2024年安徽省天域全国协作体高考数学二模试卷

2024年安徽省天域全国名校协作体高考数学二模试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（5分）（2024•安徽二模）已知A,8是全集U的非空子集，且AGCuB,则（）

A.BGAB.C.CuAGCuBD.AGB

2.（5分）（2024•安徽二模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时

难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象

来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征.则函数/（%）=岛■的

图象大致为（）

3.（5分）（2024•安徽二模）已知复数z-4+加（小虎R）且/-（4+2/）户4+3—0有实

数根。，则H=（）

A.2>/3B.12C.2向D.20

4.（5分）（2024♦安徽二模）已知等边△ABC的边长为2,点/）,E分别为AB,的中点，

若法=2EF,则后••品二（）

5.（5分）（2024•安徽二模）已知为，放是双曲线蓝一瓦=l（a>0,b>0）的左、右焦点，

若双曲线上存在点。满足P22-PPi=-2a2,则双曲线离心率的最小值为（）

A.V6B.V5C.V3D.V2

6.（5分）（2024•安徽二模）在数列｛斯｝中,S〃为其前〃项和，首项m=l,且函数fCO

=9-a”+isinx+（2an+l）x+\的导函数有唯一零点，则S5=（）

A.26B.63C.57D.25

7.（5分）（2024•安徽二碳）已知函数/（X）的定义域为R,且/（x+2）-2为奇函数，f

（3x+l）为偶函数，/（I）=0,则粢肾f（k）=（）

A.4036B.4040C.4044D.4048

8.（5分）（2024•安徽二模）己知直线/：Ar+B>+C=0（4+炉工0）与曲线W：-x有

三个交点。、E、F,且|QE1=|EQ=2,则以下能作为直线/的方向向量的坐标是（）

A.（0,1）B.（1,-1）C.（1,1）D.（1,0）

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

（多选）9.（6分）（2024•安徽二模）已知由样本数据<：xi,yi）（i=l,2,3,10）组成

的一个样本，得到回归直线方程为y=-x+3,.且工=4.剔除一个偏离直线较大的异常

点（-5,-1）后，得到新的回归直线经过点（6,-4）.则下列说法正确的是（）

A.相关变量x,），具有正相关关系

B.剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大

C.剔除该异常点后的回归直线方程经过点（5,-1）

D.剔除该异常点后，随x值增加相关变量），值减小速度变小

（多选）10.（6分）（2024•安徽二模）在平面直角坐标系xQv中，角。以坐标原点。为顶

点，以4轴的非负半轴为始边,其终边经过点正4"）,|。汹=〃?（〃?工0），定义/'（。）=绊，

ill

g（e）=臀，则（）

A.魔）+96）=1

B.f（9）t/2（6）20

C.若£^=2,则sE29=1

D./（0）g（9）是周期函数

（多选）11.（6分）（2024•安徽二模）如图，多面体PS-48C。由正四棱锥P-A8C。和

正四面体S-P8C组合而成，其中PS=1,则下列关于该几何体叙述正确的是（）

A.该几何体的体积为:

B.该几何体为七面体

C.二面角A-P4-C的余弦值为一/

D.该几何体为三棱柱

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（5分）（2024•安徽二模）从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43,45,

45,45,49,50,50,51,51,53,57（单位：〃[〃?），现从这11个零件中任取3个，则

3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率

为•

13.（5分）（2024•安徽二模）已知偶函数/（x）=sin（wx+（p）（u）＞0）的图像关于点杳，。）

中心对称，且在区间[0，*上单调，则3=.

14.（5分）（2024•安徽二模）若实数羽丁满足/+）2=25,则J50+8x+6y+，50+8x-6y

的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）（2024•安徽二模）已知函数/（x）=hix+^-QX，4WR.

（1）若/（外在定义域内是减函数，求。的取值范围；

（2）当QV2时，求/（外的极值点.

16.（15分）（2024•安徽二模）据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100

次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，

多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任

务，发射290余个航天器，实施一系列重大，程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前

景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试

其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：

飞行距离5663717990102110117

损坏零件数），（个）617390105119136149163

参考数据：x=86,歹=112,S?=i芍%=82743,£篙xf=62680.

