AP翻折，点O的对称点为点Q①当点Q刚好落在弧AB上，求弧AQ的长；②如图2，点Q落在扇形AOB外，AQ与弧AB交于点C，过点Q作，垂足为H，探究、AH、QC之间的数量关系，并说明理由；(2)如图3，记扇形AOB在直线AP上方的部分为图形W，把图形W沿着AP翻折，点B的对称点为点E，弧AE与OA交于点F，若OF=2，求PO的长．8．如图1，扇形OAB的半径为12，∠AOB=90°，P是半径OB上一动点，Q是弧AB上的一动点．连接PQ．

(1)当∠POQ=___________度时，PQ有最大值，最大值为___________(2)如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P．则BQ的长为___________；（结果保留(3)如图3，将图形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B'恰好落在AO的延长线上，求阴影部分面积．（结果保留π(4)如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的QB'与半径OA相交与F、G两点．若AF=OG=2，求

第二十七章圆与正多边形7类压轴题专练答案全解全析压轴题型一圆的确定1．如图，⊙O的半径为5，弦BD的长为6，延长BD至点A，使得点D为AB的中点，在⊙O上任取一点C，连接AC、BC，则AC

A．290 B．272 C．252 D．244【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，圆内最长弦是直径，过点C作于点N，连接CD，根据勾股定理可得AC2+BC2=72+2【详解】解：过点C作于点N，连接CD，

∵点D为AB的中点，BD=6，∴AD=BD=6∵CN∴∠∴A∴==A==72+2D=72+2D当DN2+C在Rt△CD∴当CD最大时，AC∵⊙O的半径为5∴弦CD最长等于直径是10，∴DAC故选：B．2．如图，AB=4，以点B为圆心，作半径为2的圆，点C在⊙B上，连接AC作等腰直角三角形，使∠ACD=90°，CA=CD，则A．42+4 B．42+8 C．【答案】B【分析】如图，以AB为边向下作等腰直角三角形ABH，且∠ABH=90°，连接DH，证明△DAH∽△CAB，可得，可得D在以为圆心，22为半径的圆上运动，结合△ABD的面积最大，可得【详解】解：如图，以AB为边向下作等腰直角三角形ABH，且∠ABH=90°，BH=AB=4，连接∴HAAB=2同理：DAAC=2∴HAAB=DA∴△DAH∴DHCB=AH∴，∴D在以为圆心，22为半径的圆上运动，∵△ABD∴D到AB的距离最大，∴当DB⊥AB即D，，B共线时最大，最大值为：BH+DH=4+22∴△ABD的面积最大面积为12故选：B．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆的确定，熟练的构建相似三角形得到D的运动轨迹是解本题的关键．3．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是⊙A上一动点，P是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是（

）

A．2 B．3 C．4 D．2【答案】C【分析】过点D作关于直线BC的对称点F，连接，交BC于点P，交⊙A于点E，此时PE+PD最小，等于，利用勾股定理计算即可．【详解】如图，过点D作关于直线BC的对称点F，

连接，交BC于点P，交⊙A于点E，此时PE+PD最小，等于，因为四边形ABCD是矩形，AB=CD=2，AD=BC=3，所以，∠ADF=90°，所以，所以AE+EF=5，所以EF=5-所以PE+PD的最小值为4，故选∶C．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最小值，熟练掌握矩形的性质，轴对称性质是解题的关键．4．左老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．

有以下结论：①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的；②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的；③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的；④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的；其中所有正确结论的序号是（

）A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④【答案】D【分析】分别在以上四种情况下以P为圆心，的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出后可得答案．【详解】解：如图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，故不唯一，故①错误，不符合题意，

；如图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，故唯一，故②正确，符合题意，

；如图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，故形状相同，故唯一，故③正确，符合题意，

；如图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，故唯一，故④正确，符合题意，

；综上所述，结论正确的是②③④，故选：D．【点睛】本题考查圆的基本性质，关键是确定以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线AM的交点个数．5．如图，在▱ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，∠DAB=60°，点P为AB上一点，过点C，D，P作⊙O，当点P从点A运动到点B时，点O运动路线的长为

【答案】5【分析】依题意，⊙O是△CDP的外接圆，结合四边形ABCD是平行四边形，得O2G=12DH，根据勾股定理以及中位线性质得O2G=12DH=3【详解】解：依题意，过点C，D，P作⊙O故当点P与点A重合时,此时点P为点P1，圆心为点O1，当点P与点B重合时,此时点P为点P2，圆心为点O2，过点

则EF是AD的垂直平分线，EF与AB相交于一点，为I，NM是CD的垂直平分线，NM与AB相交于一点，为G，EF与NM相交于一点，为O1因为四边形ABCD是平行四边形所以O2是▱ABCD的对角线的交点，MN⊥AB，那么四边形DHGM是矩形，DM=HG=12因为AB=12cm，AD=6cm，∠DAB=60°所以∠FIA=∠GIO1故AI=6cm，所以点O1是AB当点P从点A运动到点B时，点O运动路线的长为O1因为AB=12cm，AD=6cm，所以∠则AH=12那么O2G=故GI=AG因为∠GI则tan即O所以O故答案为：5【点睛】本题考查了三角形的外接圆，以及平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角函数，难度较大，综合性较强，三角形的外接圆是三边的垂直平分线的交点，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．6．如图，AB=4，O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以PB为边作等边三角形PBC（点P、B、C按逆时针方向排列），连接AC，则线段AC长的最大值为．

【答案】23+1【分析】以OB为边作等边△OBK，连接AK,CK,OP，证明△OBP≌△CBK，可得CK=OP=1，从而得到点C的运动轨迹是以点K为圆心，KC长为半径的的圆，再证得∠AKB=90°，可求出AK=23【详解】解：如图，以OB为边作等边△OBK，连接AK,CK,OP，则OB=BK=OK，

