2024-2025学年福建省名校联盟部分中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省名校联盟部分中学高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|12<2xA.{−1,0,1} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{−1,0,1,2}2.设m，n∈R，则“m3>n3”是“3A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.若复数z满足i(z−i)=2+i，则|z|=(

)A.2 B.2 C.5 4.若直线y=ax与曲线y=e2x相切，则a=(

)A.2 B.e C.2e D.e5.已知α，β均为锐角，若sin(α+β)=13，sin(α−β)=A.tanαtanβ=17 B.tanαtanβ=7 C.tanαtan6.已知x，y均为正实数，若x+y=1，则2x−y+2xy的最小值为(

)A.4 B.9 C.12 D.147.已知平面向量a，b，c，若|a|=|b|=|a−A.32 B.1 C.38.已知函数f(x)=(x2−aex)A.(0,e) B.(0,e−1) C.(4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10=9A.a1=1 B.{an}是递增数列

C.当n=4时，Sn取得最小值 D.10.已知函数f(x)=sin2x+acos2x满足f(x)≤f(π8)，则A.a=1

B.点(−9π8,0)是曲线y=f(x)的对称中心

C.f(x)在区间(π8,3π4)11.已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x+y)=f(x)f(1−y)+f(y)f(1−x)，f(1)=1，则(

)A.f(0)=0 B.f(x)=f(2−x) C.f(x)是偶函数 D.k=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列{an}为等比数列，若a1=1,a213.已知函数f(x)=(x−a)3lnx+bx的图象关于直线x=1对称，则14.在平面四边形ABCD中，若AB=AD=1，BC=2BD，BD⊥BC，则AC的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为22．

(1)求C的方程；

(2)已知点M(0,13)，直线16.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b−2cosAa=2cosCc．

(1)求c；

(2)若BA17.(本小题15分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，点A1在底面ABC的射影为O，AB⊥AC，A1A=A1B=4，AC=3，A1O=23，E是A1B的中点．

18.(本小题17分)

已知函数f(x)=aex−a−lnx−1，a≥0．

(1)当a=0时，求函数F(x)=f(x)+x的最小值；

(2)若f(x)≥0，求a；

(3)证明：19.(本小题17分)

若有穷数列An：a1,a2,⋯,an(n∈N∗,n≥2)满足：①a1=1；②|ak+1−ak|=qk，则称An为Eq数列．

(1)已知A4是E1数列，写出参考答案1.B

2.C

3.A

4.C

5.D

6.B

7.D

8.D

9.BD

10.ABD

11.ABD

12.633213.−1

14.2+15.解：(1)因为椭圆C的右焦点为F(1,0)，

所以c=1，

因为椭圆的离心率为22，

所以e=ca=22，

解得a=2，

则b2=a2−c2=2−1=1，

故椭圆C的方程为x22+y2=1；

(2)当直线l斜率不存在时，显然不满足条件；

当直线l斜率存在时，

设直线l的方程为y=k(x−1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y=k(x−1)x22+y2=1，消去y并整理得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0，

此时Δ=8(k2+1)>0，

由韦达定理得x1+16.解：(1)b−2cosAa=2cosCc，

则bc−2ccosA=2acosC，

由正弦定理可得，csinB−2sinCcosA=2sinAcosC，

故csinB=2sinCcosA+2sinAcosC=2sin(A+C)=2sinB，

sinB≠0，

则c=2；

(2)BA⋅BC=2CA⋅CB，

则cacosB=2bacosC，即ccosB=2bcosC，

由正弦定理可得，sinCcosB=2sinBcosC，

故3sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB=2sin(B+C)=2sinA，

由正弦定理可得，3ccosB=2a，

c=2，

则a=3cosB，

17.(1)证明：取AB的中点F，连接OF，A1F，

因为A1A=A1B，所以A1F⊥AB，

因为点A1在底面ABC的射影为O，即A1O⊥平面ABC，且AB⊂平面ABC，

所以A1O⊥AB，

又A1F∩A1O=A1，A1F，A1O⊂平面A1OF，

所以AB⊥平面A1OF，

因为OF⊂平面A1OF，所以AB⊥OF，

又AB⊥AC，所以OF/​/AC，

因为E，F分别为A1B，AB的中点，所以EF/​/AA1，

因为OF∩EF=F，OF，EF⊂平面OEF，AC∩AA1=A，AC，AA1⊂平面AA1C1C，

所以平面OEF/​/平面AA1C1C，

又OE⊂平面OEF，所以OE/​/平面AA1C1C.

(2)解：以A为原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，作Az//A1O为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB=2m(m>0)，OF=n(n>0)，

则A(0,0,0)，B(2m,0,0)，C(0,3,0)，O(m,n,0)，A1(m,n,23)，

18.解：(1)当a=0时，f(x)=−lnx−1，F(x)=f(x)+x=−lnx+x−1，x∈(0,+∞)，

F′(x)=−1x+1=x−1x，当0<x<1时，F′(x)<0，当x>1时，F′(x)>0，

所以F(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

所以F(x)min=F(1)=0．

(2)若f(x)≥0，则aex−a−lnx−1≥0，所以ae−a≥(lnx+1)e−x，

设m(x)=(lnx+1)e−x，x∈(0,+∞)，

所以m′(x)=1xe−x−(lnx+1)e−x=(1x−lnx−1)e−x，

令n(x)=1x−lnx−1，因为y=−lnx−1，y=1x在x∈(0,+∞)上单调递减，

所以n(x)在x∈(0,+∞)上单调递减，且n(1)=0，

所以当0<x<1时，n(x)>0，即m′(x)>0，当x>1时，n(x)<0，即m′(x)<0，

所以m(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，

所以m(x)max=m(1)=e−1，即ae−a≥e−1，即a≥ea−1，

即lna≥lnea−1=a−1．

由(1)知，a−1≥lna，即a−1=lna，所以a=1．

(3)19.解：(1)|ak+1−ak|=1，设ak+1−ak=ek，ek∈{−1,1}，

故a4=a1+a2−a