（1）建立y关于x的回归模型y=bx+a，根据所给数据及回归模型，求y关于x的回

归方程（b精确到0.1,a精确到1）：

（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取1（）0台进行等距离飞行

测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器

占比30%,请根据统计数据完成2X2列联表，并根据小概率值a=0.0l的独立性检验,

能否认为推进器是否报废与保养有关？

保养未保养合计

报废20

未报废

合计60100

附：回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=乙皿-------^―,

（勺一牙）

A2

a=ybx,K2=(Q+b)普d)"c)g+d)，〃_">c+4

P(K22ko)0.250.10.050.0250.010.001

ko1.3232.7063.8415.0246.63510.828

17.（15分）（2024•安徽二模）在三棱锥尸-ABC中，PBJ_平面ABC,AB=BC=BP=2,

点E在平面ABC内，且满足平面用E_L平面PBE,BA垂直于BC.

（1）当/48£€蛤，引时，求点E的轨迹长度；

（2）当二面角E-%-3的余弦值为（■时，求三棱性E-PC6的体枳.

p

18.（17分）（2024•安徽二模）在平面直角坐标系xO），中，椭圆W：各技=l（a>8>0）的

离心率为e,已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且椭圆W过点（1,e）.

（1）求椭圆卬的方程；

（2）已知平行四边形八8c。的四个顶点均在卬上，求平行四边形A4co的面积S的最

大值.

19.（17分）（2024•安徽二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义.

若一个平面图形K在小（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具

有对称性，并记小为K的一个对称变换.例如，正三角形R在〃，（绕中心。作120°

的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以如是R的一个对称变换，考

虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记mi?3\乂如，在人（关于对

称轴”所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（妇图1图3所示），所以人也是R的

一个对称变换，类似地，记。=（：；》.记正三角形R的所有对称变换构成集合5.

一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：

I.Vd,bE.G>ciC）bEG；

II.Vd,b,c£G,（t/O/?）Oc=aO（/?Oc）；

111.3e£G,PaCG,aOe=eOa=a；

IV.VaCG,BalEG,aOai=alOa=e.

对于一个群G,称HI中的e为群G的单位元，称IV中的，।为。在群G中的逆元.

一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如〃对于G的代数运算。来说作成

一个群.

（1）直接写出集合S:用符号语言表示S中的元素）；

⑵同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如恤=©23\/132\

'DJL乙/乙JL/

1^?）=（?7D=（7l）=（??；）.对于集合S中的元素，定义一种新

XO乙，'人乙I，、乙。工，'乙XO*

运算*,规则如下避弓凯管3-W

b2,加}={。|,Cl,C3}={1,2,3}.

①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；

②已知〃是群G的一个子群，e,一分别是G,”的单位元，aEH,a],af分别是a

在群G,群〃中的逆元.猜想e,1之间的关系以及/la'之间的关系，并给出证明；

③写出群S的所有子群.

2024年安徽省天域全国名校协作体高考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（5分）（2024•安徽二模）已知A,R是全集U的非空子集，且AGCuB，则（）

A.B^AB.8工CuAC.CuACCuBD.

【考点】子集与真子集；补集及其运算；集合的包含关系判断及应用.

【专题】转化思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】B

【分析】根据子集定义即可判断.

【解答】解：人GCuB,说明人的所有元素都不属于8,等价于8的所有元素都不属于A,

【点评】本题考查集合的运算，属于基础题.

2.（5分）（2024•安徽二模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时

难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象

来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征.则函数/（%）=岛•的

图象大致为（）

O1X

-1-

A.

O

B.

【考点】函数的图象与图象的变换.

【专题】数形结合；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性求解即可.

【解答】解：函数/（幻=含的定义域为R，

f（r）=（二3=-导=所以函数/（外为奇函数，排除A,B选项，

又因为当x>0时，/«=477>0,排除C选项，选项。满足题意.

xz4-l

故选：D.

【点评】本题考查函数奇偶性的判断，函数图象的判断，是基础题.

3.（5分）（2024•安徽二模）已知复数2=〃+万（小左R）且f-（4+2/）x+4+ai=0有实

数根4则朗=（）

A.25/3B.12C.2代D.20

【考点】复数的模；复数的运算.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】。

【分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，以及复数模公式，即可求解.