∵△PBC∴PB=BC,∠∴∠OBK=∴∠OBP=∴△PBO∴CK=OP=1，∴点C的运动轨迹是以点K为圆心，KC长为半径的圆，∵AB=4，O为AB的中点，∴OA=OK=OB=2，∴∠OAK=∵∠BOK=∴∠OAK=∴∠AKB=90∴AK=A∴线段AC长的最大值为23故答案为：2【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的基本性质，勾股定理等知识，根据题意得到点C的运动轨迹是以点K为圆心，KC长为半径的圆是解题的关键．7．定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点Px0，y0，满足y0=mx0+1，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：当m=2时，点-2,-2在函数的图像上，且满足-2=2×(1)在点A2，3，B-2,-3，C-3，(2)若函数y=-x2+bx存在唯一的“4倍点(3)若函数y=-x+2m+1的“m倍点”在以点0,10为圆心，半径长为2m的圆外，求m的所有值．【答案】(1)点A2，(2)b=0或8(3)1或2【分析】（1）由题意得m=1，再将三个点一一代入检验即可；（2）由题意得m=4，得到y=4x+4，由题意可得一元二次方程，再根据Δ=0（3）列方程，求得x,y的值，可得函数y=-x+2m+1的“m倍点”为1，2m，再利用勾股定理求得该点到点【详解】（1）解：当m=1时，点A，B，C都在函数y=6∵m∴点A2，3是函数y=6x∵m∴点B-2,-3不是函数y=6x的“1∵m∴点C-3，-2是函数y=6x综上，点A2，3和C-3，-2是函数故答案为：点A2，3（2）解：当m=4时，y=4x+4，∵函数y=-x2+bx存在唯一的∴4x+4=∴x∴Δ或8；（3）解：由题意可得y=-解得x=1y=2m∴函数y=-x+2m+1的“m倍点”为1，勾股定理求得该点到点0,10的距离为12由题意可得1整理得12解得m<101∵m为正整数，∴m=1或【点睛】本题主要考查了“新定义”，反比例函数与一次函数，一次函数与二元一次方程组的应用，二次函数与一元二次方程的判别式，两点间距离公式，不等式解集．准确理解“新定义”是解答关键．8．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC，OD分别与OA，OB重合，OA=OB=4,OC=OD=2，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC，（1）当OC∥AB时，旋转角α=___度；当OC⊥AB时旋转角α=____度．（2）发现：线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明．（3）应用：当A，C，D三点共线时，求BD的长．（4）拓展：P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的最大值_____与最小值________．【答案】（1）60或240；或150或330；（2）；理由见解析；（3）13+1或13-1；（4）6，【分析】（1）如图1中，易知当点D在线段AO和线段AO的延长线上时，OC∥AB，此时旋转角α=60°或240°；如图1-1所示，过点O作OH⊥AB于H，证明O、C、H三点共线，由等边三角形的性质得到∠AOH=30°，据此求出旋转角，当点C在线段上时，即点C在C（2）结论：．只要证明△AOC≌△（3）在图3、图4中，分别求出AH，（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，2为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于，直线交⊙O于C'、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值=6，PC的最小值【详解】解：（1）如图1中，

∵△ABC∴∠∴当点D在线段AO和线段AO的延长线上时，OC∥此时旋转角α=60°或240°如图1-1所示，过点O作OH⊥AB于∵OC⊥∴O、∵△AOB∴∠AOH=30∴此时α=∠当点C在线段上时，即点C在C'位置时，此时也满足OC∴此时α=150°

综上所述，α=150°或330°故答案为60或240；或150或330；（2）结论：，理由如下：如图2中，

由旋转的性质可知：∠COD=∴∠在△AOC和△BODOA=OB∠∴△∴AC=BD（3）①如图3中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于

在Rt△COH中，∵OC=2，∴CH=HD=1，OH=3在Rt△AOH中，∴BD=AC=CH+AH=1+②如图4中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于

同理可得AH=∴AC=BD=AH-综上所述，当A、C、D三点共线时，BD的长为13+1或13（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，2为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于，直线交⊙O于C'、C″，∵△AOB∴BH=1∴OH=O∵CP≥∴当O、C、P三点共线，且OP⊥AB时，∵CP≤∴CP≤∴当O在线段BC上，且点P与点B重合时，CP有最大值，最大值为OC+OB=6，综上所述，PC的最大值为6，PC的最小值为23故答案为：6；23

【点睛】本题考查主要圆与三角形综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题．压轴题型二圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1．如图，等腰三角形ABC的顶点是圆的n等分点，且腰AC，BC所对的劣弧（不包括A，B，C）上分别有3个n等分点，若等腰三角形ABC是钝角三角形．则n至少是（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【分析】本题主要考查了不等式的应用，弧、圆心角之间的关系，圆周角定理及圆内接四边形的性质，在优弧AB上取一点M，连接AM、BM、OA、OB，由弧，圆心角之间的关系得∠AOB=8n×360°=2880°1440°n，根据等腰三角形ABC是钝角三角形，得∠ACB>90°【详解】解：在优弧AB上取一点M，连接AM、BM、OA、OB，∵等腰三角形ABC的顶点是圆的n等分点，且腰AC，BC所对的劣弧（不包括A，B，C）上分别有3个n等分点，∴∠AOB=8n×360°=∴12∠∵四边形ACBM是⊙O∴1440°n∵等腰三角形ABC是钝角三角形，∴∠ACB>90°，即180°-解得n>16，∴n至少是17，故选∶C．2．如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将AC沿弦AC折叠交直径AB于点D，点E是AD的中点，连结OE，若OE的最小值为6-3，则AB的长为（A．10 B．11 C．23 D．【答案】C【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．连接CE，OC，由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时OE最小，设AC的弧度为x°，求出CE的弧度为90°，再设半径为r【详解】解：连接CE，OC，

