数学学案：预习导航一般形式的柯西不等式_第1页
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文档简介

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精预习导航1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1,b2，b3是实数，则(aeq\o\al(2，1）＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2，3））(beq\o\al（2，1)＋beq\o\al（2，2）＋beq\o\al(2,3)）≥(a1b1＋a2b2＋a3b3）2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，3)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2,3)时等号成立．【做一做1－1】已知x，y，z＞0，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是（)A．1B．eq\f(1，3）C．eq\f(1,2）D．3解析:由柯西不等式得（x2＋y2＋z2）·(12＋12＋12）≥(x＋y＋z)2＝1。∴x2＋y2＋z2≥eq\f(1,3)，当且仅当x＝y＝z＝eq\f(1,3）时，等号成立，即所求最小值为eq\f(1,3）。答案：B【做一做1－2】已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1,则eq\r（3a＋1)＋eq\r（3b＋1)＋eq\r(3c＋1)的最大值为（）A．3B．3eq\r(2)解析：由柯西不等式得：（eq\r(3a＋1）＋eq\r(3b＋1）＋eq\r(3c＋1)）2≤(1＋1＋1）(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)＝3[3(a＋b＋c)＋3］，又∵a＋b＋c＝1，∴（eq\r(3a＋1)＋eq\r(3b＋1)＋eq\r（3c＋1））2≤3×6＝18，∴eq\r（3a＋1）＋eq\r(3b＋1）＋eq\r(3c＋1）≤3eq\r（2)，当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时等号成立．答案:B2．一般形式的柯西不等式设a1，a2,a3,…，an，b1，b2,b3,…，bn是实数，则（aeq\o\al（2，1)＋aeq\o\al(2，2）＋…＋aeq\o\al(2，n）)（beq\o\al（2，1）＋beq\o\al（2,2）＋…＋beq\o\al(2,n))≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0（i＝1,2，…，n)或存在一个数k,使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n）时，等号成立．归纳总结尽可能地构造符合柯西不等式的形式．常用技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③改变结构；④添项．【做一做2】若a12＋a22＋…＋an2＝1,b12＋b22＋…＋bn2＝4,则a1b1＋a2b

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