【解答】解：/・（4+2/）x+4+R=0有实数根b,

则/?2-（4+2，）b+4+s=0,即（俗一2）2=0,解得〃=4,b=2,

ka-2b=0

故z=4+2i,

所以贝I］团=|z|2=42+22=20.

故选：。.

【点评】本题主要考查复数的模，属于基础题.

4.（5分）（2024•安徽二模）已知等边△ABC的边长为2,点D,E分别为4B,BC的中点,

若茄=2淳，则余•品=（）

465

A.1B.-C.-D.-

554

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】A

【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解.

【解答】解：己知等选△A8C的边长为2,点。，后分别为A8,3c的中点,

又法=2EF,

则命"AF=^DE•（公+而

=^1DfE\ArD+^3DrE）

13心

-+-

44

1T4T

=^ACAB+-^AC2

11?

=_X2X2X_+_X22

=1.

故选：A.

【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档

题.

%2y2

5.（5分）（2024•安徽二模）已知尸尸2是双曲线o•—£7=l（a>0,b>0）的左、右焦点，

若双曲线上存在点尸满足「句=一2。2,则双曲线离心率的最小值为（）

A.V6B.V5C.V3D.企

【考点】双曲线的性质.

【专题】转化思想；综合法：圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】C

【分析】设夕的坐标，代入双曲线的方程，求出数量积P%「P%2=宗］-庐/・『

-‘2-庐=-庐，再由椭圆可得”,”的关系，进而求出离心率的最小信.

%2y2

【解答】解：设尸(x,)，)，则|x|2a,所以f-77=l(a>0,b>0),

adb£

由题意可得21(-c,0),Fi(c,0),

TT%2

所以P&♦PF=Cx+cy)(x-c,y)=r-c2+y2=x2-c2+(--I)b2=

2t好aL

•a2-c2-Z>2=-序,

所以・2屋》・庐，即2,，W〃2,所以离心率e=「=|>VS.

a1次

故选：C.

【点评】本题考查双曲线的性质及数量积的运算，属于中档题.

6.(5分)(2024•安徽二模)在数列｛〃〃｝中，S〃为其前〃项和，首项m=l,且函数/a)

=9-a〃+isiiu+(2a〃+l)x+1的导函数有唯一零点，则S5=()

A.26B.63C.57D.25

【考点】数列与函数的综合.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；等差数列与等比

数列：数学运算.

【答案】C

【分析】根据题意，求出函数的导数/(X),分析可得/(公为偶函数，由此可得/

(0)=-a“+i+2a〃+l=0,即a〃+i=2a〃+l,由此求出。2、。3、04、45的值,进而计算可

得答案.

【解答】解：根据题意，函数/(x)=/-〃〃+isinx+(2a〃+l)x+1,其导数/'(x)=3.v2

-an+1cosx+(2a”+1),

易得，a)的定义域为R,

且，(-%)=/(x),则广(x)为偶函数，

若函数/<A)=X3-〃〃+i$inx+(2a“+l)x+l的导函数有唯一零点，必有f(0)=-a〃+i+2a〃+l

=0,

则有cin+1=2a〃+11

故42=2/1+1=3,03=2f/24-1=7,44=243+1=15,公=2。4+1=31,

故55=1+3+7+15+31=57.

故选：C.

【点评】本题考查数列的递推公式，涉及导数的计算，属于中档题.

7.(5分)(2024•安徽二噗)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)-2为奇函数，f

(3x+l)为偶函数，/(I)=0,则%字f(k)=()

A.4036B.4040C.4044D.4048

【考点】抽象函数及其应用：函数奇偶性的性质与判断.

【专题】计算题；方程思想：转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】。

【分析】根据题意，先由函数的对称性分析函数的周期，结合对称性可得f(I)力，(3)

=4,/(2)4/(4)=4.即/(I)4/(2)4/(3)V(4)=8,结合周期性分析可得答案.