由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时OE最小，即OE=6设AC的弧度为x°BC的弧度为：(180-x)，CD的弧度为：180-x由折叠得，CDA的弧度为x°AD的弧度为：x°-180∵点E为弧AD中点，DE的弧度为：2x-180CE的弧度为：180-x即CE所对圆心角为90°设半圆O的半径为r，∵OE=∴CE=r+∴解得：r=半径为2，故选：C．3．如图，半径为5的圆中有一个内接矩形ABCD，AB>BC，点M是ABC的中点，MN⊥AB于点N，若矩形ABCD的面积为30，则线段MN的长为(

)A．10 B．522 C． D．【答案】A【分析】本题主要考查圆与勾股定理的综合应用；连接AC，CM，BM，根据圆周角定理，结合已知条件易证得AC为⊙O的直径，∠AMC=∠ABC=90°，则AC=10，再根据弧、弦、圆心角的关系及等腰直角三角形的性质可求得∠ACM=∠CAM=45°，然后根据同弧所对的圆周角相等及勾股定理可得∠ABM=∠ACM=45°，AM2=50，设AB=x，BC=y，其中x>y，利用勾股定理及矩形面积公式列得方程，解方程求得AB，BC的长度，再结合MN⊥AB可证得MN=BN，则【详解】解：如图，连接AC，BM，∵四边形ABCD为矩形，∴∠∴AC为⊙O的直径，∠AMC=∵⊙O的半径为5，∴AC=10∵点M为ABC的中点，∴AM=CM∴∠ACM=∠CAM=45°，AM∴∠ABM=∠ACM=45°，AM设AB=x，BC=y，其中x>y，则x2解得：x=310y=10或x=10y=3即10，10，∵MN⊥AB，∠MBN=45∴∠∴MN=BN10-MN∵A∴(3解得：10或10，故选：A．4．已知钝角△ABC内接于⊙O，AB=BC，将△ABC沿AO所在直线翻折，得到△AB'C'，连接BB'、CC【答案】5511/【分析】延长AO交⊙O于F，设BB'、CC'交AF于N、E，连接OC，OB，设BB'=4x，CC'=3x，由翻折知AF是BB'、【详解】解：延长AO交⊙O于F，设BB'、CC'交AF于N、∵BB设BB由翻折知AF是BB∴BN=2x，3x2，∵AB=BC，∴，∴∠AOB=在△BON和△COM∠∴△BON≌△COM（AAS），∴CM=BN=2x，∴AC=2CM=4x，∵∠AMO=∠AEC，∠OAM=∴△AMO∴，∴OM=，在Rt△AOM中，由勾股定理得，2x2解得r=，∴BM=，∴BMAM=故答案为：5511【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，运用相似三角形的性质表示出OM=是解题的关键，综合性较强，属于中考压轴题．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，点D、E分别在边BC、AB上，且DE⊥BC，，将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，点D、E分别对应点D1、E1，当A、D【答案】2或4/4或2【分析】分点D1在线段AE1上和点D1在线段AE1的延长线上，两种情况讨论，由矩形的性质和圆的性质，全等三角形的性质即可可求解．【详解】解：如图1，当点D1在线段AE1上，

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝4，BC＝2，∵将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，∴D1B＝DB＝2，∠BD1E1＝90°，∴AD1=A∴AD1＝BC，且AC＝BD1，∴四边形ACBD1是平行四边形，且∠ACB＝90°，∴四边形ACBD1是矩形，∴CD1＝AB＝4；如图2，当点D1在线段AE1的延长线上，∵∠ACB＝∠AD1B＝90°，∴点A，点B，点D1，点C四点共圆，∴∠AD1C＝∠ABC＝30°，∵AC＝BD1，AB＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△BAD1（HL）∴∠D1AB＝∠ABC＝30°，且∠BAC＝60°，∴∠CAD1＝30°＝∠AD1C，∴AC＝CD1＝2．

综上所述：CD1＝2或4．故答案为：2或4【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，圆的性质等知识，综合性较强，利用分类讨论解决问题是本题的关键．6．如图，在四边形ABCD中，，CD=3，∠ABC=∠ADC=90°，E为BD上一点，且∠AEC=135°，则AE=．【答案】10【分析】勾股定理求得，将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，则AD=CF，证明点E在⊙B上，则BE=BA=522，过点A作AT⊥BE于点T，勾股定理求得AT，进而在【详解】解：∵，CD=3，∠ABC=∴AC=2AB=5，如图所示，将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，则AD=CF，∴△BDF∴DF=DC+CF=DC+AD=3+4=7，∴BD=7以B为圆心，522为半径，在圆上取一点G，则∵∠AEC=135∴∠∴点E在⊙B∴BE=BA=又∵∠ABC=∠ADC=90°，则四边形ABCD共圆，∴∠ADB=过点A作AT⊥BE于点T，∴△ATD∴AT=TD=∴BT=BD∴TE=BE在Rt△AE=A故答案为：10．【点睛】本题考查了旋转的性质，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7．如图1，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD相交于E点，连OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+

(1)求证：AC(2)如图2，若∠ADC=90°，延长DA，CB相交于F点，DC=6，DF=8，求DB的长．【答案】(1)证明见解析；(2)125【分析】（1）根据圆周角定理易证明∠DCA+∠BDC=90°，得到∠CED=90°，即可求证AC⊥（2）由勾股定理得到FC=CD2+DF2=10，由∠ADC=90°，得到AC为直径，又有AC⊥BD得到BC=DC=6，DB=2BE，BF=4本题考查了圆的内接四边形问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵∠DCA=12∠AOD，∠BDC=∴∠DCA+∴∠CED=90∴AC⊥（2）∵∠ADC=90°，DC=6，DF=8，∴FC=CD2∴∠ABC=90∴∠ABF=90∵AC⊥∴BC=DC=6，DB=2BE，∴BF=4，∵∠ABF=∠ADC=90°，∠F=∴△ABF∴ABCD∴AB=3，∵AC⊥∴∠ABE=∴△ABE∴AEBE∴BE=2AE，∵BE∴BE=6∴DB=2BE=128．【特例感知】

