第五章 二次函数（压轴10题专练）

第五章二次函数（压轴题专练）一、特殊三角形问题1．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)为抛物线上的点，连接交直线于，当是中点时，求点的坐标；(3)在直线上，当为直角三角形时，求出点的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；(2)点E为B点左侧x轴上一动点（不与原点O重合），点Q为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．

(1)求a，k的值．(2)求的面积．(3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．二、特殊四边形问题4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．5．已知抛物线，坐标平面内点，点，B是该抛物线上的一个动点，是平面上一点．(1)无论t取何值，该抛物线都过一个定点，请求出这个定点；(2)当且四边形是平行四边形时，求y关于x的关系式；(3)当四边形是平行四边形时，每任取一个t的值，y都有对应的最大值，求这些最大值中的最小值．三、面积问题6．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点、．

(1)求此抛物线的解析式；(2)设是直线上方该抛物线上除点外的一点，且与的面积相等，求点的坐标；(3)在直线上方，抛物线上找一点，使得的面积最大，则点的坐标为________；(4)设是抛物线上一点，且为直角三角形，则点的横坐标为________．7．已知抛物线交轴于和，交轴于．

(1)求抛物线的解析式；(2)若为抛物线上第二象限内一点，求使面积最大时点的坐标；(3)是抛物线的顶点，为抛物线上的一点，当时，请直接写出点的坐标；角度问题8．已知二次函数过点、和三点．(1)求抛物线函数表达式；(2)将二次函数向右平移个单位，得到一条新抛物线，若顺次连接新抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为4，试求k的大小；(3)M、N、P是抛物线上互不重合的三点，已知M，N的横坐标分别是m，，点M与点P关于抛物线的对称轴对称，求的度数．9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式，并直接写出顶点的坐标；(2)如图1，点在线段上，作等腰，使得，且点落在直线上，若满足条件的点有且只有一个，求点的坐标．(3)如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于，两点．①求的度数；②设直线与抛物线相交于两点（点在点的左侧），当直线与直线相交所成的一个角为时，求点的坐标．10．已知抛物线过点，交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点，且对于任意实数，恒有成立．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)若，，三点都在抛物线上且总有，请直接写出的取值范围．

第五章二次函数（压轴题专练）一、特殊三角形问题1．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)为抛物线上的点，连接交直线于，当是中点时，求点的坐标；(3)在直线上，当为直角三角形时，求出点的坐标．【答案】(1)(2)，(3)或【分析】（1）根据抛物线经过，两点，列方程组，解之即可得到答案；（2）令，则，求得，作，垂足为，得到，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，设点横坐标为，得到方程，求得，，当时，，当时，，于是得到答案；（3）求得，设，分两种情况①当时，②当时，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）解：抛物线经过，两点，，解得：，抛物线的解析式是；（2）解：令，则，，如图，作，垂足为，

则，，，，又是中点，，，，设点横坐标为，则，解得：，，当时，，当时，，点的坐标是：，；（3）解：令，则，，，设，，，①当时，

，，解得：，（舍去），当时，，；②当时，

，，解得：，当时，，；综上所述：点的坐标为或．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；(2)点E为B点左侧x轴上一动点（不与原点O重合），点Q为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；（2）设，分两种情况讨论：①当点E在x轴负半轴上时，②当点E在x轴正半轴上时，分别画出图形，求出点E的坐标即可．【详解】（1）解：将、代入函数：中，得，解得，∴抛物线的解析式为．（2）解：存在．理由如下：∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴设，①当点E在x轴负半轴上时，如图1，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交l于点M和点N，

图1∵，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，，∴，即，解得或（舍去），∴，∴点E的坐标为；②当点E在x轴正半轴上时，如图2，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交I于点M和点N，

图2同理可得，∴，，∴，解得（舍去），∴，∴点E的坐标为．综上所述，点E的坐标为．3．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．

(1)求a，k的值．(2)求的面积．(3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在满足条件的N点，其坐标为或．【分析】（1）由条件可先求得A、B坐标，代入抛物线解析式可求得a、k的值；（2）先求解C，P的坐标，可得的长，再利用三角形的面积公式计算即可；（3）可设N点坐标为，可分别表示出、、的长，由勾股定理可得到关于n的方程，可求得N点坐标．【详解】（1）解：在中，令，∴，解得，令，可求得，∴，，分别代入，可得，解得；（2）由（1）得：，∴抛物线的顶点坐标为：，当时，则，解得：，，∴，∴，∴；（3）∵的对称轴为直线，设N点坐标为，而，，则，，且，

