专项05 二次函数与几何图形的综合

专项05二次函数与几何图形的综合类型一线段最值问题1.(2023安徽合肥五十中期末)如图，抛物线y=-14x2+bx+c与x轴交于A(-2，0)，B(8，0)两点，与y轴交于点C.点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴于点D，(1)求抛物线的解析式；(2)求线段PE长度的最大值.类型二面积问题2.(2023四川泸州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+2x+c与坐标轴分别相交于A，B，C(0，6)三点，其对称轴为直线x=2.(1)求该抛物线的解析式.(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E.①当CD=CE时，求CD的长；②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3=2S2，求点F的坐标.类型三角度问题3.(2023浙江金华中考)如图，直线y=52x+5与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点P在直线AB上，与x轴的交点为C，D，其中点C的坐标为(2，(1)如图2，若抛物线经过原点O.①求该抛物线的函数表达式；②求BEEC(2)连接PC，∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明理由. 图1 图2类型四特殊三角形存在性问题4.(2023重庆中考B卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B(3，0)，C(0，(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来. 备用图类型五特殊四边形存在性问题5.(2023四川达州中考)如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3).(1)求抛物线的解析式.(2)设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标.(3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 备用图类型六相似三角形判定问题6.(2023湖北随州中考)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1，0)，B(2，0)和C(0，2)，点P(m，n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N.(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式.(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值.(3)P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)？若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 图1 图2 备用图

专项05二次函数与几何图形的综合答案全解全析1.解析(1)将A(-2，0)，B(8，0)代入y=-14x2+bx+c中，可得即抛物线的解析式为y=-14(2)当x=0时，y=-14x2+32设BC的解析式为y=kx+n，将B(8，0)，C(0，4)代入，得n解得n即BC的解析式为y=-12x+4∵直线PD⊥x轴，∴点P、E的横坐标相等，设为m，0<m<8，∴Em,-∴PE=-14m2∵0<m<8，∴当m=4时，线段PE的长取得最大值，最大值为4.2.解析(1)由题意得-∴抛物线的解析式为y=-12x2(2)令y=0，则-12x2+2x+6=0，解得x=6或x=-2∴点A，B的坐标分别为(-2，0)，(6，0).①设点Fm,-由点A，F的坐标得，直线AF的表达式为y=-12(m-6)(x+2)当x=0时，y=-12(m-6)(x+2)=6-m，即点D(0，6-m)，则CD=6-6+m=m由点B，C的坐标得，直线BC的表达式为y=-x+6，联立得y=−12由点C，E的坐标得CE=2∵CD=CE,∴m=22m8−m，解得m=0(舍去)或8-2②过点E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为点M，N，∵△CAD，△CDE，△CEF同高，∴其面积比为底边的比，∴S1+∵OD∥EM∥FN，∴ADDE∴AD+EF∴2xE+xF-xE由①知xE=2m8−m，x则3×2m8−m-m=2经检验，m=4是分式方程的根，则点F(4，6).3.解析(1)①∵抛物线经过原点O(0，0)，C(2，0)，∴其对称轴为直线x=1，当x=1时，y=52∴抛物线的顶点P的坐标为1,3设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+35把C(2，0)代入，得a+352=0，∴y=−35∴该抛物线的函数表达式为y=-35②∵直线y=52x+5与x轴、y轴分别交于点A∴A(-2，0)，B(0，5)，设直线OP的解析式为y=kx，把P1,352代入，∴直线OP的解析式为y=352如图a，过点B作BF∥x轴交OP于点F，则点F的纵坐标与点B的纵坐标相同，∴点F的纵坐标为5，在y=352x中，令y=5，则5=35∵BF∥OC，∴△BEF∽△CEO，∴BEEC 图a 图b(2)能.如图b，过点P作PF⊥x轴于点F，设Pm,52m+5，则F(m，0)，∴PF=5在Rt△APF中，AP2=AF2+PF2=(m+2)2+52m+52若∠CPE=∠BAO，∵∠PCD=∠ACP，∴△CPD∽△CAP，∴∠CDP=∠CPA，∵PC=PD，∴∠CDP=∠ACP，∴∠PCD=∠CPA，∴AP=AC，∴94m2+9m+9=16，解得m1=-143(舍去)，m2=∴∠CPE与∠BAO能相等，点P的横坐标为234.解析(1)由题意得c则抛物线的表达式为y=14(2)在y=14x2+则14x2+14x-3=0，由点A、C知，直线AC的表达式为y=-34x-3过点P作y轴的平行线交AC于点H，则∠PHC=∠ACO，则tan∠PHC=tan∠ACO=43易求得sin∠PHC=45，则PD=PH·sin∠PHC=45设点Hn,-34n−3，则点P(n，则PD=45PH=45(-34当n=-2时，PD的长取得最大值，最大值为45，此时点P-2,-(3)由题意可知点E的坐标为-2+5,-52，即平移后的抛物线的表达式为y=14(x−5)即y=14x则点F(0，2)，抛物线的对称轴为直线x=92设点Q92,m，则QF2=当QE=QF时，922+(m−2)2=94当QF=EF时，922+(m−2)2=9+81综上，点Q的坐标为925.解析(1)由题意，可设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)，则-3a=3，解得a=-1，故抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.(2)由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y=-x+3，过点P作y轴的平行线交CB于点H，连接PC，PB.设点P(m，-m2+2m+3)，则点H(m，-m+3)，则△PBC的面积=S△PHC+S△PHB=12PH·xP+12PH·(xB-xP)=1=12PH·OB=3∴△PBC的面积的最大值为278，此时点P3(3)存在.由题意可知，抛物线的对称轴为直线x=1，设点M(1，t)，N(x，y)，若BC为菱形BCMN的边，则BC2=CM2，即32+32=12+(t-3)2，解得t1=17+3,t2∵3+1=0+x,若BC为菱形BCNM的边，则BC2=BM2，即32+32=(3-1)2+t2，解得t3=14,t4=−∵3+∴N3(-2，14+3),N综上，点N的坐标为(4，-17)或(4，17)或(-2，14+3)或(-2，-14+3).6.解析(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1，0)，B(2，0)，∴抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-2)，将点C(0，2)代入得2=-2a，∴a=-1，∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-2)，即y=-x2+x+2.设直线BC的解析式为y=kx+t，将B(2，0)，C(0，2)代入得2k(2)∵点M在直线BC上，且P(m，n)，∴点M的坐标为(m，-m+2)，又C(0，2)，O(0，0)，∴OC=2，CM2=(m-0)2+(-m+2-2)2=2m2，OM2=m2+(-m+2)2=2m2-4m+4.当△OCM为等腰三角形时，①若CM=OM，则CM2=OM2，即2m2=2m2-4m+4，解得m=1；②若CM=OC，则CM2=OC2，即2m2=4，解得m=2或m=-2(舍去)；③若OM=OC，则OM2=OC2，即2m2-4m+4=4，解得m=2或m=0(舍去).综上，m=1或m=2或m=2.(3)存在.∵点P与点C相对应，∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB.①若点P在点B的左侧，则∠CBN=45°，BN=2-m，CB=22，当△POQ∽△CBN，即∠POQ=45°时，直线OP的表达式为y=x，∴-m2+m+2=m，解得m=2或m=-2(舍去)，∴P(2∴OP2=(2)2+(∵OPBC=OQBN当△POQ∽△CNB，即∠PQO=45°时，PQ=2m，OQ=-m2+m+2+m=-m2+2m+2或OQ=m-(-m2+m+2)=m2-2，∵PQCB解得m=1±5(舍去)或2m22=m∴P1+13②若点P在点B的