（1）如图①，AB是⊙O的直径，∠BAC是⊙O的圆周角，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接CD、BD．已知BD=3，∠BAD=30°，则∠BDC的度数为°，点D到直线AC的距离为【类比迁移】（2）如图②，∠BAC是⊙O的圆周角，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DM⊥AB，垂足为M，探索线段AB、【问题解决】（3）图③，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BAD=90°，AC平分∠BAD，AB=5，AD+AC=15，求线段【答案】（1）120；332；（2）AB+AC=2AM，详见解析；（3）2【分析】（1）利用角平分线的定义得出，再利用圆的内接四边形的性质即可求得∠BDC=120°，利用直径所对的圆周角是90°，继而求出∠ABD=60°，∠ACD=120°，再证明∠ADC=∠DAC=∠BAD，利用相等的圆周角所对的弦相等得出AC=CD=BD=3，过点D作DE⊥AC于点E，利用含30°的直角三角形的性质即可得解；（2）连接BD，CD，作DN⊥AC交AC的延长线于点N，证明△DCN≌△DBMAAS得到CN=BM，再证明Rt△ADN（3）作CG⊥AD于点G，CH⊥AB交AB的延长线于点H，证明△CGD≌△CHBAAS得到DG=BH，设DG=BH=x，再证明四边形AGCH是正方形，从而得到AG=AH=CG，从而得到CG=AG=AH=5+x，AD=5+2x，AC=10-2x，再利用AG2【详解】（1）∵AD平分∠BAC，∠∴∠BAC=2∠BAD=60°，∠∴∠BDC=180∵AB为直径，∴∠ADB=90∴∠ABD=90∴∠ACD=180∴∠ADC=180∴∠ADC=∴AC=CD=BD=3，过点D作DE⊥AC于点E，则∠DCE=60°，∠CDE=30则有12CD=∴DE=CD2-CE2=

故答案为：120；33（2）AB+AC=2AM，理由如下：如图②，连接BD，CD，作DN⊥AC交AC的延长线于点

∵AD平分∠BAC，DM⊥∴DN=DM，∵∠DCN+∠ACD=180°，∠B+∴∠DCN=∵，∴△DCN∴CN=BM，∵∠N=∠AMD=90°，AD=AD，∴Rt△∴，∴AB+AC=AM+BM+AC=AM+CN+AC=AM+AN=2AM，（3）如图③，作CG⊥AD于点G，CH⊥AB交AB的延长线于点H，

∵AC平分∠BAD∴CG=CH，∵∠D+∠ABC=180°，∠CBH+∴∠D=∵∠CGD=∴△CGD∴DG=BH，设DG=BH=x，∵∠BAD=∴四边形AGCH是矩形，∵CG=CH，∴四边形AGCH是正方形，∴AG=AH=CG，∵AB=5，AD+AC=15，∴CG=AG=AH=5+x，AD=AG+x=AH+x=5+2x，∴AC=15-∵AG∴5+x2解得x1=15-102，x2=15+10∴AC=10-2×(15-102∴线段AC的长为202【点睛】本题考查圆的综合，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，一元二次方程的解法等知识，灵活运用圆的性质和利用角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键．压轴题型三垂径定理1．如图，在扇形OAB中，点D在OA上，点C在AB上，∠AOB=∠BCD=90°．若CD=3，BC=4，则⊙O的半径为A．4 B．4.8 C．5 D．2【答案】C【分析】过点O作OE⊥BC与E，连接BD交OE与点F，连接CF，利用勾股定理求出BD，再证明点F是BD的中点，利用中位线定理和直角三角形的中线的性质分别求出EF和OF，从而得到OE，最后用勾股定理求OB即可．【详解】解：过点O作OE⊥BC与E，连接BD交OE与点F，连接CF，∵∠BCD=90°，CD=3，∴BD=C∵OE⊥∴OE垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠FBC=又∵∠BCD=90∴∠FBC+∴∠FDC=∴CF=DF=BF，∴F是BD的中点，∴OF=1又∵OE垂直平分BC，∴EF=12∴OE=OF+EF=5∴OB=O即⊙O的半径为25故选：C．【点睛】本题考查垂径定理，垂直平分线的性质，直角三角形中线的性质，中位线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，综合性较大，利用垂径定理构造辅助线和证明点F是BD的中点是解题的关键．2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD=90°,AB=AD=42，E为AC上一点，且ED⊥CD，则的最小值为（A．22-2 B．25-2 C．【答案】D【分析】连接BD，得到△ABD为等腰直角三角形，得到∠ABD=45°，圆周角定理，得到∠ACD=45°，进而得到∠DEC=45°，推出∠AED=135°，根据∠AED为定角，得到点E的轨迹为三角形ADE外接圆F上一点，进而得到当点B,E,F三点共线时，的长度最短，为BF-EF【详解】解：连接BD，∵∠BAD=90∴∠ABD=45∴∠ACD=∵ED⊥∴∠DEC=45∴∠AED=135∴点E的轨迹为三角形ADE外接圆F上一点，∴FA=FD=FE，∵∠AED=135∴∠AFD=360∴∠过点F作FG⊥AD，则：AG=1∵∠DAF=45∴GF=22∴FE=4，过点F作FH⊥AB于点，则四边形为矩形，∴AH=FG=22∴BH=AB+AH=62∴BF=B∵BE≥∴当点B,E,F三点共线时，的长度最短，为45-故选D．【点睛】本题考查求线段的最小值．解题的关键是确定点E的轨迹，利用“一箭穿心”，求解即可．本题的综合性强，难度大，属于常见的压轴题．3．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，且AB=AC，∠BAC=120°，D为弦BC的中点，弦EF经过点D，且EF∥AB．若⊙O的半径为2，则弦EF的长是（

