含参一元二次不等式恒成立的说课稿-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

含参一元二次不等式恒成立的说课稿-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册一、设计思路

本节课以人教A版（2019）必修第一册高中数学含参一元二次不等式恒成立问题为核心，结合高一年级学生的认知水平和知识结构，设计以下教学思路：首先通过实例引入含参一元二次不等式的概念，让学生在具体情境中感受数学问题的提出与解决；接着，引导学生探究含参一元二次不等式恒成立的条件，通过分类讨论、数学归纳等方法，使学生掌握解题技巧；最后，通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识，提高学生解决实际问题的能力。二、核心素养目标

发展学生的逻辑推理能力，通过探究含参一元二次不等式恒成立的条件，提升学生的数学抽象和数学建模素养；培养学生在解决不等式问题时的严谨态度和批判性思维，增强数学运算的准确性；引导学生运用分类讨论方法，提高思维的条理性和创新意识。三、教学难点与重点

1.教学重点

①掌握含参一元二次不等式恒成立条件的判定方法。

②熟练运用分类讨论思想解决含参一元二次不等式问题。

③能够将实际问题转化为数学模型，运用数学工具进行分析和求解。

2.教学难点

①理解并运用数学归纳法证明含参一元二次不等式恒成立的条件。

②对含参一元二次不等式进行分类讨论时，如何合理划分讨论区间，避免遗漏情况。

③在解决实际问题时，如何从问题情境中提取关键信息，构建合适的数学模型。四、教学资源

1.软硬件资源：计算机、投影仪、黑板、粉笔。

2.课程平台：校园教学管理系统。

3.信息化资源：数学教学软件、PPT教学课件。

4.教学手段：问题驱动法、小组讨论、案例分析。五、教学过程

1.导入（约5分钟）

激发兴趣：通过提出问题“在日常生活中，我们如何确定一个不等式对所有可能的x值都成立？”来激发学生的兴趣。

回顾旧知：简要回顾一元二次不等式的基本概念和求解方法，为学生学习含参一元二次不等式恒成立问题打下基础。

2.新课呈现（约40分钟）

讲解新知：详细讲解含参一元二次不等式恒成立的定义，以及如何通过分类讨论、数学归纳法来确定恒成立的条件。

举例说明：通过具体例题，如ax^2+bx+c>0恒成立的条件，展示如何进行分类讨论和求解。

互动探究：将学生分成小组，每组讨论一个含参一元二次不等式恒成立的案例，引导学生运用所学知识进行探究。

3.巩固练习（约30分钟）

学生活动：学生在纸上完成几个含参一元二次不等式恒成立的练习题，加深对知识的理解和应用。

教师指导：教师在旁观察，对学生的疑问进行解答，对解题过程中的错误进行纠正。

4.课堂总结（约10分钟）

总结本节课的主要内容，强调含参一元二次不等式恒成立的判定方法和分类讨论的技巧，提醒学生注意在解题过程中易犯的错误。

5.作业布置（约10分钟）

布置几个含参一元二次不等式恒成立的作业题，要求学生在课后独立完成，并提醒学生作业提交的时间。

具体教学过程如下：

1.导入

-提出问题：假设我们要确定一个不等式对所有可能的x值都成立，我们应该怎么做？

-回顾旧知：简要回顾一元二次不等式的基本概念，如标准形式、根的判别式等。

2.新课呈现

-讲解新知：介绍含参一元二次不等式恒成立的定义，解释恒成立的概念，即对所有可能的x值，不等式都成立。

-举例说明：通过例题ax^2+bx+c>0，展示如何通过分类讨论和数学归纳法来确定恒成立的条件。

-互动探究：将学生分成小组，每组讨论一个含参一元二次不等式恒成立的案例，如讨论不同a值的取值对不等式恒成立的影响。

3.巩固练习

-学生活动：学生在纸上完成以下练习题：

1.对于不等式x^2-2x+1>0，讨论其恒成立的条件。

2.对于不等式x^2-4x+3>0，讨论其恒成立的条件。

-教师指导：教师在旁观察，对学生的疑问进行解答，对解题过程中的错误进行纠正。

4.课堂总结

-总结本节课的主要内容：含参一元二次不等式恒成立的判定方法、分类讨论的技巧。

-强调注意事项：在解题过程中，要注意对参数进行合理的分类讨论，避免遗漏情况。

5.作业布置

-布置以下作业题：

1.对于不等式x^2+2x+1>0，讨论其恒成立的条件。

2.对于不等式x^2-4x+k>0（k为实数），讨论其恒成立的条件。

-提醒学生作业提交的时间。六、知识点梳理

1.含参一元二次不等式的基本概念

-一元二次不等式的标准形式：ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0（其中a、b、c为常数，a≠0）。