【解答】解：根据题意，若/(x+2)-2为奇函数，则有/(-x+2)4/G+2)=4,

故/(#的图象关于点(2,2)对称，

又由/(3x+l)为偶函数，则/(-3x+l)=/(3x+l),

变形可得：/(-x)=f(x+2),则/(x)的图象关于直线工=1对称，

又由/(7+2)4/(X+2)=4,则有/(-幻4/(-x+2)=4,变形可得/Cr)4/G+2)

=4①，

由此可得：f(x+2)+/(x+4)=4(2),

联立①②可得：/(x+4)=f(x),则/(x)是周期为4的周期函数，

由于/(x)+f(x+2)=4,则/(I)4/(3)=4,/(2)+f(4)=4,

故/(I)V(2)4/(3)4/(4)=8,

故》曾"(2)4/(3)4/(4)+……4/(2024)=506X(/(1)+/(2)+f

(3)V<4)1=506X8=4048.

故选：。.

【点评】本题考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性和周期性，属于中档题.

8.(5分)(2024•安徽二模)已知直线/：Ax+By+C=0(AM2^0)与曲线VV：y=.p-x有

三个交点。、E、F,且|OE|=|EQ=2,则以下能作为直线/的方向向量的坐标是()

A.(0,1)B.(1,-1)C.(1,1)D.(1,0)

【考点】曲线与方程.

【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】C

【分析】由函数y=F-x的性质可得曲线卬的对称中心(()，())，即得七(0,0),再根

据给定长度求出由D的坐标即得.

【解答】解：显然函数/（x）的定义域为R,

/（-x）=（-x）3-（-x）=-/（x）,即函数/（1）是奇函数，

因此曲线W的对称中心为（0,0）,

由直线/与曲线卬的三个交点。，E,尸满足|。£|=|££1=2,得E（0,0）,

设。（》,X3-X）,则，+（A3-X）2=4,

令f=f,贝|J有％3-2户+21・4=0,

即（P+2）（r-2）=0,解得/=2,即X=±&，

因此点。（或，夜）或。［一VL-V2）,ED=（V2,或）或前=（一&，-V2）,

选项中只有坐标为（I,I）的向量与访共线，能作为直线/的方向向量的坐标是（1,1）.

故选：C.

【点评】本题考查了曲线与方程的应用，属于中档题.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

（多选）9.（6分）（2024•安徽二模）已知由样本数据5,yi）（/=!,2,3,…，10）组成

的一个样本，得到回归直线方程为y=-x+3,且5=4.剔除一个偏离直线较大的异常

点（・5,・1）后，得到新的回归直线经过点（6,-4）.则下列说法正确的是（）

A.相关变量x,y具有正相关关系

B.剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大

C.剔除该异常点后的回归直线方程经过点（5,-1）

D.剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小

【考点】线性回归方程.

【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】BC

【分析】利用回归直线方程的斜率判断A;根据样本相关系数的性质判断从求出去除异

常点后的回归直线方程，再分别计算判断CD.

【解答】解：由回归直线方程的斜率为-1,知变量力y具有负相关关系，A错误；

剔除一个偏离直线较大的异常点（-5,-1）后，拟合程度变大，故样本相关系数的绝

对值变大，8正确；

回归直线方程为y=-%+3,且M=4,则歹二一1,

剔除一个偏离直线较大的异常点（-5,-1）后，

得到新的歹=4''5=5,歹=-*+1=一],

故剔除该异常点后的叵归直线方程经过点（5,-1）,C正确；

新的回归直线经过点（6,-4）,

r**a

列方程组一l=bx5+a,解得。=]〃b=-3,

—4=匕x6+a

故剔除该异常点后的叵归直线方程为y=-3x+14,

斜率由-1变成-3,所以剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变大，。

错误.

故选：BC.

【点评】本题考查回归方程的应用，属于中档题.

（多选）10.（6分）（2024•安徽二模）在平面直角坐标系中，角8以坐标原点。为顶

点，以工轴的非负半轴为始边,其终边经过点加（4,8）,[0历1=〃?（〃?^0）,定义/（。）=等，

g（8）=譬，则（）

A.r哈）+.9/）=1

B.y（e）t/2（0）2o

C.若=2,则sE26=i

g（。）5

D./（9）g（0）是周期函数

【考点】任意角的三角函数的定义.