）

A．35 B．213 C．13 D【答案】C【分析】连接OA，OB，OC，OF，作OH⊥EF于点，由圆心角、弧、弦关系可得∠AOB=∠AOC，由等腰三角形三线合一的性质可知OA经过点D，OA垂直平分BC，在△OAB中利用等边三角形的判定和性质求得OD，由平行线的性质求得△ODH是含30°角的直角三角形，然后求得，在Rt△OFH中由勾股定理求得HF后再由垂径定理可得EF=2HF；【详解】解：如下图，连接OA，OB，OC，OF，作OH⊥EF于点，

∵AB=AC，∴AB=AC，∴∠AOB=由OB=OC可知△OBC由等腰三角形三线合一的性质可知OA⊥BC，OA过边BC的中点，∴OA经过点D，∴OA垂直平分BC，∵△ABC∴由等腰三角形三线合一的性质可知∠OAB=∴△OAB∵OA⊥∴由等腰三角形三线合一的性质可知OD=1∵EF∥∴∠ODH=∴Rt△ODH中∴DH=1∴OH=ORt△OFH中由勾股定理可得由垂径定理可知HF=HE，∴EF=2HF=13故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦关系，勾股定理，垂径定理等知识；综合性较强，正确作出辅助线是解题关键．4．如图，⊙O的半径为2，点C是半圆AB的中点，点D是BC的一个三等分点（靠近点B），点P是直径AB上的动点，则CP+DP的最小值．

【答案】2【分析】如图，作点D关于直径AB的对称点D'，根据圆的对称性可知点D'在圆上，连接CD'，CD'交直径AB于点P，此时CP+DP的最小值是D'C的长，根据弧的度数等于它所对圆心角的度数可知∠BOC=90°，∠BOD=30°，根据对称的性质可得∠BOD'=∠BOD=30°【详解】解：如图，作点D关于直径AB的对称点D'，则点D'在圆上，连接CD'，CD∴CP+DP=CP+D'P=D'∵点C是半圆AB的中点，⊙O的半径为2，∴BC等于半圆AB的一半，∴∠BOC=90∵点D是BC的一个三等分点（靠近点B），∴BD等于BC的，∴∠BOD=∵点D与点D'关于直径AB∴∠BO∴∠COD=90∴OD⊥CD'，∴D'∵OC=OD∴∠C=∴OM=1∴CM=O∴D'即CP+DP的最小值是23故答案为：23

【点睛】本题考查对称的性质，弧的度数和圆心角的关系，垂径定理及推论，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，30°5如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为2，将劣弧AC沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若∠ACB=60°，则弦AC的长为．

【答案】6217【分析】设折叠后的AC所在圆的圆心为O'，连接O'A，O'D，OA，OB，过点O作于点E，解直角三角形得出AB=23，根据与⊙O为等圆，得出OA=O'A，OB=OD，∠AOB=∠AO'D，证明△AOB≌△AO'D，得出AB=AD=23，过A作【详解】解：设折叠后的AC所在圆的圆心为O'，连接O'A，O'D，OA，OB，过点O

∵，∴AE=BE=1∵∠ACB=60∴∠AO'D=2∠ACB=120°∴∠AOE=∴AE=AO×∴AB=23又∵与⊙O为等圆，∴OA=O'A，OB=OD∴△AOB∴AB=AD=23过A作AH⊥BC于设BH=HD=x，则CD=2x，CH=3x，∵∠ACB=60∴在Rt△ACH中，AC=CH∵，∴x2解得：x=21∴AC=6【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂径定理，解题的关键是作出辅助线，数形结合，根据勾股定理建立方程．6．如图，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．【答案】2【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，由Rt△ADB为等腰直角三角形，则AD=BD=4，即此时圆的直径为4，再根据圆周角定理可得到∠EOH=60°，则在Rt△EOH中，可得EH=32OE=34【详解】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，

如图，连接OE，OF，过O点作在Rt△ADB中，∠ABC=45∴AD=BD=4，即此时圆的直径最小为4，∵，由等腰三角形的性质可得：∠EOH=由垂径定理可得：EF=2EH，∴∠EOH=60在Rt△EOH中，∠EOH=60∴∠OEH=30°，OH=∴EH=O∵EF=2EH∴AD最小时，EH最小，也就是EF最小，∵AD=BD=4∴，EH=32∴EF=2EH=23，即EF最小为2故答案为23【点睛】本题考查垂径定理、垂线段最短，勾股定理以及含30°7．如图（1），BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，DB∥OA，BC=10，AC=6．(1)求证：BA平分∠DBC(2)求DB的长；(3)如图（2），E是半圆CB的中点，连接AE，求AE的长．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)AE=72【分析】（1）利用平行线的性质得∠ABD=∠OAB，又∠OAB=∠OBA，则∠OBA=（2）作AH⊥BC于，OE⊥BD于E，则BE=DE，利用勾股定理计算出AB=8，再利用面积法得到AH=245，再利用勾股定理计算出OH=75，然后证明△AOH≅△OBEAAS，得到（3）作CF⊥AE于F，连接CE、，证明△CBE为等腰直角三角形得到CE=22BC=52，利用△ACF为等腰直角三角形得到CF=AF=【详解】（1）证明:∵OA∥∴∠ABD=∵OA=OB，∴∠OAB=∴∠OBA=∴BA平分∠DBC（2）作AH⊥BC于，OE⊥BD于E，如图，则BE=DE，∵BC为直径，∴∠CAB=90∴AB=B∵12∴AH=6在Rt△OAH中，∵OA∥∴∠AOH=在△AOH和△OBE∠AHO=∴△AOH∴BE=OH=7∴BD=2BE=14（3）作CF⊥AE于F，连接CE、，如图，∵E是半圆CB的中点，∴CE=BE，∠CAE=∴△CBE∴CE=2在Rt△ACF中，在Rt△EFC中，∴AE=AF+EF=32【点睛】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角是直角、平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练灵活运用相关知识是解题的关键．8．如图1，点E是⊙O直径AB上一点，AE=2，BE=8，过点E作弦CD⊥AB，点G在BD上运动，连接．

