新高考数学一轮复习讲练测第2章第05讲 对数与对数函数（讲义）（原卷版）

第05讲对数与对数函数1、对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，那么数SKIPIF1<0叫做以SKIPIF1<0为底SKIPIF1<0的对数，记作SKIPIF1<0，读作以SKIPIF1<0为底SKIPIF1<0的对数，其中SKIPIF1<0叫做对数的底数，SKIPIF1<0叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为底，记为SKIPIF1<0，读作以SKIPIF1<0为底SKIPIF1<0的对数；②常用对数：以SKIPIF1<0为底，记为SKIPIF1<0；③自然对数：以SKIPIF1<0为底，记为SKIPIF1<0；(3)对数的性质和运算法则：①SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)；③对数换底公式：SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；⑦SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；⑧SKIPIF1<0；2、对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0叫做对数函数．对数函数的图象SKIPIF1<0SKIPIF1<0图象性质定义域：SKIPIF1<0值域：SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上增函数在SKIPIF1<0上是减函数当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0【解题方法总结】1、对数函数常用技巧在同一坐标系内，当SKIPIF1<0时，随SKIPIF1<0的增大，对数函数的图象愈靠近SKIPIF1<0轴；当SKIPIF1<0时，对数函数的图象随SKIPIF1<0的增大而远离SKIPIF1<0轴．(见下图)题型一：对数运算及对数方程、对数不等式【例1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）SKIPIF1<0______．【对点训练1】（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【对点训练2】（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）方程SKIPIF1<0的解集为________．【对点训练3】（2023·山东淄博·统考二模）设SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.【对点训练4】（2023·天津南开·统考二模）计算SKIPIF1<0的值为______.【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用a，b表示SKIPIF1<0____________【对点训练6】（2023·上海·高三校联考阶段练习）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【对点训练7】（2023·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0=____________；【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式SKIPIF1<0解集为_____．【对点训练9】（2023·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解集是__________.【对点训练10】（2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）方程SKIPIF1<0的解为_________．【解题方法总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0（a，b为常数，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【对点训练11】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的图象恒过定点（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【对点训练12】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【对点训练13】（2023·北京·高三统考学业考试）将函数SKIPIF1<0的图象向上平移1个单位长度，得到函数SKIPIF1<0的图象，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【对点训练14】（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）不等式SKIPIF1<0的解集为__________．【对点训练15】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值可以为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解题方法总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，则a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【对点训练16】（2023·新疆阿勒泰·统考三模）正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则a与SKIPIF1<0大小关系为______．【对点训练17】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值是2，则a等于_________【对点训练18】（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）在SKIPIF1<0上的最大值为2，最小值为m，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，则SKIPIF1<0的值是____________．【对点训练19】（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0有最小值，则SKIPIF1<0的取值范围是______．【对点训练20】（2023·河南·校联考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数:SKIPIF1<0_____.①SKIPIF1<0;②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减;③SKIPIF1<0为偶函数.【对点训练21】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的单调递区间为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【对点训练22】（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减C．SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称 D．SKIPIF1<0有最小值，但无最大值【对点训练23】（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调，则a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解题方法总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，任意SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是___________.【对点训练24】（2023·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为___________.【对点训练25】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是___________.【对点训练26】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，若对SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为___________.【对点训练27】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求a的值；(2)若对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围.【对点训练28】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的值域；（2）对任意SKIPIF1<0，其中常数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【解题方法总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题【例5】（多选题）（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则以下结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【对点训练29】（2023·海南海口·统考模拟预测）已知正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为______.【对点训练30】（多选题）（2023·广东惠州·统考一模）若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【对点训练31】（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是方程SKIPIF1<0和SKIPIF1<0