【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【答案】ACD

【分析】利用任意角的三角函数的定义可得/（0）=sin0+cose,（0）=sin0-cos0.再

利用三角函数的性质对四个选项逐一分析可得答案.

【解答】解：’•,/（。）=^^=sin8+cos。，g（O）==sin0-cos0.

7vzm八

；•f（看）+g。=2sin-=1,A正确；

令r=f⑹=sinO+cosO=VZsin令+今)e[-V2,V5],

2

则/⑹+Z（0）=/+P=（Z+l）2-1>_1（当且仅当仁一细取等号），B错误:

N44N

„/(0)sE8+cos8

若两=sini产则sinO=3cos。，即tan0=3.

2sE8cos8_2tan863

.*.sin28=。正确;

sin^e+cos2^tan20-Vl105'

V/(6)g(0)=(sin0+cos0)(sine-cosG)=sin20-cos20=-cos20»

・・・/（。）g（0）是周期函数（最小正周期周期为71）,。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义及其应用，属于中档题.

（多选）11.（6分）（2024•安徽二模）如图，多面体PS-4BCD由正四棱锥P-ABCQ和

正四面体S-P8C组合而成，其中PS=1,则下列关于该几何体叙述正确的是（）

A.该几何体的体积为二

B.该几何体为七面体

C.二面角A-P4-C的余弦值为一之

D.该几何体为三棱柱

【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积.

【专题】对应思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算.

【答案】ACD

【分析】选项A,可以分别求正四棱锥P-A5CO和正四面体S・P6C的体积即可；

选项C,先确定二面角4-P8-C的平面角为N4PC，在三角形中利用余弦定理可得；

选项B,通过计算易判断平面PBS与PBA为同一平面，平面POC和平面PDS也为同一

平面即可；

选项。，先根据二面角A-PB-C与二面角S-PB-C的关系确定P,A,B,S四点共面，

再证得平面SC8〃平面PAD,三个侧面都是平行四边形即可.

【解答】解，如图，在正四面体中S・"8C.中，G为/力的中点,

连接CG,连接SG,作SOJ_CG于。则。为△P8C的中心，50为正四面体中S-P8C

的高，

22

因PS=1,CG=与,CO=|CG=*,SO=y/SC-CO=,VS_PBC=|x|x

P^xCGxSO=|x|xlx^x^y=j|,

在正四面体中S-PBC中，G为PB的中点，所以SG_LPB,CGA.PB,

故4GS为二面角S-P3-C的一个平面角，

cos/CGS嚏=岩=雪J

-j"

如图，在正四棱锥P-A4co中，由题意PC=CB=1,

连接AC,RD交于点E,连接PE,则PF为正四棱锥P-/WCD的高,

则CE=*CB=寺,PE=VPC2-CE2=Jl2-（孝）2=孝，

所以Vp—.CD=|xCDx5CxPE=|xlxlx^=^,

该几何体的体积为UpSTBCD=^S-PBC+^P-ABCD==*,故人正确,

对于C,取P8的中点F,连接AF,CF,

由题意正四棱锥尸-A8CD的棱长都为1,所以4凡LPB,CFLPB,

故Z1FC即为二面角A-P4-C的一个平面角，

其中4尸=CF=字8C=苧，AC=y[2BC=V2,

/1；A一二-2（孚a+（,）2-（、②2]

在△AFC中，cosZAFC=_2ArcF=?%—=一可故C正确,

对于4,因cos/CGS=2=-cos41FC,可知二面角S-C与二面角4-PB-C所

成角互补，

故平面PBS与PBA为同一平面，同理，平面PDC和平面PCS也为同一平面，

故该几何体有5个面，故8错误；

对于。，因P,A,B,S四点共面，且△POC和aPCS都为等边三角形，

易知SC〃PD,HSC=PD,故侧面尸。CS为平行四边形，

又尸Qu平面抄1。，SC<t平面外。，所以SC〃平面以。，

同理58〃平面力。，且则面以BS为平行四边形，

乂SCnSB=S,SCu平面SCB,SBu平面5CB,

所以平面SC8〃平面阴。，又侧面ABCD为正方形，

故多面体PS-48CO因为三棱柱ADP-BCS,故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查了判断几何体是否为棱柱，求组合体的体枳，判断面面平行，求二面

角，属于中档题.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（5分）（2024•安徽二模）从某工厂生产的零件中随机抽取II个，其尺寸值为43,45,

45,45,49,50,50,51,51,53,57（单位：〃〃〃），现从这11个零件中任取3个,则

3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为三.

