初中数学必会几何模型精讲精练之全等三角形的常见辅助线

初中数学常见几何模型精讲精练全等三角形的常见辅助线方法一作平行线法作平行，构造全等．利用的思维模式是全等变换中的“平移”．【例题1】1.△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ．（有多种辅助线作法）【答案】见解析【解析】【分析】方法一，延长AB到D，使BD＝BP，连接PD，根据已知条件求得各个角的值，发现∠4＝∠C，，进而得QB＝QC，，再根据△APD≌△APC，得AD＝AC，等量代换之后得证；方法二，过点P作PD//BQ交CQ于点D，结合已知条件可得BQ＋AQ＝CQ＋AQ＝AC，证明△ABP≌△ADP，可得AB＋BP＝AD＋PD＝AD＋CD＝AC，等量代换之后得证；【详解】方法一、证明：延长AB到D，使BD＝BP，连接PD，则∠D＝∠5.∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠1＝∠2＝30°，∠ABC＝180°－60°－40°＝80°，∠3＝∠4＝40°＝∠C，∴QB＝QC，又∠D＋∠5＝∠3＋∠4＝80°，∴＝40°,在△APD与△APC中，，∴△APD≌△APC（AAS），∴AD＝AC．即AB＋BD＝AQ＋QC，∴AB＋BP＝BQ＋AQ．方法二、如图，过点P作PD∥BQ交CQ于点D，BQ平分∠ABC∴∠CBQ＝∠ABC＝×80°＝40°，∴∠CBQ＝∠ACB，∴BQ＝CQ，∴BQ＋AQ＝CQ＋AQ＝AC①，∵PD∥BQ∴∠CPD＝∠CBQ＝40°，∴∠CPD＝∠ACB＝40°，∴PD＝CD，∠ADP＝∠CPD＋∠ACB＝40°＋40°＝80°，∵∠ABC＝80°，∴∠ABC＝∠ADP，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，∵在△ABP与△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（AAS），∴AB＝AD，BP＝PD，∴AB＋BP＝AD＋PD＝AD＋CD＝AC②，由①②可得，BQ＋AQ＝AB＋BP．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质与判定，等角对等边，熟练以上知识点是解题的关键．变式12.如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使CF=BE,连接EF,交BC于点D．求证DE=DF.【答案】证明见解析【解析】【详解】试题分析：作FH∥AB交BC延长线于H，构造全等三角形：△DBE和△FHE，由平行线得出两对内错角相等，只需要再证一组边对应相等，根据已知条件，以及所作平行线，可证出HF=BD，三角形全等可证．试题解析：证明：作FH∥AB交BC延长线于H，∵FH∥AB，∴∠FHC=∠B．又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．又∠ACB=∠FCH，∴∠FHE=∠FCH．∴CF=HF．又∵BD=CF，∴HF=BD．又∵FH∥AB，∴∠BDE=∠HFE，∠DBE=∠FHE．∴△DBE≌△FHE（ASA）．∴DE=EF．考点：1.等腰三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质．变式23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC．连结CD、EF，那么CD与EF相等吗？请证明你的结论．【答案】CD=EF，理由见解析．【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DEBC，然后证得四边形DEFC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可说明．【详解】解：结论：CD=EF．理由如下：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DEBC．∵CFBC，∴DE=CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴CD=EF．【点睛】本题主要考查了三角形的中位线和平行四边形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半成为解答本题的关键．变式34.如图所示，为等边三角形，边长为4，点为边中点，，其两边分别交和的延长线于，，求的值.【答案】6【解析】【分析】过点O作OC∥AB交AD于点C，根据等腰三角形的性质就可以得出△OCF≌△OBE，就可以得出CF=BE，进而可以得出结论．【详解】过点O作OD∥AB交AC于点D，∴∠CDO=∠A=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠DOC=60°，∠ADO=∠BOD=120°．∴△CDO是等边三角形，∴DO=CO，∴DO=BO=AD．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．∠CAB=∠ABC=∠C=60°，∴∠OBE=120°，∴∠ODF=∠OBE．∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°，∠DOF+∠FOB=∠BOD=120°∴∠FOD=∠EOB．在△DOF和△BOE中，，∴△DOF≌△BOE（ASA）．∴FC=EB．OF=OE．∵AE=AB+BE，∴AE=AB+DF，∴AE=AB+AD+AF，∴AE-AF=AB+AD．∵AB+AD=AB，∴AE-AF=AB．∵AB=4，∴AE-AF=6.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，线段中点的性质的运用，解答时正确作辅助线证明三角形全等是关键．变式45.如图，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论．【答案】PQ=PB【解析】【分析】过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，可得四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形；根据等腰三角形的性质与角的互余关系进行代换可得△QNP≌△PMB，故PQ=PB．【详解】答：PQ=PB

