30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数 同步练习

第三十章二次函数30.3由不共线三点的坐标确定二次函数基础过关全练知识点用待定系数法求二次函数的表达式1.已知三点(-1，6)、(0，3)、(1，2)，由这三点所确定的二次函数表达式是()A.y=2x2+3x-1 B.y=x2+4x C.y=x2-2x+3 D.y=2x2+4x+32.如图，抛物线的表达式是()A.y=x2-x+2 B.y=x2+x+2 C.y=-x2-x+2 D.y=-x2+x+23.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的x，y的部分对应值如下表所示，则下列判断不正确的是()x-2-1012y-2.501.521.5A.当x<0时，y随x的增大而增大 B.当x=4时，y=-2C.其图像的顶点坐标为(1，2) D.a=-12，c=4.如图，抛物线C1：y=-x2+3x+4与抛物线C2：y=ax2+bx+c组成一个开口向下的“月牙”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A，B(点B在点A右侧)，与y轴的交点分别为C，D.如果AD=2OD，那么抛物线C2的表达式是能力提升全练5.(2023广东中考)如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为()A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 6.(2023广东汕头一模)抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(-1，0)，B(3，0)两点，交y轴的负半轴于C点，顶点为D点.有下列结论：①2a+b<0；②2c>3b；③3a+2b+c>0；④当△ABD是等边三角形时，抛物线解析式为y=32x2-3x-332A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.(2023浙江杭州中考)设二次函数y=ax2+bx+1(a≠0，b是实数).已知函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示：x…-10123…y…m1n1p…(1)若m=4，①求二次函数的表达式；②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小；(2)若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围.8.(2023河北石家庄桥西质检)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线P：y=-x2+bx+c与x轴相交于A(-3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，3).(1)求抛物线P的解析式；(2)如图2，抛物线P的顶点为D，连接DA，DC，AC，BC，求证：△ACD∽△COB；(3)如图3，坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出抛物线P的一段记为P'，将该胶片向下平移h(h≠0)个单位长度，使抛物线P'与△OAC三条边有两个交点，请直接写出h的取值范围. 素养探究全练9.(2022湖南衡阳中考)如图，已知抛物线y=x2-x-2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图像记为“图像W”，图像W交y轴于点C.(1)写出图像W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y=-x+b与图像W有三个交点，请结合图像，直接写出b值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图像W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

第三十章二次函数30.3由不共线三点的坐标确定二次函数答案全解全析基础过关全练1.C把点(-1，6)、(0，3)、(1，2)的坐标代入y=ax2+bx+c(a≠0)，得a-b+c=6,c=3,方法解读已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤如下：①设函数表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)；②三点坐标代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a，b，c的值；④写出函数表达式.2.D解法一：根据题意，设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，抛物线过点(-1，0)，(0，2)，(2，0)，所以a-b所以这个抛物线的表达式为y=-x2+x+2.解法二：根据题意，设抛物线的表达式为y=a(x+1)·(x-2)(a≠0)，把(0，2)代入上式，得2=a(0+1)·(0-2)，解得a=-1，所以这个抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-2)=-x2+x+2.