(1)求CD的长．(2)如图2，连接AG，作∠DCG的角平分线交AG于点F，在点G运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值．(3)如图3，过点B作BH⊥CG于，连接DH，求DH的最小值．【答案】(1)8(2)的长度不发生变化；AF=25(3)2【分析】（1）连接OD，根据AE=2，BE=8，确定圆的半径为5，结合CD⊥AB，根据垂径定理，得到ED=OD2（2）连接AD,AC，根据垂径定理，得到AD=AC=AE2（3）根据题意，点H的运动轨迹是以BC为直径的⊙N上的BE，当D、H、N三点共线时，DH取得最小值，计算即可．【详解】（1）如图，连接OD，∵AE=2，BE=8，∴AB=10，∴圆的半径为5，

∵CD⊥∴ED=O∴CD=2ED=8．（2）的长度不发生变化；AF=25．理由如下：如图，连接AD,AC，

∵⊙O直径AB，AE=2，BE=8，弦CD⊥AB，ED=4，∴AD=AC=A∴∠ADC=∵∠DCG的角平分线交AG于点F，∴∠FCD=∵∠ACF=∠ACD+∠FCD，∠AFC=∴∠ACF=∴AC=AF，∴AF=25故的长度不发生变化；AF=25．（3）如图，连接BC，∵BH⊥

∴点H的运动轨迹是以BC为直径的⊙N上的BE，当D、H、N三点共线时，DH取得最小值，连接DN，交BE于点M，故当H与M重合时，DH取得最小值，∵EC=4，BE=8，CD⊥∴BC=B∴NM=25过点N作FN⊥CA于点则FN∥∴CNNB∵CN=NB，∴CF=FE=12EC=2，NF=∴DN=D∴DM=DN-故DH最小值为213【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形外角性质，直角所对的弦是直径，点圆最值，中位线定理，熟练掌握垂径定理，圆的最值性质是解题的关键．压轴题型四直线与圆的位置关系1．如图，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，连接OD，OC，下结论错误的是（

）

A．AD+BC=CD B．∠C．S梯形ABCD=CD⋅OA【答案】D【分析】此题考查了圆的切线的性质、切线长定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形的面积计算等知识与方法，连接OE，由AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理得AD=DE，BC=CE，则AD+BC=DE+CE=CD，可判断A正确；由AB是⊙O的直径得AD⊥AB，BC⊥AB，则AD∥BC，于是有∠ADC+∠BCD=180°，由切线长定理得∠ODC=12∠ADC，∠OCD=12∠BCD，则∠ODC+∠OCD=90°，因此∠DOC=90°，可判断B正确；根据“HL”可分别证明Rt△OED≌Rt△OAD，Rt△OEC≌【详解】解：如图，连接OE，

∵AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切∴AD=DE，BC=CE，∴AD+BC=DE+CE=CD，故A正确；∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥AB，BC⊥∴AD∥∴∠ADC+∠∵∠ODC=∠ODA=12∠ADC，∴∠ODC+∴∠DOC=90°，故B正确；∵OE是⊙O∴CD⊥∴∠OED=∠OAD=90°，∠OEC=在Rt△OED和Rt△∴Rt△在Rt△OEC和Rt△∴Rt△∴S△∵S△∴S梯形ABCD=2S△DOC∵∠DEO=∠DOC=90°，∠EDO=∴△DEO∴ODCD∴OD2=DE·CD故选：D．2．在平面直角坐标系xOy中，点A-2,0，B2,0，若在直线y=x+m上存在点P满足，则mA．-6≤m≤6 B．-C．-2-22≤m≤2+22【答案】A【分析】本题主要考查圆周角与圆心角的关系，直线与圆相切的时候m取得最值点，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据题意等腰直角三角形ABE，分两种情况进行讨论，当E在AB上方时，以E为圆心，EA为半径作圆⊙E，设直线y=x+m与⊙E相切，切点为P，此时m的值最大，求出此时m的值，同理当E在AB下方时求出m的值，即可得出答案．【详解】解：如图，作等腰直角三角形ABE，

∵A-2,0，B∴OA=OB=2，AB=4，∴E在y轴上，当E在AB上方时，以E为圆心，EA为半径作圆⊙E，此时⊙E上存在点满足，设直线y=x+m与⊙E相切，切点为P，此时m设直线y=x+m与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接EP，则EP⊥CD，直线y=x+m，，△ABE是等腰直角三角形，，AE=22，∴EP=2由直线y=x+m可知OD=OC=m，∴∠∴DE=∴m=4+2=6当E在AB下方时，同理得m=-

∴m的取值范围是-6故选：A．3．如图，点O在线段AB上，OA=2，OB=6，以O为圆心，OA为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接，以为一边作等边△MBC，连接AC，则AC长度的最小值为（）

A．213+2 B．213-2 C．【答案】B【分析】以OB为边，在OB的上面作等边△OBP，使OB=BP=OP=6，∠OBP=60°，连接OP，PC，OM，根据全等三家巷的性质得到OM=PC=2，连接AP并延长，交⊙P于点C'，则AC的最小值为AC'，过P作PH【详解】解：如图，以OB为边，在OB的上面作等边△OBP，使OB=BP=OP=6，∠OBP=60°，连接OP，PC，OM，