证明：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，

△AMP和△CNP都是等腰三角形．

∴

∵∠BPQ=90°

∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90°

∴∠QPN=∠PBM．又∠QNP=∠PMB=90°

∵在△QNP和△PMB中，∴△QNP≌△PMB（ASA），

∴PQ=PB．【点睛】此题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．培优变式56.如图1，已知和都是等边三角形，且点E在线段AB上．（1）过点E作交AC于点G，试判断的形状并说明理由；（2）求证：；（3）如图2，若点D在射线CA上，且，求证：．【答案】（1）是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等边三角形的判定即可得；（2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证；（3）先根据平行线的性质、三角形全等的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据三角形全等的判定定理与性质可得，据此根据线段的和差、等量代换即可得证．【详解】（1）是等边三角形，理由如下：如图，过点E作交AC于点G，是等边三角形，，，是等边三角形；（2）和是等边三角形，，，即，在和中，，，，，；（3）由（2）知，，，，，，，由（2）已证：，，和是等边三角形，，在中，，在中，，，在和中，，，，．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，较难的是题（3），正确找出两个三角形全等的条件是解题关键．方法二作垂直法作垂直，构造全等．分为做1条垂直辅助线和2条垂直辅助线．可以利用通过作角平分线上的点两边的距离得全等，或截取等长线段得全等；思维模式是全等变换中的“轴对称”即“对折”．【例题2】7.如图，△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，且AD＝BD．求证：CD⊥AC．【答案】见解析【解析】【分析】过D作DE⊥AB于E，根据等腰三角形性质推出AE=AB，∠DEA=90°，求出AE=AC，根据SAS证△DEA≌△DCA，推出∠ACD=∠AED即可．【详解】过D作DE⊥AB于E，∵AD＝BD，DE⊥AB∴AE＝AB，∠DEA＝90°，∵2AC＝AB∴AE＝AC∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD，在△DEA和△DCA中，，∴△DEA≌△DCA，∴∠ACD＝∠AED，∴∠ACD＝90°，∴AC⊥DC．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△DEA≌△DCA，主要培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好，难度适中．变式18.如图所示，在四边形中，平分，求证：．【答案】详见解析【解析】【分析】过点C分别作于E，于F，由条件可得出△CDF≌△CEB，可得∠B=∠FDC，进而可证明∠B+∠ADC=180°．【详解】证明：过点C分别作于E，于F，∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，于F，