故选D.3.B把x=−1,y=0,x=0,y∴二次函数y=ax2+bx+c的解析式为y=-12x2+x+32=-12(x-1)∴其图像的顶点坐标为(1，2)，选项C、D正确，不符合题意；∵a=-12，∴函数图像开口向下，∴x<1时，y随x的增大而增大，∴x<0时，y随x的增大而增大，选项A正确，不符合题意当x=4时，y=-12×(4-1)2+2=-2.5，选项B不正确，4.y=-14x2+3解析令-x2+3x+4=0，解得x1=-1，x2=4，∴A(-1，0)，B(4，0)，∴OA=1.在Rt△ADO中，∵AD=2OD，∴OD=OA=1，解法一：将A(-1，0)，B(4，0)两点的坐标代入抛物线C2的表达式y=ax2+bx+1中，得a-b+1=0,16a+4b+1=0,解得a=−解法二：由抛物线C2过x轴上A，B两点，设抛物线C2的另一个表达式为y=a(x+1)(x-4)=ax2-3ax-4a，∴-4a=c=1，∴a=-14，∴抛物线C2的表达式是y=-14x2+能力提升全练5.B本题综合考查了正方形的性质和求抛物线的系数.连接AC，交y轴于点D，如图所示：当x=0时，y=c，即OB=c，∵四边形OABC是正方形，∴AC=OB=2AD=2OD=c，AC⊥OB，∴Ac2,c2，∴c2=a×c24+c(*).由图可知a<0，6.A本题结论④结合解直角三角形求点的坐标，将坐标代入解析式，结合a，b，c的关系求抛物线解析式.∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是A(-1，0)，B(3，0)，∴抛物线的对称轴为直线x=-1+32=1∴-b2a=1，∴b=-2a，即2a+b=0，∵A(-1，0)在抛物线上，∴a-b+c=0，∴a-(-2a)+c=0，∴c=-3a，∴2c=-6a=3b，故②错误；3a+2b+c=3a+2(-2a)+(-3a)=-4a，∵抛物线开口向上，∴a>0，∴3a+2b+c=-4a<0，故③错误；当△ABD是等边三角形时，如图，过D点作DH⊥x轴于H点，则∠HBD=60°，又∵HB=AH=2，∴H(1，0)，HD=HB·tan∠HBD=2×tan60°=23，∴D(1，-23).将D点坐标代入二次函数解析式，得a+b+c=-23，又b=-2a，c=-3a，∴a+(-2a)+(-3a)=-23，∴a=32，∴b=-3，c=-332，∴抛物线解析式为y=32x2-3x-332，故④正确.综上所述7.解析(1)①把(-1，4)，(2，1)代入y=ax2+bx+1，得a-b∴y=x2-2x+1.②∵点(0，1)，(2，1)在y=ax2+bx+1的图像上，∴抛物线的对称轴为直线x=0+22=1又∵a=1>0，∴当x<1时，y随x的增大而减小，故此小问答案不唯一，所给范围在x<1范围内即可.(2)把(2，1)代入y=ax2+bx+1，得1=4a+2b+1，∴b=-2a，∴y=ax2+bx+1=ax2-2ax+1，把(-1，m)代入y=ax2-2ax+1，得m=a+2a+1=3a+1，把(1，n)代入y=ax2-2ax+1，得n=a-2a+1=-a+1，把(3，p)代入y=ax2-2ax+1，得p=9a-6a+1=3a+1，∴m=p，∵在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，∴-a+1>08.解析(1)由A，C两点在抛物线上，可得-(-3)2∴抛物线P的解析式为y=-x2-2x+3.(2)证明：x=--22×(−1)=-1时，y=-1-2×(-1)+3=4，∴D(-1，4)令-x2-2x+3=0，解得x1=-3，x2=1，∴B(1，0).由勾股定理得AD=25，CD=2，AC=32，BC=10，∴ADBC=2510=2，ACOC=323=2，∴ADBC=ACOC=∴△ACD∽△COB.(3)94详解：设直线AC的解析式为y=kx+m(k≠0)，∵A(-3，0)，C(0，3)，∴-3k+∴直线AC的解析式为y=x+3，根据题意可知：移动前抛物线P'的解析式为y=-x2-2x+3，向下平移h(h≠0)个单位长度后，解析式为y=-x2-2x+3-h，当平移后的抛物线P'：y=-x2-2x+3-h与直线AC：y=x+3相切时，令-x2-2x+3-h=x+3，整理，得x2+3x+h=0，根据相切可知方程有两个相等的解，∴Δ=32-4h=0，∴h=94，抛物线P'与y轴交点坐标为0,3抛物线继续往下移动，当抛物线顶点在OA上时，抛物线P'与△OAC三条边有一个交点.根据(2)可知：移动前抛物线的顶点坐标为(-1，4)，∴抛物线顶点在OA上时，移动的距离h=4，∴抛物线P'与△OAC三条边有两个交点时，h的取值范围为94素养探究全练9.解析(1)由题意和翻折的性质可知C(0，2).令x2-x-2=0，解得x1=-1，x2=2，∴A(-1，0)，B(2，0)，设图像W中线段AB上方部分对应的解析式为y=a(x+1)(x-2)，代入(0，2)，解得a=-1，∴y=-(x+1)(x-2)=-x2+x+2(-1<x<2).(2)b=2或3.详解：当直线与(1)中所求部分的图像相切时，有三个交点，联立解析式，得y整理，得x2-2x+b-2=0，由Δ=(-2)2-4(b-2)=0，得b=3，此时方程有两个相等的实数根.由图像可知，当直线y=-x+b经过点B(2，0)时，直线与图像W有三个交点，此时b=2.综上，当b=2或b=3时，直线y=-x+b与图像W有三个交点.(3)存在.由C(0，2)，B(2，0)可知△OBC是等腰直角三角形，∴∠OCB=∠OBC=45°.如图1，当CN∥OB时，△OBC∽△NMC，此时，N与