，∵∠MBC=∴∠在△OBM和△CBP中，BM=BC∴△∴OM=PC=2∴点C的运动轨迹为以点P为圆心，2为半径的圆，连接AP并延长，交⊙P于点C'，则AC的最小值为AC'，过P作PH∴PH=32PB=3∵AH=AB∴AP=∴A∴AC'长度的最小值为故选：B．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．4．如图，点A是⊙O上一定点，点B是⊙O上一动点、连接OA、OB、AB、分别将线段AO、AB绕点A顺时针旋转60°到AA'，AB'，连接OA'，①点A'在⊙O上；②；③∠BB'A'=12∠BOA

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】可证得△AOA'和△ABB'是等边三角形，可推出OA'=OA，从而得出①正确；根据“边角边”可证得②；根据②可推出A'B'=OB=A【详解】解：∵OA=AA'，∴△同理可得，△AB①∵△AO∴O∴点A'在⊙O上，故∵∠∴∠在△OAB和△A'∴△OAB≌△③由②知，△OAB∴A∵OB=OA=A∴A∴∠∵△∴∠∴∠∵∠∴∠BB④如图，

过点O作OC⊥AB∵△∴∠，B'A=∴B'O∴∠O∴O∵O∴OC和OA重合，∴OA∴AB'是⊙O综上所述：①②③④均正确，故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解决问题的关键是作出辅助线，熟练掌握运用有关基础知识．5．如图，∠ACB=60°，半径为1的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是．【答案】3【分析】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；设半径为1的⊙O与角的两边相切于M，N，连接OM，ON，延长NO交CB于D，求得∠CND=∠OMD=90°，根据直角三角形的性质得到∠CDN=30°，求得OD，得到33DN，如图1，延长EP交BC于Q，推出△ECQ与△PFQ是直角三角形，根据直角三角形的性质得到CE=EQ，PQ=2PF，求得t=PE+2PF=PE+PQ=EQ，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，连接OP，则四边形ENOP是正方形，根据正方形的性质得到EN=OP=1，求得t；如图2，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的，左侧时，t有最小值，同理可得t,【详解】解：设半径为1的⊙O与角的两边相切于M，N，如图1，连接OM，ON，延长NO交CB于D，∴∠CND=∵∠∴△∴∠∵ON=OM=1∴OD=2∴DN=OD+ON=2+1=333DN=，如图1，延长EP交BC于Q，∵EQ⊥AC，PF⊥∴∠∵∠∴∠∴△ECQ与△PFQ∴CE=EQ，PQ=2PF，∴t=PE+2PF=PE+PQ=EQ当EQ与⊙O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，连接OP，则四边形ENOP是正方形，∴EN=OP=1，CN=CM=，∴t=PE+2PF=PE+PQ=EQ=CE=CN+EN=(+1)=3+；如图2，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的左侧时，t有最小值，同理可得t=PE+2PF=PE+PQ=EQ=CE=CN-EN=(-1)=3-；故t的取值范围是3-故答案为：3-6．已知，点A1,0，点B0,1，直线l经过点B且垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，的角平分线与直线l交于点Q，则△OPQ的形状一定是；当点P运动至某一位置时，△OPQ的外接圆⊙M与一条坐标轴相切，则所有符合情况的点P的坐标为【答案】等腰三角形-33【分析】（1）根据直线轴，得出直线l∥x轴，求出∠PQO=∠AOQ，根据角平分线的定义得出∠POQ=∠AOQ，说明∠PQO=∠（2）分两种情况讨论：当⊙M与x轴相切时，点M在y轴上，当⊙M与y轴相切时，则点M在x【详解】解：（1）直线轴，∴直线l∥∴∠PQO=∴平分，∴∠POQ=∴∠PQO=∴△OPQ故答案为：等腰三角形；（2）∵△OPQ的外接圆⊙M∴有以下两种情况：当⊙M与x轴相切时，点P在第二象限，点Q在第一象限，连接NQ，∵OB⊥∴点M在OB上，切点为O，如图所示：∵∠AOB=90∴∠AOQ+∵ON为直径，∴∠OQN=90∴∠NOQ+∴∠AOQ=∵OQ=∴∠ONQ=∴∠OPQ=∵∠PQO=∴∠OPQ=∴△POQ∴∠POQ=60∵直线轴，∴OB平分∠POQ∴∠POB=30在Rt△AOB中，∵点B的坐标为，∴OB=1，∴PB=OB⋅∵点P在第二象限，∴点P的坐标为-3当⊙M与y轴相切时，则点M在x轴上，切点为O，此时点P，Q都在第一象限，连接PN，如图所示：∵∠AOB=90∴∠POB+∵ON为直径，∴∠OPN=90∴∠NOP+∴∠POB=∵OP=∴∠ONP=∴∠POB=∵∠PQO=∴∠POB=在Rt△POB中，∴PB=OB⋅∵点P在第一象限，∴点P的坐标为：33综上分析可知，⊙M与一条坐标轴相切，则点P的坐标为：-33,1故答案为：-33,1【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关的性质，灵活运用锐角三角函数解直角三角形，注意分类讨论，数形结合．7．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x-2与坐标轴分别交与A、C两点，⊙B与x轴相切于点M，连接AB(1)∠CAO的度数是(2)若直线l以每秒的速度绕点A顺时针旋转t秒(0<t<12)，当直线l与⊙B有公共点时，t的取值范围是．(3)在（2）的条件下，直线与⊙B有公共点的条件下，若⊙B在直线l上截得的弦的中点为N．试判断∠ANM【答案】(1)45(2)3(3)不变，60【分析】（1）先求出A2,0，C0,-2，可得∠（2）当直线l旋转n度后，与x轴重合，同⊙B相切于M点，可得t=3；当直线l旋转n度后，与⊙B相切于点D，连接BA，BD，BM，可得∠DAB=∠MAB，由A2,0，B-4,23，可得∠DAM=60（3）连接BN、、，由N是EF的中点，可得，取AB的中点G，连接NG、MG，证明A、M、B、N在以G为圆心的圆上，可得∠ANM=60°．【详解】（1）解：由直线l：y=x-2当x=0时，y=-当y=0时，x-2=0，则，∴A2,0，C∴OA=OC，∵OA⊥OC∴∠CAO=45（2）当直线l旋转n度后，与x轴重合，同⊙B相切于M点，此时t=45°÷15当直线l旋转n度后，与⊙B相切于点D，如图，连接BA，BD，BM，∵AD、AM与⊙B相切于点D、M，∴∠DAB=∠∵∠MAB=30°∴∠DAM=60∴n=∠DAM+∴t=105°÷15由图可知，当3≤t≤7时，直线与⊙B（3）∠ANM的度数不会发生变化，理由如下：连接BN，∵N是EF的中点，∴BN⊥EF，，∵∠ANB=∴A、M、B、N四点共圆，∴∠ANM=∠由（2）知：∠ABM=90°-∴∠ANM=60【点睛】本题考查圆的综合应用，一次函数，等腰直角三角形，圆的切线判定与性质，旋转的性质；解题的关键是掌握圆的相关性质并能熟练应用．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,-5)，以原点O为圆心，3为半径作圆．P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴负半轴运动，运动时间为t(s)．连结AP，将沿AP翻折，得到ΔAPQ．求ΔAPQ有一边所在直线与⊙O相切时直线AP的解析式．