∴CF=CE，

在Rt△CDF与Rt△CEB中，∴，，，.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明△CDF≌△CEB进而得出∠B=∠FDC．变式29.已知：∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA、OB交于C、D.求证：PC=PD.【答案】见解析【解析】【分析】过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分线的性质易得PE＝PF，然后由同角的余角相等证明∠1＝∠2，即可由ASA证明△CFP≌△DEP，从而得证．【详解】证明：过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∴∠CFP=∠DEP=90°,∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF,∵∠1+∠FPD=90°又∵∠AOB=90°∴∠FPE=90°，∴∠2+∠FPD=90°∴∠1=∠2,∵在△CFP和△DEP中：，∴△CFP≌△DEP(ASA)∴PC=PD.【点睛】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键．变式310.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF．【答案】见解析【解析】【分析】作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，由ASA证明△ACD≌△CBG，得出CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，证出BG＝BD，∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，再由SAS证明△BFG≌△BFD，得出∠FGB＝∠FDB，即可得出结论．【详解】证明：作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，如图所示：∵∠CBG＝90°，CF⊥AD，∴∠CAD+∠ADC＝∠BCG+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠BCG，在△ACD和△CBG中，，∴△ACD≌△CBG（ASA），∴CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，∵CD＝BD，∴BG＝BD，∵∠ABC＝45°，∴∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，在△BFG和△BFD中，，∴△BFG≌△BFD（SAS），∴∠FGB＝∠FDB，∴∠ADC＝∠BDF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．变式411.如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．(1)求证：AE平分∠BAD．(2)求证：AD＝AB＋CD．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）过点E作EF⊥DA于点F，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF，根据等量代换可得BE=EF，再根据角平分线的判定可得AE平分∠BAD；

（2）首先证明Rt△DFE和Rt△DCE可得DC=DF，同理可得AF=AB，再由AD=AF+DF利用等量代换可得结论；【详解】（1）证明：过点E作EF⊥DA于点F，

∵∠C=90°，DE平分∠ADC，

∴CE=EF，

∵E是BC的中点，

∴BE=CE，

∴BE=EF，

又∵∠B=90°，EF⊥AD，

∴AE平分∠BAD．

（2）证明：AD=CD+AB，

∵∠C=∠DFE=90°，

∴在Rt△DFE和Rt△DCE中，

∴Rt△DFE和Rt△DCE（HL），

∴DC=DF，

同理AF=AB，

∵AD=AF+DF，

∴AD=CD+AB；【点睛】此题考查角平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题关键是掌握角平分线的性质和判定定理．培优变式512.已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边,分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.（1）用圆规比较EM与FM的大小.（2）你能说明由(1)中所得结论的道理吗?【答案】(1)EM=FM；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）直接用圆规比较两线段的大小；（2）作EH⊥AM,垂足为H,FK⊥AM,垂足为K.先说明Rt△EHA≌Rt△ADB,得EH=AD,Rt△FKA≌Rt△ADC,得FK=AD,得EH=FK,在Rt△EHK与Rt△FKM中,Rt△EHM≌Rt△FKM,得EM=FM.【详解】解：（1）EM=FM（2）作EH⊥AM,垂足为H,FK⊥AM,垂足为K,则∠AHE=90〬,∠AKF=90〬,因为，AD⊥BC,所以，∠ADB=90〬,所以，∠ABD+∠BAD=90〬,又因为，△ABE是等腰直角三角形，所以，AE=AB,∠BAE=90〬,所以，∠EAH+∠BAD=90〬,所以，∠EAH=∠ABD，所以，Rt△EHA≌Rt△ADB（AAS），所以，EH=AD，同理：Rt△FKA≌Rt△ADC，FK=AD，所以EH=FK在Rt△EHK与Rt△FKM中,所以，Rt△EHM≌Rt△FKM（AAS）得EM=FM.

