江西省吉安市第八中学2024-2025学年上月考八年级 数学试题（含解析）

参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．在实数，，π，，，，，0.1010010001中，无理数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据无理数的定义即可求解．【解答】解：，所以无理数有π，，，，共4个．故选：C．【点评】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．2．下列各式计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的加减运算对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．【解答】解：A、原式＝6，所以A选项的计算错误；B、5与5不能合并，所以B选项的计算错误；C、原式＝8＝8，所以C选项的计算正确；D、原式＝6，所以D选项的计算错误．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．【解答】解：A、梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；B、大正方形的面积为：c2，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；C、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴C选项不能证明勾股定理；D、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理；故选：C．【点评】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．4．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则最长边上的高为（）A．3 B．4 C．2.4 D．3.75【分析】先判断出三角形为直角三角形，然后根据三角形面积相等得到最长边上的高．【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，即32+42＝52，满足AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形，设最长边上的高为x，根据△ABC的面积＝AC•BC＝AB•x，∴AC•BC＝AB•x，∴3×4＝5x，解得x＝2.4，故选：C．【点评】本题考查了与三角形高有关的计算、勾股定理的逆定理，熟练运用定理是解题的关键．5．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．﹣2+ B．﹣1 C．﹣1﹣ D．2﹣【分析】利用勾股定理求出线段的长度，再用该值加﹣2即可得出a的值．【解答】解：∵＝，∴a＝﹣2+．故选：A．【点评】本题考查了实数与数轴以及勾股定理，利用勾股定理求出线段的长度是解题的关键．6．一辆装满货物，宽为2.4m的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的高必须低于（）A．4.1m B．4.0m C．3.9m D．3.8m【分析】根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度比车高即可，根据勾股定理得出CD的长，进而得出CH的长，即可得出答案．【解答】解：∵车宽2.4米，∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．在Rt△OCD中，由勾股定理可得：CD＝＝1.6（m），CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米，∴卡车的外形高必须低于4.1米．故选：A．【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据题意得出CD的长是解题关键．二．填空题（共6小题）7．（﹣9）2的平方根是±9，算术平方根是9，立方根是3．【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义即可求得答案．【解答】解：（﹣9）2＝81，其平方根是±9，算术平方根是9，立方根是＝3，故答案为：±9；9；3．【点评】本题考查平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握其定义是解题的关键．8．一个正数的平方根分别是3a﹣4和1﹣6a，则a的值为﹣1．【分析】根据平方根的定义进行计算即可．【解答】解：由题意得，当3a﹣4+1﹣6a＝0，解得a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．9．比较大小：2＞5（填“＞，＜，＝”）．【分析】首先分别求出两个数的平方各是多少；然后判断出两个数的平方的大小关系，即可判断出两个数的大小关系．【解答】解：，52＝25，因为28＞25，所以2＞5．故答案为：＞．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出两个数的平方的大小关系．10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC⊥BD，，AB＝6，则BC2+AD2＝49．【分析】先利用勾股定理求出OA2+OB2＝36，OC2+OD2＝13，再在Rt△AOD和Rt△BOC中得出OA2+OD2＝AD2，OB2+OC2＝BC2，等量代换即可求出BC2+AD2的值．