工程测量课件：误差基础知识

工程测量

误差理论基础知识本章内容本章内容①测量误差概述③误差传播定律及应用②评定精度的指标误差理论的基本概念中误差相对误差极限误差和容许误差倍数函数的中误差及其应用和差函数的中误差及应用线性函数的中误差及其应用一般函数的中误差及其应用④等精度观测值的精度评定1.误差理论的基本知识-测量误差概述测量中不可避免地存在着测量误差。如为求某段距离，往返测量若干次，这些重复观测的距离值之间存在着差异。产生测量误差的原因，概括起来有以下三个方面：测量仪器观测者外界环境测量外业工作就要在一定的观测条件下，确保观测成果具有较高的质量，将观测误差控制在允许的限度内。1.误差理论的基本知识1.1测量误差概述1.误差理论的基本知识-测量误差分类测量误差按其产生的原因和对观测结果影响性质的不同，可以分为系统误差和偶然误差两类。系统误差在一定条件下，误差的符号表现出一致性，数值大小基本相同或者按一定规律变化，则称其为系统误差。系统误差可以通过一定的观测方法或加改正数予以减弱或消除。偶然误差在相同的观测条件下进行观测，误差的符号和大小都表现出偶然性，从单个误差去看，没有规律，则称其为偶然误差。1.误差理论的基本知识1.2测量误差分类1.误差理论的基本知识-测量误差的特性-系统误差性质系统误差是指，误差的符号与大小保持不变，或按一定规律变化。案例钢尺量距时，用没有鉴定、名义长为30m，实际长为30.005m的钢尺量距，每丈量一整尺段距离就量短了0.005m，产生-0.005m的量距误差。各整尺段的量距误差大小都是0.005m，符号都是负，不能抵消，具有累积性。消除或削弱系统误差的方法：系统误差对观测值的影响具有一定的规律性，找到规律就可对观测值施加改正以消除或削弱系统误差的影响。1.3测量误差的特性1.3.1系统误差性质符号与大小呈偶然性，单个偶然误差无规律，大量的偶然误差有统计规律。偶然误差——真误差案例三等、四等水准测量，在cm分划的水准标尺上估读mm位，估读的数有时过大，有时偏小；经纬仪测量水平角，大气折光使望远镜中目标的成像不稳定，引起瞄准目标有时偏左、有时偏右。削弱偶然误差方法是：采用多余观测，改进计算方法，提高仪器精度等。1.3测量误差的特性1.3.2偶然误差性质1.误差理论的基本知识-测量误差的特性-偶然误差性质偶然误差的统计规律定义—真误差⊿i=X－li

（i=1，2，…，n）大部分情况下，真值li未知，求不出Δ。某些情形中，观测量函数的真值已知，案例，三角形内角和闭合差ω定义为ωi=(β1+β2+β3)i－180°真值，ω的真误差——结论：三角形闭合差的真误差等于闭合差本身。

1.3测量误差的特性1.3.2偶然误差性质1.误差理论的基本知识-测量误差的特性-偶然误差性质对大量偶然误差进行统计表明，偶然误差存在着统计意义上的规律。当误差⊿的间隔d⊿→0时，则直方图形服从正态分布的误差分布曲线。可以概括出偶然误差的统计规律：（1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的界限(有界性)；（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大(小误差的密集性)；（3）绝对值相等的正负误差，出现的机会相等(对称性)；（4）当n→∞时，偶然误差的算术平均值趋于零，即(抵偿性)。

1.3测量误差的特性1.3.3偶然误差的统计规律1.误差理论的基本知识-测量误差的特性-偶然误差的统计规律2.评定精度的指标-中误差

在相同的观测条件下，对未知量进行观测，观测值为

l1，l2，…，ln

其真误差为⊿1，⊿2，…，⊿n

则观测值的方差观测值的中误差（均方差）实际工作中，观测次数有限，故取中误差的估值2.1中误差

例12.评定精度的指标-中误差2.1中误差2.评定精度的指标-相对误差误差有时与观测量大小有关，此时以误差与观测量之比来表示误差的大小，称为相对误差。相对误差是无名数，分子化为1。2.2相对误差

2.评定精度的指标-极限误差和容许误差偶然误差与均方差（中误差）的关系如下：

P｛︱⊿∣＜s｝=0.683P｛︱⊿∣＜2s｝=0.954P｛︱⊿∣＜3s｝=0.997在为数不多的观测中，三倍于中误差的误差，出现的概率非常小（小概率事件亦称不可能事件），因而将其作为极限误差。制定规范时，通常以二倍中误差作为界限，称为容许误差，即︱⊿容∣≤2m。大于它的测量成果，称为超限，废去不用。

2.3极限误差和容许误差3.误差传播定律及应用-误差传播定律-倍数函数的中误差设：Z=KXX的中误差为mx，K为常数，则：mz=Kmx应用例1在1:1000的地形图上量得两点间距为d=237.5mm，已知丈量中误差为md=±0.2mm，问该两点的地面水平距离D及中误差mD为多少？解：D=1000×d=237.5mmD=1000md=±0.20m3.1误差传播定律3.1.1倍数函数的中误差3.误差传播定律及应用-误差传播定律-和差函数的中误差

3.1误差传播定律3.1.2和差函数的中误差3.误差传播定律及应用-误差传播定律-线性函数的中误差

3.1误差传播定律3.1.3线性函数的中误差

3.误差传播定律及应用-误差传播定律-线性函数的中误差3.1误差传播定律3.1.3线性函数的中误差3.误差传播定律及应用-误差传播定律-一般函数的中误差

设：Z=f(x1

x2…xn)

xi为独立观测值，中误差为mxi，则：应用

3.1误差传播定律3.1.4一般函数的中误差应用例4设D、a为距离、方位角的独立观测值，其中误差分别为mD、ma″（以″为单位），问由mD、ma″引起的纵横坐标增量Δx、Δy及待定点P的位置中误差m△x、m△y、mp=?

3.误差传播定律及应用-误差传播定律-一般函数的中误差3.1误差传播定律3.1.4一般函数的中误差

3.误差传播定律及应用-误差传播定律的应用3.2误差传播定律的应用

3.误差传播定律及应用-误差传播定律的应用3.2误差传播定律的应用

3.误差传播定律及应用-误差传播定律的应用3.2误差传播定律的应用

4.等精度观测值的精度评定-算术平均值4.1算术平均值4.等精度观测值的精度评定-根据观测值改正数计算观测值的中误差4.2根据观测值改正数计算观测值的中误差

在实际工作中，真值往往不知道，则真误差⊿也无从得到。此时可依最小二乘法求得观测值的最或然值x，以最或然误差v求得中误差。

最或然误差：vi=x-li

令：则有：4.2根据观测值改正数计算观测值的中误差

因测量误差是服从正态分布的；又，n次观测可以看成是有限次的抽样，样本的真值未知，上式是对有限个观测值的一个约束条件。故，最或然改正数应服从自由度为n-1的t分布，其中误差的估值为：

（对于一般平差问题，自由度为n-t，则）4.等