【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定和性质.解题关键点：熟记全等三角形的判定和性质.方法三倍长中线法倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，遇到一般三角形边上的中线或中点，考虑中线倍长；思维模式是全等变换中的“旋转”，可转移元素或将分散的条件聚集拢来．其主要的图形特征和证明方法如图：已知：在三角形ABC中，O为BC边中点，辅助线：延长AO到点D使AO＝DO，结论：△AOB≌△DOC证明：延长AO到点D使AO＝DO，由中点可知，OB＝OC，在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△DOC同理在下图中仍能得到△AOB≌△DOC规律总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角决定的．补充：关于倍长中线的其他方法①向中线做垂直，易证△BEO≌△CDO步骤：延长AO到点D，过点B，C分别向AD作垂线，垂足为E，D，易证△BEO≌△CDO（AAS）②过中线做任意三角形证明全等，易证△BDO≌△CEO步骤：在AC上任意选取一点E，连接EO并延长到点D，使EO＝DO，连接BD，易证△BDO≌△CEO（SAS）点拨：倍长中线的思路：已知中线——作中线倍长线——证全等——找大小关系【例题3】13.如图，是的中线，分别在边上（不与端点重合），且，则（）．A. B.C. D.与的长短关系不确定【答案】A【解析】【分析】延长至点G，使，连接，证明，可得，进而根据三角形三边关系即可得．【详解】如图，延长至点G，使，连接，是边上的中线，,又，是的垂直平分线，，又(SAS)，，．故选A．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，证明是解题的关键．变式14.如图，为AD上的中点，则BE＝______．【答案】【解析】【分析】延长BE交CD于点F，证，则BE=EF=BF，故再在直角三角形BCF中运用勾股定理求出BF长即可.【详解】解：延长BE交CD于点F,∵AB平行CD，则∠A=∠EDC，∠ABE=∠DFE，又E为AD上的中点，∴BE=EF,所以.∴∴在直角三角形BCF中，BF==.∴.【点睛】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解.变式15.如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为__．【答案】；【解析】【分析】延长至使，连接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．【详解】如图：延长至使，连接在和中：∴∴∵∴∴∵∴∴∴即∴【点睛】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键．变式16.如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE.求证：AB＝CD.【答案】见解析【解析】【分析】此题要证明AB=CD，不能通过证明△ABE和△CED全等得到，因为根据已知条件无法证明它们全等；那么可以利用等腰三角形的性质来解题，为此必须把AB和CD通过作辅助线转化到一个等腰三角形中，而延长DE到F，使EF=DE，连接BF就可以达到要求，然后利用全等三角形的判定与性质就可以证明题目的问题．【详解】证明：延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF.∵E是BC的中点∴BE＝CE在△BEF和△CED中∴△BEF≌△CED∴∠BFE＝∠CDE，BF＝CD又∵∠BAE＝∠CDE∴∠BFE＝∠BAE∴AB＝BF又∵BF=CD，∴AB＝CD【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；一般证明线段相等大多数是通过全等三角形解决问题，有时没有全等三角形时，可以利用等腰三角形的性质解决问题．变式17.某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】（1）如图1，AD是的中线，延长AD至点E，使，连接BE，证明：．【理解与应用】（2）如图2，EP是的中线，若，，设，则x的取值范围是________．（3）如图3，AD是的中线，E、F分别在AB、AC上，且，求证：．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论；（3）延长FD至G，使得，连接BG，EG，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可．【详解】（1）证明：，，，，（2）；如图，延长至点，使，连接，在与中，，，，在中，，即，的取值范围是；故答案为：；（3）延长FD至G，使得，连接BG，EG，在和中，，，，，，在和中，，，，，，在中，两边之和大于第三边，，又，，【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键．培优变式18.问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使，连接BE，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明的判定定理是：__________________________________________；（2）AD的取值范围是________________________；方法运用：（3）如图2，AD是的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使，求证：．（4）如图3，在矩形ABCD中，，在BD上取一点F，以BF为斜边作，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）见解析【解析】【分析】（1）利用三角形的中线与辅助线条件，直接证明，从而可得证明全等的依据；（2）利用全等三角形的性质得到求解的范围，从而可得答案；（3）延长至点，使，证明，利用全等三角形的性质与，证明，得到，从而可得答案；（4）延长至点使，连接、、，证明，得到，利用锐角三角函数证明，再证明，利用相似三角形的性质可得是直角三角形，从而可得答案．【详解】解：（1）如图，AD是中线，在与中，故答案为：（2）故答案为：（3）证明：延长至点，使，∵是的中线∴在和中∴，∴，又∵，∵，∴，又∵，∴∴，又∵∴（4）证明：延长至点使，连接、、∵G为的中点∴在和中∴∴在中，∵，∴又矩形中，∴，∴，∴，又，∴，∴，又为的外角，∴，即，∵，∴，∴，即，在和中，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∵G为的中点，∴，即．【点睛】本题考查的是倍长中线法证明三角形全等，同时考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．方法四截长补短法基本方法已知条件在中，平分辅助线作法（1）在上截取；（2）把延长到点，使可用结论截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段．理论依据（1）因为平分，且，所以；（2）因为平分，且，所以【例题4】19.在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，．（1）求的度数；（2）求证：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由，，可得为等边三角形，由，，，可证（2）延长至F，使，连接，由，，且，可证由，可证为等边三角形，可得，可推出结论，【详解】解：（1）∵，，∴为等边三角形，∴，∵，，∵，∴（2）如图，延长至F，使，连接，由（1）得为等边三角形，∴，∵，又∵，且，∴，在与中，∴∴，∴，∴又∵，∴为等边三角形∴，又∵，且，∴，【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形．变式120.如图，在中，为的平分线，如图，若，求线段的长度．【答案】4.8【解析】【分析】在AB上截取AE=AC，连接DE，证明△ACD≌△AED（SAS），得出∠C=∠AED，证出∠B=∠BDE，得出BE=DE，即可得出答案；【详解】解：在AB上截取AE=AC，连接DE，如图1所示：