【答案】y=-3x-5或y=-43x-5或【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了翻折变换，圆的性质以及切线的性质等知识，综合性强，运用分类思想是解题的关键.分别从以下四种情况进行求解：①当AQ与⊙O相切时，先过点O作OB⊥AQ交AQ于点B，过点P作PC⊥OB交OB于C，利用翻折和勾股定理即可求得结论；②当AP与⊙O相切时，过点O作OB⊥AP交AP于点B，利用勾股定理求出OP，则可求解；③当PQ所在的直线与⊙O相切时，过点O作OB⊥PQ交PQ于点B，过点O作OC⊥AQ交AQ于，由勾股定理分别求出CO和OP即可得解；④当AQ的延长线与⊙O相切时，过点O作OB⊥AQ交PQ于点B，过点O作OC⊥PQ交PQ于C，再利用勾股定理求出OP即可求出直线AP的解析式.【详解】①如图1，过点O作OB⊥AQ交AQ于点B，过点P作PC⊥OB交OB于C，

在RtΔOAB中，OA=5，OB=3，∴AB=4∵沿AP翻折，得到ΔAPQ，∴AQ=AO=5，BQ=1，设OP=QP=x在RtΔOPC，PC=1，OP=x，OC=3∴∴x=∴直线AP：y=-②如图2，过点O作OB⊥AP交AP于点B，

设PB=x，则OP=x在RtΔAPO中，OA=5，AP=x+4，∴∴x=94∴直线AP：y=-③如图3，过点O作OB⊥PQ交于点B，过点O作OC⊥AQ交AQ于C，

在中，OA=5，AC=2，∴CO=设OP=QP=x，在RtΔOPB中，OB=3，BP=21∴3∴x=∴直线AP：y=-④过点O作OB⊥AQ交于点B，过点O作OC⊥PQ交于C，

设OP=QP=x，在RtΔOPC中，OC=9，PC=x-3，OP=x，∴9∴x=15∴直线AP：y=-综上所述，直线AP的解析式为y=-3x-5或y=-43x-5或y=-压轴题型五圆与圆的位置关系1．⊙M和⊙O外切于点和⊙O的半径分别为1和2，直线TPQ与⊙M相切于点T，与⊙O相交于P,Q，则的值为（

）

A．33 B．63 C．22【答案】B【分析】连接OM，MT，TC，作直径QH，连接CH，延长QC交圆M于点G，连接MG，TG，作PD∥TC，交QC于点D，得出，即CQ-CPPQ【详解】解：连接OM，MT，TC，作直径QH，连接CH，延长QC交圆M于点G，连接MG，TG，作PD∥TC由圆内接四边形和半径相等得，∠TPC=∵QH是直径，∴∠QCH=9∴∠QCO=∴∠QMC=18∵∠QMC=2∴∠TPC=∵直线TPQ与⊙M相切于点T，∴∠MTC=∴∠∵∠TMC=2∴∠PTC=∴∠TCP=∵PD∥∴∠TCP=∠CPD，∠PDC=∴∠PDC=∴，∴CQ-∵PD∥∴QCQT∵∠PTC=∠TGC，∠TQC=∴△QTC∴QCQT=QT∵∠QCO=∴△MGC∴GCQC∴QT∴QT=6G∴CQ-故选：B．

【点睛】本题考查了圆的综合与相似三角形的判定与性质，解题关键是根据题意作出辅助线，熟练运用圆的切线性质和相似三角形的判定进行推理求解．2．如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，BC=63，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α0°<α≤360°，B、C的对应点分别为B'、C'，在旋转的过程中边所在直线与⊙A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先以A为圆心，以BC边的中线为半径画圆，可得⊙A的半径为3，计算出OA的长度，可知⊙O与⊙A相切，根据两个相切圆的性质，即可得到答案．【详解】解：如图：作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆∵AC、AB所在的直线与⊙O相切，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ∴AO平分∠PAQ∵∠CAB=120°∴∠PAO=30°∵OP=3∴A