山东省青岛市2024-2025学年高三上学期部分学生调研数学测试卷（解析版）

第1页/共1页青岛市2024年高三年级部分学生调研检测数学试题2024.11本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据对数不等式求出集合，再应用补集及交集运算求解即可.【详解】因为，所以,所以,,所以.故选：C.2.已知都是实数，那么“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据必要不充分条件定义判断可得答案.【详解】当时，无意义，当时，由不等式性质可得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A.向右平移个单位 B.向左平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象平移变换法则判断，注意化为同名函数．【详解】，所以将函数的图象向右平移个单位即得函数的图象，故选：D．4.已知平面向量，满足，且，则在方向上的投影向量为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据投影向量的定义求解判断．【详解】由已知，在方向上的投影向量为，故选：A．5.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函数值的变化趋势，可排除D，分析函数图象的对称性，可排除C，求导，分析函数的单调性，可排除B.【详解】当时，，，所以，故D错误；因为为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，故C错误；当时，，，因为，所以函数在上存在单调减区间，故B错误；故选：A6.“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3后加1.不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.若n经过5次运算后首次得到1，则n的所有不同取值的和为（）A.16 B.32 C.37 D.5【答案】C【解析】【分析】从第5项为1出发，按照规则逐步进行逆向分析，可求出的所有可能的取值可得答案．【详解】如果正整数按照上述规则经过5次运算得到1，则经过4次运算后得到的一定是2；经过3次运算后得到的一定是4；经过2次运算后得到的为8或1（不合题意）；经过1次运算后得到的是16；所以开始时的数为5或32.可得5+32=37.故选：C.7.若正数a，b满足，则（）A.128 B.108 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由对数的运算法则变形，把对数式化为指数式即可得．详解】令，则，，，因为，所以，所以，故选：B．8.定义在上的函数对，，都有，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，分析函数的奇偶性和单调性，把不等式转化成代数不等式求解.【详解】不妨设，所以.设，则在上单调递减.又，即，所以为偶函数.又不等式可化：，即，所以.故选：B【点睛】思路点睛：这种题型，一看就是需要构造函数，分析函数的性质（一般来说有定义域，单调性，奇偶性），利用函数性质，把函数不等式转化成代数不等式求解.所以该问题的关键是怎样构造函数.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知三条直线l，m，n和三个平面，，，则（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】AD【解析】【分析】对于A：根据平行线的传递性即可判断；对于BC：以正方体为载体，举反例说明即可；对于D：根据面面垂直的判定定理即可判断.【详解】对于选项A：若，，则，故A正确；对于BC,在正方体中，选项B：取为平面，为平面，，符合题设，但平面，故B错误；选项C：取为平面，为平面，，但平面与平面相交，故C错误；对于选项D：若，，显然，所以，故D正确；故选：AD.10.已知函数，则（）A.的定义域（）B.是y=fx图象的一条对称轴C.在区间上单调递增D.的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】由可得定义域判断A，证明判断B，平方后化简函数式，再结合正弦函数的单调性判断C，根据单调性求得最大值判断D．【详解】由得，A正确；，所以是是y=fx图象的一条对称轴，B正确；，，时，，递减，，递减，从而递减，所以递减，所以递减，C错；时，，，同理选项C可得在上递增，的最小正周期是，所以，D正确．故选：ABD．11.已知实数，满足，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】依题意可得，则，令，，，即可得到，，再根据三角恒等变换公式及三角函数有界性求出，的范围.【详解】因为，所以，即，则，令，，，则，，所以，因为，所以，故A错误，B正确；，因为，所以，故C正确，D错误.故选：BC三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列（）中，，成等比数列，，则__________.【答案】25或13；【解析】【分析】设公差为，由已知条件求得后，利用等差数列的通项公式可得结论．【详解】设公差为，因为，，成等比数列，所以，即，所以或，若，则，，则，，，，故答案为：13或25.13.已知曲线在处的切线与曲线相切，则__________.【答案】##【解析】【分析】根据导数的几何意义可得曲线在处的切线，对于，设切点坐标为，可得切线斜率为，求切线方程列式求解即可.【详解】因为，则，当，可得，即切点坐标为，切线斜率为，则切线方程为，即；又因为，则，设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为，即，可得，解得.故答案为：.14.已知集合（，），若集合，且M中的所有元素之和为奇数，称M为A的奇子集，则A的所有“奇子集元素之和”的总和为__________.【答案】【解析】【分析】设为的奇子集，中的所有元素之和为偶数，可称为偶子集，分析得的奇子集与偶子集个数相等；计算奇子集元素之和时，含元素的和是，即可求得奇子集的元素之和.