∵AD为∠BAC的平分线，

∴∠DAE=∠DAC，在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（SAS），

∴∠C=∠AED，

∵∠C=2∠B，

∴∠AED=2∠B，

∵

∴

∴，

∴BE=DE，

∵

∴【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．变式221.如图，P为等边△ABC外一点，AH垂直平分PC于点H，∠BAP的平分线交PC于点D．（1）求证：DP＝DB；（2）求证：DA+DB＝DC；【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）首先由等边三角形的性质易得AB=AC=BC，由垂直平分线的性质易得AP=AC，等量代换可得AP=AB，由SAS定理可证得△PAD≌△BAD，利用全等三角形的性质可得结论；（2）在CP上截CQ=PD，证明△ACQ≌△APD，等量代换，证得△ADQ为等边三角形，得出结论.【详解】(1)∵AH是PC的垂直平分线∴PA＝PC＝AB∵AD平分∠PAB∴∠PAD＝∠BAD在△PAD和△BAD中，∴△PAD≌△BAD（SAS）∴DP＝DB(2)在CP上截取CQ＝PD，连接AQ∵AP＝AC∴∠APD＝∠ACQ在△APD和△ACQ中，∴△APD≌△ACQ（SAS）∴AD＝AQ，∠CAQ＝∠PAD∴∠BAC＝∠CAQ＋∠BAQ＝∠PAD＋∠BAQ＝∠BAD＋∠BAQ＝∠DAQ＝60°∴△ADQ为等边三角形∴AD＝DQ∴CD＝DQ＋CQ＝AD＋DB【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的性质等，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．变式322.在等边△ABC中，E为BC边上一点，G为BC延长线上一点，过点E作∠AEM＝60°，交∠ACG的平分线于点M．（1）如图1，当点E在BC边的中点位置时，求证：AE＝EM；（2）如图2，当点E在BC边的任意位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析.【解析】【分析】（1）取AB的中点N，连接EN，可证明△ANE≌△ECM，可证得AE＝EM；（2）在AB上取点H，使BH＝BE，根据等边三角形的证明△AHE≌△ECM即可求解.【详解】（1）证明：取AB的中点N，连接EN，∵△ABC为等边三角形，E，N为中点，∴AE⊥BC，且AE平分∠BAC，∴AN＝NE＝EC，∠NAE＝∠NEA＝30°，∴∠ANE＝120°，∵∠AEM＝60°，∴∠MEC＝30°，∴∠NAE＝∠CEM，∵CM平分∠ACG，∴∠ACM＝60°，∴∠ECM＝∠ANE＝120°，在△ANE和△ECM中，，∴△ANE≌△ECM（ASA），∴AE＝EM；（2）在AB上取点H，使BH＝BE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝60°．∵BH＝BE，∴AH＝CE．∴△BHE是等边三角形，∴∠BHE＝60°．∴∠AHE＝120°．∵∠ECM＝120°．∴∠AHE＝∠ECM．∵∠AEM+∠MEC=∠ABC+∠EAH，∴∠EAH=∠MEC在△AHE和△ECM中，∴△AHE≌△ECM（ASA）．∴AE＝EM．【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、几何变换、平行四边形的判定和性质等知识点．根据题目条件构造相应的全等三角形是解题的关键，注意等边三角形性质的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．变式423.如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：AE=EF；（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段AE与EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．【答案】（1）证明见解析；（2）AE=EF，证明见解析.【解析】【分析】（1）如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．证明△AHE≌△EDF，根据全等三角形的性质可得AE=EF；（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，类比（1）的方法可证AE=EF；如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．类比（1）的方法可证AE=EF．【详解】（1）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．∵BC=AB=BD，BE=BH，∴AH=ED，∵∠AEF=∠ABE=90°，∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠FED=∠HAE，∵∠BHE=∠CDB=45°，∴∠AHE=∠EDF=135°，∴△AHE≌△EDF，∴AE=EF．（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：AE=EF如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：AE=EF．