【考点】众数、中位数、平均数.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】卷.

【分析】分别求出11个零件的平均数49、第六十百分位数50,众数45,然后分另L求出

取出3个零件有165种，3个零件符合平均数、第六I百分位数、众数有6种情况，再

利用占典概率从而可求解.

【解答】解：由题意知II个零件的平均数为

43+454-45+45+49+50+50+51+51+53+57

-------------------------------------=49,

11

第六十百分位数的位置为IIX6（）%=6.6,即取第7位数50,故第六十百分位数为50,

由题可知众数为45,

所以当从II中取出3个零件共有仃】=165种情况，

则3个数分别为平均数49、第六十百分位数50,众数45共有C1C，C；=6种情况，

62

所以其概率为

1655o

故答案为：卷.

【点评】本题主要考查了平均数、百分位数和众数的定义，考查了古典概型的概率公式，

属于基础题.

13.（5分）（2024•安徽二模）已知偶函数/（x）=sin（u）x+（p）（w>0）的图像关于点卷，0）

3

中心对称，且在区间［0,勺上单调，则3=岩

【考点】正弦函数的图象.

【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算.

3

【答案】3

【分析】根据正弦函数性质即可得.

【解答】解：由/（X）是偶函数，得/（・x）=/（A）,即函数/（公的图像关于），轴对

称，

所以/（x）在x=0时取得最值，即sin（p=l或-I,取9=*,

由了（幻的图像关于点段，0）中心对称,

可知$讥（亨3+，）=0,-0）+—=kn,AGZ,解得3=3女—9（k£Z）,

又/（x）在区间［0,勺上是单调函数，所以即

所以（oW4,Xa）>0,所以当％=1时，u）=i.

故答案为：|.

【点评】本题考查三角函数性质，属于基础题.

14.（5分）（2024•安徽二模）若实数x,），满足/+『=25,则J50+8x+6y+,50+8x-6y

的最大值为_6V10.

【考点】函数的最值及其几何意义.

【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算.

【答案】6\/10.

【分析】由题意可知，V50+8x+6y+V50+8x-6y=V(x+4)2+(y+3)2+

jQ+4)2+(y_3)2,几何意义为圆?+/=25上的任意一点到点A(-4,-3)与6

(-4,3)的距离和，画出图形，再结合余弦定理和基本不等式求解即可.

【解答】解：因为实数x,y满足『+/=25,

所以J50+8x+6y+,50+8--6y=+y2+版+6y+25+

222222

Vx+y+8x-6y4-25=J(x4-4)+(y+3)+A/(x+4)+(y-3),

该式子的几何意义为圆入2+产=25上的任意一点到点A(-4,-3)与3(-4,3)的距

离和，如图所示：

则|4Q|=|AQ|=口+(4+5==3710,又因为|A阴=6,

由z\BQ\Z+\AQ\2-\AB\Z90+90-364

所以8SNAQB=诙命Q|一匚=2x333同=耳’

当点P在圆Ay2=25上运动时，始终有NAQ8=NAP氏

4

所以COS/APB=£

设抬尸|=/〃，18Pl=〃，

则由余弦定理可得，cosNAP8=病,第36=£

所以"2+"2_36=5mn,

所以(〃?+〃)2-2mn-36=fmn，

所以mn=-jg(rn+n)^—1以

又因为机>0,〃>o,则〃?，修结式，当且仅当用=〃时，等号成立,

4

所以卷(m+九)2一小誓必，

解得机+〃<6VT5，当且仅当m=〃=3VT5时，等号成立，

即J50+8十+6y+j50+8x-6y的最大值为6710.

故答案为：6国.

【点评】本题主要考查了两点间距离公式的应用，考查了余弦定理和基本不等式的应用，

属于中档题.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)(2024•安徽二模)已知函数/(%)=济x+W-QX，

(1)若/(x)在定义域内是减函数，求。的取值范围；

(2)当QV；时，求的极值点.