-含参一元二次不等式的定义：在一元二次不等式中，系数a、b、c中至少有一个是变量，这样的不等式称为含参一元二次不等式。

2.一元二次方程的根的判别式

-判别式的表达式：Δ=b^2-4ac。

-根据判别式的值，可以判断一元二次方程的根的情况：

-Δ>0：方程有两个不相等的实数根。

-Δ=0：方程有两个相等的实数根。

-Δ<0：方程没有实数根。

3.含参一元二次不等式恒成立的条件

-当a>0时，不等式ax^2+bx+c>0恒成立的条件是Δ<0。

-当a<0时，不等式ax^2+bx+c<0恒成立的条件是Δ<0。

-当a=0时，不等式退化为一次不等式，需要单独讨论。

4.分类讨论方法

-当a≠0时，根据Δ的值进行分类讨论：

-Δ>0：不等式不恒成立，需要进一步讨论根的情况。

-Δ=0：不等式恒成立，但需要讨论根的相等性。

-Δ<0：不等式恒成立。

-当a=0时，不等式变为线性不等式，根据b和c的符号进行分类讨论。

5.含参一元二次不等式的解法

-当a>0时，通过求解一元二次方程ax^2+bx+c=0得到根，然后根据根的情况确定不等式的解集。

-当a<0时，同样求解一元二次方程ax^2+bx+c=0得到根，然后根据根的情况确定不等式的解集。

-当a=0时，不等式退化为一次不等式，直接求解。

6.实际问题的应用

-将实际问题转化为含参一元二次不等式模型。

-应用一元二次不等式的解法，解决实际问题中的不等式问题。

7.解题策略与技巧

-熟悉一元二次不等式的标准形式和解法。

-掌握分类讨论的方法，注意不要遗漏任何一种情况。

-在解决含参一元二次不等式时，注意参数的取值范围对解的影响。

-在实际问题中，注意将问题抽象为一元二次不等式模型，并合理运用数学工具进行求解。

8.常见错误分析

-忽略判别式Δ的值，错误地判断不等式的解。

-在分类讨论时，遗漏某些情况，导致解题结果不完整或不正确。

-在解决实际问题中，未能正确地将问题转化为含参一元二次不等式模型。

9.知识拓展

-探索含参一元二次不等式解集与参数之间的关系。

-研究含参一元二次不等式在数学分析和工程应用中的重要性。七、板书设计

1.含参一元二次不等式的概念与标准形式

①含参一元二次不等式的定义

②一元二次不等式的标准形式：ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0

③参数a、b、c的作用及其对不等式解的影响

2.一元二次方程根的判别式

①判别式的表达式：Δ=b^2-4ac

②根据判别式的值判断根的情况：Δ>0，Δ=0，Δ<0

3.含参一元二次不等式恒成立的条件

①a>0时，恒成立条件：Δ<0

②a<0时，恒成立条件：Δ<0

③a=0时，退化为一次不等式的处理

4.分类讨论方法

①Δ>0时的分类讨论

②Δ=0时的分类讨论

③Δ<0时的分类讨论

5.含参一元二次不等式的解法

①求解一元二次方程ax^2+bx+c=0得到根

②根据根的情况确定不等式的解集

③a=0时的特殊处理

6.实际问题的应用

①实际问题转化为含参一元二次不等式模型

②应用一元二次不等式的解法解决实际问题

7.解题策略与技巧

①熟悉一元二次不等式的解法

②掌握分类讨论的方法

③注意参数取值范围对解的影响

8.常见错误分析

①忽略判别式Δ的值

②遗漏分类讨论的情况

③未正确转化实际问题为数学模型

9.知识拓展

①探索解集与参数之间的关系

②研究含参一元二次不等式在数学分析和工程应用中的重要性八、反思改进措施

（一）教学特色创新

1.在教学过程中，我尝试引入实际生活中的问题，将含参一元二次不等式与学生的生活实际相结合，以提高学生的学习兴趣和实际应用能力。

2.我采用了小组合作学习的方式，让学生在讨论中探究含参一元二次不等式的解法，这种方式既提高了学生的参与度，也培养了他们的团队合作精神。

3.在巩固练习环节，我设计了一些具有挑战性的题目，鼓励学生发散思维，寻找多种解题途径，这有助于提升学生的创新能力和解决问题的能力。

（二）存在主要问题

1.在教学管理方面，我发现在课堂纪律维护方面还有待加强，有些学生在课堂上的注意力不够集中，影响了教学效果。

2.在教学组织方面，课堂互动环节的时间分配不够合理，有时候学生的讨论时间不足，导致部分学生未能充分参与到课堂活动中。

3.在教学方法方面，我意识到对于一些抽象概念的解释可能还不够清晰，学生在理解含参一元二次不等式恒成立的条件时存在一定的困难。

（三）改进措施

1.为了加强教学管理，我计划在课堂上设立一些奖励机制，激励学生积极参与课堂活动，同时对注意力不集中的学生进行个别辅导，以提高他们