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．变式524.如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．（1）思路梳理将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，首先证明F，D，G三点共线，求出∠EAF＝∠GAF，然后证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质解答；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，首先证明E'，D，F三点共线，求出∠EAF＝∠E'AF，然后证明△AFE≌△AFE'，根据全等三角形的性质解答；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，同（1）可证△AED≌AED'，求出∠ECD'＝90°，再根据勾股定理计算即可．【详解】解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G三点共线，∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠GAF，在△AFG和△AFE中，，∴△AFG≌△AFE，∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，则△ABE≌ADE'，∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F三点共线，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠E'AF＝∠BAD−（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD−（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD−∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠E'AF，在△AEF和△AE'F中，，∴△AFE≌△AFE'（SAS），∴FE＝FE'，又∵FE'＝DF−DE'，∴EF＝DF−BE；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，同（1）可证△AED≌AED'，∴DE＝D'E．∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，∴∠ECD'＝90°，在Rt△ECD'中，ED'＝，即DE＝，故答案为：．【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．培优变式625.通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．【解决问题】如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，，连接EF，则，试说明理由．证明：延长CD到G，使，在与中，∴理由：（SAS）进而证出：___________，理由：（__________）进而得．【变式探究】如图，四边形ABCD中，，点E、F分别在边BC、CD上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系________________时，仍有．请证明你的猜想．【拓展延伸】如图，若，，，但，，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系．【答案】（1），理由：SAS；（2），证明见解析；（3）BE+DF=EF．【解析】【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论，进而证明，从而得出结论；（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造即可；（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可．【详解】（1），，则，，，在与中，，理由：（）；（2）满足即可，证明如下：如图，延长至，使，，，，在与中，，，则，，，在与中，，理由：（）；（3）BE+DF=EF．证明如下：如图，延长至，使，在与中，，，则，，，在与中，，理由：（）；．【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键．方法五补全图形法补全定理图形或基本图形，运用定理或基本结论解题．【例题5】26.如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．【答案】见解析【解析】【分析】作BF的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE＝BE＝EF，由BD平分∠ABC就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，从而可以得出∠BAE＝∠BAE＝∠ACD＝22.5°，∠AEF＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出AD＝DC，证△ADC≌△AEB推出BE＝CD，从而得到结论．