当为以为斜边的直角三角形时，由勾股定理可得，∴，解得或，即N点坐标为或，综上可知存在满足条件的N点，其坐标为或．二、特殊四边形问题4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)或或或；(3)存在，，或，或，或或【分析】（1）将，代入，求出,即可得出答案；（2）分别以点为顶点、以点为顶点、当以点为顶点，计算即可；（3）抛物线的对称轴为直线，设，，求出，，，分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线．【详解】（1）解：（1）∵，两点在抛物线上，∴解得，，∴抛物线的解析式为：；（2）令，∴，由为等腰三角形，如图甲，

当以点为顶点时，，点与原点重合，∴；当以点为顶点时，，是等腰中线，∴，∴；当以点为顶点时，∴点D的纵坐标为或，∴综上所述，点D的坐标为或或或．（3）存在，理由如下：抛物线的对称轴为：直线，设，，∵，则，，，∵以为顶点的四边形是菱形，∴分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线，当以为对角线时，则，如图1，

∴，解得：，∴或∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分，即与的中点重合，当时，∴，解得：，∴当时，∴，解得：，∴以为对角线时，则，如图2，

∴，解得：，∴，∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分，即与中点重合，∴，解得：，∴；当以为对角线时，则，如图3，

∴，解得：，∴，∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分，即与的中点重合，∴，解得：∴，综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为：，或，或，或或5．已知抛物线，坐标平面内点，点，B是该抛物线上的一个动点，是平面上一点．(1)无论t取何值，该抛物线都过一个定点，请求出这个定点；(2)当且四边形是平行四边形时，求y关于x的关系式；(3)当四边形是平行四边形时，每任取一个t的值，y都有对应的最大值，求这些最大值中的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)1．【分析】（1）将代入，可得，即可求解；（2）将代入可得，根据四边形是平行四边形可得，代入抛物线解析式，即可求解；（3）根据四边形是平行四边形可得，代入抛物线解析式，再根据二次函数的性质求得y的最大值与的关系，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：将代入，可得，即抛物线恒过定点；（2）将代入可得，∵四边形是平行四边形，，，∴点的坐标为：因为B是该抛物线上的一个动点，则，化简可得：；（3）∵四边形是平行四边形，，，∴点的坐标为：因为B是该抛物线上的一个动点，则，化简可得：∵，开口向下∴时，取值最大值，最大值为：则最大值中的最小值为1．三、面积问题6．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点、．

(1)求此抛物线的解析式；(2)设是直线上方该抛物线上除点外的一点，且与的面积相等，求点的坐标；(3)在直线上方，抛物线上找一点，使得的面积最大，则点的坐标为________；(4)设是抛物线上一点，且为直角三角形，则点的横坐标为________．【答案】(1)(2)(3)(4)或或或【分析】（1）设顶点式,然后把点坐标代入可求出，从而得到抛物线解析式；（2）易得直线解析式为,利用三角形面积公式可判断,过作，交抛物线所得交点既为所求点.再求出直线解析式为，然后解方程组得点坐标；（3）设点M的横坐标为，过点作于点,设交直线与点,用表示出的长,计算的面积，利用二次函数的最值即可得出结论.（4）分三种情况:①时,②时,③时,分别求解即可.【详解】（1）解：设抛物线的解析式为,把代入抛物线解析式得:,解得,∴抛物线解析式为,即；（2）当时,,解得,∴,∵点,∴设直线解析式为，把,,代入得，解得，∴直线解析式为,∵是直线上方该抛物线上除点外的一点,∴,过作，交抛物线所得交点既为所求点.

∵,设直线解析式为,∴,解得,∴直线解析式为,解方程组得或∴；（3）设点M的横坐标为，过点作于点,设交直线与点,如图,

∵是直线上方抛物线上一点，∴,∴.∵,∴.∴.∴，，时，的面积最大为，此时，点的坐标为，故答案为：；（4）设,∵,∴,,,①当时,,

∴∴∴,解得与重合,舍去)或;∴点的横坐标为；②当时,,∴∴∴,解得(与重合,舍去)或,∴点的横坐标为；③时,,

∴∴,∴或,解得(与重合,舍去)或或，∴点E的横坐标为或综上所述，为直角三角形，点的横坐标为或或或．故答案为：或或或7．已知抛物线交轴于和，交轴于．

(1)求抛物线的解析式；(2)若为抛物线上第二象限内一点，求使面积最大时点的坐标；(3)是抛物线的顶点，为抛物线上的一点，当时，请直接写出点的坐标；【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）如图，过点作轴交于点，求出直线的解析式，设，，由表示出对应的面积，即可求解；（3）先求出点D的坐标为，进而得到，由此求出，据此求出点P的坐标即可；【详解】（1）解：把和代入，得：，解得，抛物线解析式为；（2）解：如图，过点作轴交于点，