【解答】解：∵AC⊥BD，AB＝6，，∴在Rt△AOB中，OA2+OB2＝AB2＝62＝36，在Rt△COD中，，又∵在Rt△AOD中，OA2+OD2＝AD2，在Rt△BOC中，OB2+OC2＝BC2，∴BC2+AD2＝OB2+OC2+OA2+OD2＝（OB2+OA2）+（OC2+OD2）＝36+13＝49，故答案为：49．【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题．11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，连接AP、EP，当AP+EP最小时，这个最小值是2．【分析】要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA，PE的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：如图，连接BE，则BE就是PA+PE的最小值，∵Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，∴CE＝2cm，∴BE＝，∴PA+PE的最小值是2．故答案为：2．【点评】考查等腰直角三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．12．已知，且|a+b|＝﹣a﹣b，则a﹣b的值是﹣1或﹣7．【分析】根据|a+b|＝﹣a﹣b，可知a+b＜0，分两种情况：①a＜0，b＜0；②a＜0，b＞0，分别求出a﹣b的值即可．【解答】解：∵|a+b|＝﹣a﹣b，∴a+b＜0，∵，∴分两种情况：①当a＜0，b＜0时，此时a＝﹣4，b＝﹣3，a﹣b＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1；②当a＜0，b＞0，此时a＝﹣4，b＝3，a﹣b＝﹣4﹣3＝﹣7．故答案为：﹣1或﹣7．【点评】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是根据|a+b|＝﹣a﹣b，判断a、b的符号，分情况求出a﹣b的值．三．解答题（共11小题）13．计算：（1）；（2）．【分析】（1）先根据二次根式性质进行化简，然后再按照二次根式加减运算法则进行计算即可；（2）根据二次根式性质进行化简，根据完全平方公式和二次根式混合运算法则进行计算即可．【解答】解：（1）＝2+﹣＝；（2）＝＝3．【点评】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，二次根式加减运算法则，完全平方公式，准确计算．14．先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝+1，y＝﹣1．【分析】首先化简（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），然后把x＝+1，y＝﹣1代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y）＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy＝9xy当x＝+1，y＝﹣1时，原式＝9（+1）（﹣1）＝9×（2﹣1）＝9×1＝9【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．15．（1）图1中三角形ABC的面积为．（2）在图2中画出边长为、、3的三角形并求其面积．【分析】（1）利用割补法可知S△ABC＝S四边形EFGH﹣S△ABE﹣S△ACH﹣S△BCG即可解答；（2）利用勾股定理与网格得到，，DF＝3即可解答．【解答】解：（1）∵如图所示，∴，故答案为：；（2）∵，，DF＝3，∴如图所示，△DEF即为所求，∴，∴三角形的面积为3．【点评】本题考查了勾股定理，网格中三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键．16．已知a+1的算术平方根是3，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2．求：（1）a，b，c的值；（2）a+4b﹣4c的平方根．【分析】（1）根据平方根和立方根的概念分别计算出a、b、c即可；（2）利用（1）的结论直接求值即可．【解答】解：（1）∵a+1的算术平方根是3，∴a+1＝9，∴a＝8；∵﹣27的立方根是b﹣12，∴b﹣12＝﹣3，∴b＝9；∵c﹣3的平方根是±2，∴c﹣3＝4，∴c＝7；即a，b，c的值分别为8，9，7；（2）由（1）知，a+4b﹣4c＝8+4×9﹣4×7＝16，∴a+4b﹣4c的平方根是±4．【点评】本题主要考查平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键．17．结合数轴先化简，后求值：．【分析】先根据数轴分析出c＜a＜0＜b且|c|＞|b|＞|a|，再根据题意进行解题即可．【解答】解：由数轴可知，∵c＜a＜0＜b且|c|＞|b|＞|a|，∴a+b＞0，b﹣c＞0，∴＝﹣a﹣（a+b）+b﹣c＝﹣2a﹣c．【点评】本题考查二次根式的性质与化简、立方根、实数与数轴，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．18．某村有如图所示的一笔直公路AB，水源C处与公路之间有小片沼泽地，为方便公路上的人用水，拟从C处铺设水管到公路上．已知AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米．（1）求∠ACB的大小；（2）求铺设水管的最小长度．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答；（2）根据垂线段最短可得当CD⊥AB时，铺设水管的长度最小，然后利用三角形的面积法进行计算，即可解答．