【详解】解：取BF的中点E，连接AE，AD，∵∠BAC＝90°，∴AE＝BE＝EF，∴∠ABD＝∠BAE，∵CD⊥BD，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠DAC＝∠DBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠DAC＝∠BAE，∴∠EAD＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠DBC＝22.5°，∴∠AED＝45°，∴AE＝AD，在△ABE与△ADC中，，∴△ABE≌△ADC，∴BE＝CD，∴BF＝2CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．变式127.如图，在中，平分，且垂直于的延长线于点，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】延长交的延长线于点.证，.根据角平分线性质证，，可得.【详解】延长交的延长线于点.∵，∴，.∵，∴.∵，∴.∴.∴.∵，∴.∴.∵平分，∴.∵，∴.∴.∴.∴.【点睛】考核知识点：全等三角形判定和性质.构造全等三角形是关键.变式228.如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、CA的延长线于点E、F．（1）求证：AE＝CF；（2）求证：△EPF是等腰直角三角形；（3）求证：∠FEA＋∠PFC＝45°；（4）求证：S△PFC－S△PBE＝S△ABC．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析．【解析】【分析】（1）先证明，得，再由已知条件即可求证；（2）根据（1）的结论结合题意即可得证；（3）根据（1）的结论，进行角的等量代换，即可求证；（4）根据（1）的结论，利用全等的性质，可得，S△PFC－S△PBE＝S△PFC－，进而可求证．【详解】（1）如图，连接，P是BC中点，AB＝AC，∠BAC＝90°,，,，,,,,,,,在和中：（ASA）,,,,即．（2）由（1）可知：，，是直角，△EPF是等腰直角三角形．（3）如图，连接,是等腰直角三角形，即∠FEA＋∠PFC＝45°；（4），S△PFC－S△PBE＝S△PFC－P是BC中点，S△ABC．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，中线的性质，掌握以上知识是解题的关键．方法六旋转法常见通过旋转构造全等的情况1、等腰三角形旋转2、等边三角形的旋转3、四边形旋转4、正方形旋转根据想要转换的线段以及“共顶点等线段"的特点锁定旋转目标，添加辅助线促成全等，实现线段或角度在位置上的变化，再根据题目中的具体条件从而解决问题．例题6】29.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2，则四边形ABCD的面积为________【答案】【解析】【分析】将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE．证明△AEC是等边三角形，四边形ABCD面积等于△AEC面积．【详解】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△ADE，则有△ABC与△ADE全等．∴AC＝AE，∠ABC＝∠ADE．∵∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．∴∠ADC＋∠ADE＝∠ADC＋∠ABC＝180°．∴C、D、E三点共线．∴BC＋CD＝DE＋DC＝CE．又∵∠CAE等于旋转角，即∠CAE＝60°，∴△ACE为等边三角形．∴△ACE的面积为．由旋转可知四边形ABCD的面积等于△ACE的面积故答案为：【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质，解题的关键是根据AB=AD及∠BAD=60°，对△ABC进行旋转，把四边形转化为等边三角形求解．变式130.在中，，点在边上，．若，则的长为__________．【答案】【解析】【分析】将CE绕点C顺时针旋转90°得到CG，连接GB，GF，可得△ACE≌△BCG，从而得FG2＝AE2＋BF2，再证明△ECF≌△GCF，从而得EF2＝AE2＋BF2，进而即可求解．【详解】解：将CE绕点C顺时针旋转90°得到CG，连接GB，GF，∵∠BCE＋∠ECA＝∠BCG＋∠BCE＝90°∴∠ACE＝∠BCG．∵在△ACE与△BCG中，∵，∴△ACE≌△BCG（SAS），∴∠A＝∠CBG＝45°，AE＝BG，∴∠FBG＝∠FBC＋∠CBG＝90°．在Rt△FBG中，∠FBG＝90°，∴FG2＝BG2＋BF2＝AE2＋BF2．又∵∠ECF＝45°，∴∠FCG＝∠ECG−∠ECF＝45°＝∠ECF．∵在△ECF与△GCF中，，∴△ECF≌△GCF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF2＝AE2＋BF2，∵，∴BF=，故答案是：．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及旋转变换，二次根式的化简，通过旋转变换，构造全等三角形，是解题的关键．变式231.如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．【答案】4+4．