抛物线解析式为，，，设直线解析式为，则，解得：，设直线解析式为，设，，，，∵，当时，有最大值，当时，的面积最大，此时点的坐标为；（3）解：∵抛物线解析式为，∴抛物线顶点D的坐标为，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，当时，则，解得或；当时，则，解得或；∴点P的坐标为或或或；

角度问题8．已知二次函数过点、和三点．(1)求抛物线函数表达式；(2)将二次函数向右平移个单位，得到一条新抛物线，若顺次连接新抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为4，试求k的大小；(3)M、N、P是抛物线上互不重合的三点，已知M，N的横坐标分别是m，，点M与点P关于抛物线的对称轴对称，求的度数．【答案】(1)；(2)或；(3)或．【分析】（1）将、和三点代入，求出a、b、c的值即可得出抛物线函数表达式；（2）先写出原抛物线向右平移个单位后得到的新抛物线的表达式，将新抛物线与y轴的交点坐标用含有k的式子表示出来．由平移前A、B两点的坐标可求出的长，由于左右平移不改变抛物线与x轴两个交点之间的距离，根据新抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为4，分两种情况：新抛物线与y轴的交点坐标大于0和小于0，进行计算即可．（3）由于M，N的横坐标分别是m，，因此点M，N的坐标分别为，．由于点M与点P关于抛物线的对称轴对称，由此可得P的坐标为．分三种情况讨论：①当点P在N点的右侧时，过点N作于点D，将ND、DP用含有m的式子表示出来，求出的值，即可知的度数．②当点P在M，N两点之间时，③当点P在M，N两点的左侧时解法同方法①．【详解】（1）将、和三点代入，得，

解得，所以抛物线函数表达式为；（2）因为，所以将二次函数的图像向右平移个单位，得到一条新抛物线的函数表达式为，整理得

，所以新抛物线与y轴的交点坐标为．∵、，，∵左右平移不改变抛物线与x轴两个交点之间的距离，所以新抛物线与x轴的两个交点之间距离为4．当时，由题意可得．解得，（舍去）．当时，由题意可得．解得，（舍去）．所以k的大小为或；（3）因为M，N的横坐标分别是m，，所以点M，N的坐标分别为，．又因为点M与点P关于抛物线的对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线．所以可得点P的坐标为．①如图，当点P在N点的右侧时，过点N作于点D，

在中，，．所以，所以．所以．

②当点P在M，N两点之间时，同理可得．所以．

③当点P在M，N两点的左侧时，．所以的大小为或．9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式，并直接写出顶点的坐标；(2)如图1，点在线段上，作等腰，使得，且点落在直线上，若满足条件的点有且只有一个，求点的坐标．(3)如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于，两点．①求的度数；②设直线与抛物线相交于两点（点在点的左侧），当直线与直线相交所成的一个角为时，求点的坐标．【答案】(1)；顶点的坐标为(2)(3)①；②或【分析】（1）由可设)，)，代入抛物线解析式即得到关于、的二元方程，解方程求出即求得抛物线解析式，配方即得到顶点的坐标．（2）以点为圆心，长为半径的，由于满足即点在上且点在直线上的点有且只有一个，即与直线只有一个公共点，所以直线与相切于点．由得点、坐标可知直线与夹角为，为等腰直角三角形，．设点纵坐标为，用表示和的长并列得方程即可求的值．由于点在线段上，故的值为负数，舍去正数解．（3）①取点，连接，过点作轴，于点，则，进而证明是等腰直角三角形，即可得出结论；②依题意，直线过定点，得出，，进而根据平行线的性质得出直线的解析式为或，联立抛物线，解方程组，根据点在点的左侧，取舍方程组的解即可．【详解】（1）∵抛物线与轴交于，两点，且，设，则，，∴

，解得：，∴，，∴抛物线解析式为，∴顶点的坐标为；（2）如图，过点作于点，以点为圆心、为半径作圆

，点在上有且只有一个点在上又在直线上与直线相切于点，由，当，则，即，，由得：，，，，，即，，为等腰直角三角形，,设，，，,，解得：，舍去，点坐标为，；（3）①如图所示，取点，连接，过点作轴，于点

由，当时，，则，，则关于轴对称，点在轴上，∴∴由得：，，，则，在