【考点】利用导数研穷函数的极伯：利用导数研究函数的单调性.

【专题】分类讨论；转化思想；分类法；转化法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】(1)成，+oo)；

I1—V1—4ci~

(2)当GWO时，/(x)无极值点；当OVQV多寸，函数/(外的极小值点为一：-----.极

【分析】(1)先由/久)在定义域内是减函数得出对于(0,+8),f(%)W0恒成

立，进而分离参数将问题转化为函数的最值，再利用基本不等式求解即可；

(2)分aWO和0VaV±两种情况讨论，在每一种情况中借助导数判断函数/G)的单

调性即可求解.

【解答】解：⑴由/'(%)=mx+W-QX，则广(x)=i-^-a=-^^(x>0).

因为/(x)在定义域内是减函数，所以对于必正(0,+8),f(x)W0恒成立，

即对于VxW(0,+8),or2-x+a20恒成立.

则对Vxe(0,+8),。之々恒成立.

-v*_LA

因为x>0,所以％+当且仅当x=l时等号成立,

则0V—1工亍所以

每22

故。的取值范围为核，十8).

aX+a

（2）因为广（x）=[-苴-Q=-x2Xe（0,+oo）,

所以当时，/（.v）>0,则函数人力="X+三一。不在（0,+8）上单调递增，此

时/（x）无极值点；

当0<aV*时，方程苏-工+〃=0的判别式A=1-4c2=（1-2a）（1+2a）>0,

l-Vl-4a2l+Vl-4a2

令/(x)>0,解得

l+Jl-4a2

令/(A-)<0,解得kV

l-Jl-4a2

则函数/（x）在（0,•）上单调递减,

在（I；”?,"J；：4a2）上单调递增,在（l+Jl-4a2

，+8）上单调递减,

1-Vl-4a21+vl-4a2

所以函数/a）的极小值点为一-——，极大值点为一-——.

2a2a

综上，当aW0时，/（x）无极值点；

11—71—4a21+V1—4a2

当0VaV±时，函数/（外的极小值点为———,极大值点为一--.

【点评】本题考查了利用函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性

与极值，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题.

16.（15分）（2024•安徽二模）据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100

次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，

多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任

务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于•航天行业拥有广阔的发展前

景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试

其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：

飞行距离x（kkm）5663717990102110117

损坏零件数y（个）617390105119136149163

参考数据:x=86,y=112,芍%=82743,Jf=i靖=62680.

（1）建立y关于x的回归模型y=bx+a,根据所给数据及回归模型，求），关于x的回

归方程（b精确到0.1,a精确到1）；

（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行

测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器

占比30%,请根据统计数据完成2X2列联表，并根据小概率值a=0.01的独立性检验,

能否认为推进器是否报废与保养有关？

保养未保养合计

报废20

未报废

合计60100

附：回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=刃

%C）

A2

Q=ybx,K2=（Q+b）（£d）（a2）S+d），〃—a+Hc+出

P（片2依）0.250.10.050.0250.010.0C1

ko1.3232.7063.8415.0246.63510.828

【考点】线性回归方程.

【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】（1）y=1.6X-26；

（2）补充2X2列联表如下:

保养未保养合计

报废61420

未报废542680

合计6040100

是否报废与是否保养有关，此推断的错误的概率不大丁0.01.

【分析】（1）根据最小二乘估计计算得到线性回归方程即可;

（2）写出2X2列联表，根据独立性检验公式计算比较即可.

82743-8x86x112

I解答】⑴由题意可知"=上尚警=

七『言「62680-8x86?

1.6

a=y-bx—26,

故），关于x的线性回归方程为y=1.6x-26.

（2）设零假设为M）：是否报废与是否保养无关，

由题意，报废推进器中保养过的共20X30%=6台，未保养的推进器共20-6=14台.

补充2X2列联表如下：

保养未保养合计

报废61420

未报废542680

合计6040100

川।2_100x(6x26-14x54)2

刑乂-20x40x60x80=9.375>6,635,

根于小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断〃。不成立，

即认为是否报废与是否保养有关，此推断的错误的概率不大于0.01.

【点评】本题考查回归方程的应