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文档简介

三重积分9.3.1三重积分的概念9.3.2三重积分的计算9.3.1三重积分的概念①分割：③求和：④取极限:例9.3.1已知物体占有的空间有界闭区域物体在点求出第i小块物体质量的近似值任取②近似：表示第i

个小区域，将让分割越来越细，得到质量的精确值任意分割成n个闭区域处的密度，且在表示上连续，求该物体的质量

所求物体质量的近似值①分割：③求和：④

取极限:则称此极限值为定义9.3.1：设是空间有界闭区域上的作乘积任取②近似：表示第i

个小区域，也表示该区域的体积，将如果极限值存在，在区域记为任意分割成n个闭区域上的三重积分，有界函数称为体积元素,

在直角坐标系下常写作注意(1)连续必可积(2)(3)若表示物体在处的密度，表示物体占有的空间闭区域，则表示该物体的质量(4)若则体积1.直角坐标系下计算三重积分设积分区域由在面上的投影区域为9.3.2三重积分的计算特点：用平行于z

轴的直线穿越闭区域与边界曲面最多只有两个交点，是在xoy

面上的投影方法1投影法

则三次积分把区域投影到xoz

平面或者yoz

平面，方法一样其中

为三个坐标例9.3.2

计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面投影区域方法2截面法(“先二后一”)有时三重积分可化为先计算二重积分，再计算定积分适用于被积函数只含一个变量设积分区域是竖坐标为的平面截闭区域所得的一个平面闭区域，则其中

为三个坐标例9.3.3计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面用平面截得平面就称为点M

的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:2.柱面坐标系下计算三重积分因此体积元素为其中坐标面分别为圆柱面半平面平面适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.其中

由例9.3.4计算三重积分解:及平面原式设则所围成的闭区域例9.3.5

计算三重积分解:其中积分区域因为积分区域关于三个坐标面都对称，且被积函数是变量的奇函数，所以一般地，当积分区域关于xoy平面对称时，如果被积函数是关于z的奇函数，则三重积分为零；如果被积函数是关于z的偶函数，则一般地，当积分区域关于xoy平面对称时，如果被积是关于z的奇函数，则三重积分为零

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