【详解】设为的奇子集，则若，令，若，令为把中的去掉后剩下的元素形成的集合，则中的所有元素之和为偶数，可称为偶子集，显然每个奇子集，均恰有一个偶子集与之对应，每个偶子集，均恰有一个奇子集与之对应，故的奇子集与偶子集个数相等；对任一，含的子集共有个，用上面的对应方法可知，在时，这个子集中有一半为奇子集，在时，由于，将上边的3换成5，同样可得其中有一半为奇子集，于是在计算奇子集元素之和时，含元素的和是，奇子集容量之和是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：设为的奇子集，中的所有元素之和为偶数，可称为偶子集，分析得的奇子集与偶子集个数相等；计算奇子集元素之和时，元素的贡献是，即可求得奇子集的元素之和.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求A；（2）若，内切圆半径，求a.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）先由正弦定理得，再应用两角和的正弦公式化简得出结合角的范围得解；（2）先应用内切圆半径表示面积，化简得，再由正弦定理结合余弦定理得解.【小问1详解】由正弦定理得因为，所以所以即，且，所以【小问2详解】又因为所以，即，所以①，由余弦定理得②，所以，所以，解得16.已知数列满足：，，.（1）求数列的通项公式；（2）记表示不超过x的最大整数，，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意得到，再利用等比数列的定义求解；（2）由，利用错位相减法求得，然后由化简求解.【小问1详解】解：由题知：，因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列所以，所以；【小问2详解】因为，，两式作差得，所以，易求得，，，因为，所以是递减数列，当时，，所以，综上，.17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面PAD与平面PBD夹角为45°.（1）点P，A，B，C，D均在同一球面上，求该球的体积；（2）点E，F，G分别在棱AB，BC，PB上，当为等边三角形时，求直线AD与平面EFG所成角的正弦值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理得出线面垂直，进而证明平面ABCD，得出即可求解；（2）先证明面面平行再转化得出直线AD与平面EFG所成角等于AD与平面PAC所成角，最后应用空间向量法求出线面角正弦值.【小问1详解】因为底面ABCD为矩形，所以，又因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD，所以平面PCD，所以，同理：，又因为，平面ABCD，所以平面ABCD，由题知，由平面ABCD为矩形知：，所以，所以，ABCD为正方形，记PB中点为，可求得：，所以O为该球的球心，其半径因此，该球的体积【小问2详解】若平面EFG与平面PAC不平行，依平行性，不妨将点G放在点P的位置，不妨设E不在A的位置，则，，不合题意若平面平面PAC，则，所以，所以为等边三角形，又因为平面平面PAC，两平面的法向量共线，所以直线AD与平面EFG所成角等于AD与平面PAC所成角以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则P0,0,1，，A1,0,0，，设平面PAC的一个法向量为，则，所以，令，得显然，设AD与平面PAC所成角为，则18.已知函数（且），当时，.（1）求；（2）若为的极小值，求的取值范围；（3）证明：【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由确定为最小值，从而由求得；（2）求出导函数，然后分类讨论时，对再求导确定单调性，从而确定的正负得的单调性，判断极小值，对，同样利用的导函数确定函数性质，得出结论；（3）在（2）中，令，得证明不等式的右边成立，对左边，令，求得，然后利用给出证明．【小问1详解】由知，的最小值为所以解得，即【小问2详解】函数fx的定义域为，定义域关于原点对称，，所以函数为偶函数，故只需研究的情况，若，则，令，则，所以ℎx0,+∞所以，在0,+∞上单调递增，依对称性，在上单调递减，故为极小值若，，令gx=f令，即，解得（舍），所以因为，当时，，f′x在上单调递减，所以f′x在上均小于，所以在上单调递减，而，故不合题意，综上，的取值范围为；【小问3详解】结合（2）：令，则，解得令，即，得，则，解得，所以．【点睛】方法点睛：本题考查用导数研究函数的极值，证明不等式问题，属于困难题，这类问题在求出导函数后，一般不能直接确定的正负、零点，还需要对（或其中一部分）再一次求导（甚至多次求导），确定单调性，极值，从而确定的正负，得出结论．19.如果一个实数是有理数，或是对有理数进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，或是对这些结果继续进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，则称这个实数为可解数.如果一个角的正弦值和余弦值都是可解数，则称这个角为可解角.如：角都是可解角.（1）判断，，是否为可解数（无需说明理由）；（2）证明：角是可解角；（3）已知每个可解数a都是某些整系数多项式函数（）的零点，这些多项式中，x的最高次数n最小，且系数，，，…，的最大公约数为1的多项式函数称为a的最小多项式函数.任一可解数a的最小多项式函数中x的最高次数n必为（）.例如：的最小多项式函数不是，而是.证明：角不是可解角，并求整数度数的锐角中最小的可解角.【答案】（1）是可解数，是可解数，不是可解数（2）证明见解析（3）证明见解析；是整数度数的锐角中的最小可解角【解析】【分析】（1）根据可解数的定义直接判断即可；（2）设，整理可得，分析可得，即可判断；（3）分析可知是的零点，法1、法2：利用反证法，假设有整系数一次或二次因式，结合题意推出矛盾即可；根据三角恒等变换可知可解角的和、差、半角还是可解角，结合特殊角的三角函数分析判断即可.【小问1详解】根据题意可知：是可解数，是可解数，不是可解数【小问2详解】设，则又因为，所以，解方程，得是可解数，又显然是可解数，所以72°角是可解角.【小问3详解】先证明角不是可解角.因为，所以，即是的零点根据已知结论，若是可解数，那么它的最小多项式函数最高次项次数只能是1或2，即有整系数一次或二次因式，法1：假设，整数a，b，c的最大公约数为1，整数p，q互质，不妨令，，（，完全同理）则若，，当时，，则且，无解；若，，当时，，则且，无解；若，，当时，，则且，无解；若，，当时，，则且，无解；同理，若，，也均无解说明不可能是可解数，20°角不是可解角法2：有整系数一次或二次因式，说明存在有理零点设它的有