【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米，∵AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°；（2）当CD⊥AB时，铺设水管的长度最小，∵△ABC的面积＝AB•CD＝AC•BC，∴AB•CD＝AC•BC，∴200CD＝120×160，解得：CD＝96，∴铺设水管的最小长度为96米．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．19．对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如．请你计算：（1）8*7；（2）2∇3；（3）6∇（5*4）．【分析】（1）把a＝8，b＝7代入求解；（2）把a＝2，b＝3代入求解；（3）先计算5*4＝3，再计算6∇3．【解答】解：（1）∵，又8+7＝15＞0，故8*7＝＝＝；（2）∵，故；（3）∵5+4＝9＞0，故5*4＝＝＝＝3，6∇（5*4）＝6*3＝＝．【点评】本题主要考查了定义新运算的计算，掌握计算方法是解题的关键．20．化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，观察下列等式：①；②；③；…利用你观察到的规律解决下列问题：（1）化简；（2）求的倒数；（3）计算：．【分析】（1）利用题目中分母有理化方法进行化简即可；（2）根据倒数的定义和分母有理化的方法计算即可；（3）根据题目中分母有理化方法化简每一项，再进行加减运算即可得到答案．【解答】解：（1）＝＝＝；（2）的倒数为，∴的倒数为；（3）＝＝＝＝10﹣1＝9．【点评】此题主要考查了二次根式分母有理化和二次根式的混合运算，熟练掌握运算方法和法则是解题的关键．21．如图，细心观察，认真分析各式，然后解答问题．＝（）2+1＝2，S1＝；＝（）2+1＝3，S2＝；＝（）2+1＝4，S3＝；…（1）请用含有n（n为正整数）的式子表示Sn＝；（2）推算出OA10＝；（3）求出+++…+的值．【分析】（1）此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第n个图形的一直角边就是，然后利用面积公式可得．（2）由同述OA2＝，OA3＝…可知OA10＝．（3）求+++…+的值就是把面积的平方相加即可．【解答】解：（1）+1＝n+1Sn＝（n是正整数）；故答案为：；（2）∵＝1，＝（）2+1＝2，＝（）2+1＝3，＝（）2+1＝4，∴OA1＝，OA2＝，OA3＝，…∴OA10＝；故答案为：；（3）+++…+＝（）2+（）2+（）2+…+（）2＝（1+2+3+…+10）＝．即：+++⋯+＝．【点评】此题考查了勾股定理、算术平方根．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算．千万不可盲目计算．22．在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC上一点时，请依题意补全图形，并判断以AE、BF、EF三条线段为边构成的三角形是直角三角形；（2）当点E在线段CA的延长线上时，请依题意补全图2，并判断（1）中的结论是否仍成立，如果成立，请说明理由．【分析】（1）结论：以AE、BF、EF三条线段为边构成的三角形是直角三角形．延长FD到P，连接AP，PE，EF．证明AP＝BF，EF＝PE，∠PAE＝90°，可得结论；（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论．【解答】解：（1）结论：以AE、BF、EF三条线段为边构成的三角形是直角三角形．理由：延长FD到P，连接AP，PE，EF．在△ADP和△BDF中，，∴△ADP≌△BDF（SAS），∴∠APD＝∠DFB，AP＝BF，∴AP∥BC，∴∠PAE+∠ACB＝180°，∴∠PAE＝90°，∵ED⊥PF，DP＝DF，∴EF＝PE，∵PE2＝AP2+AE2，∴AE2+BF2＝EF2，∴以AE、BF、EF三条线段为边构成的三角形是直角三角形；（2）结论：AE2+BF2＝EF2．理由：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D点是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDM中，，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM2+BF2＝MF2，∴AE2+BF2＝EF2．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值；（3）若以P，C，B为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出t的值．【分析】（1）连接BP，根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理列方程计算，得到答案；（2）作PG⊥AB于G，根据角平分线的性质得到CP＝GP，根据全等三角形的性质求出BG，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（3）分CP＝CB、BP＝BC、CP＝CB、PC＝PB四种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】解：（1）如图1，连接BP，在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝＝8（cm），则PC＝8﹣PA，由勾股定理得，PB2＝PC2+BC2，当PA＝PB时，