5.7.1 三角函数的应用（教材完美复刻）课件 人教A版2019版必修一 原创VIP

高中数学/人教A版/必修一教材内容完美复刻第五章

三角函数5.7三角函数的应用现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用．

问题1某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据如表5.7-1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y-20.0-17.8-10.10.110.317.720.017.710.30.1-10.1-17.8-20.0．根据已知数据作出散点图，如图5.7-1所示．．现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；．,练习（第244页）1．如图所示的是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？（2）写出这个简谐运动的函数解析式．．．即最大偏角约为0.1203rad.．．3．一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图所示．由图象说明它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U（单位：V）关于时间t（单位：s）的函数解析式．．匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律．在现实生活中也有大量运动变化现象，仅在一定范围内呈现出近似于周期变化的特点，这些现象也可以借助三角函数近似地描述．．

一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围．,．,例2

海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．表5.7-2是某港口某天的时刻与水深关系的预报．时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m0：005.09：182.518：365.03：067.512：245.021：422.56：125.015：307.524：004.0(1)选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确到0.001m）.．,由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值（表5.7-3）：时刻01234567891011水深/m5.0006.2137.1227.4977.2456.4285.2534.0143.0232.5292.6563.372时刻121314151617181920212223水深/m4.4975.7486.8127.4207.4206.8125.7484.4973.3722.6562.5293.023(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久?由计算器可得:．因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．．．,(3)某船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船这一天在2：00开始卸货，吃水深度以0.3m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4h才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域?在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在6～8时之间两个函数图象有一个交点.因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．．

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”、观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．练习（第248页）乙点的位置将移至它关于x轴的对称点处.2．自出生之日起，人的体力、情绪、智力等心理、生理状况就呈周期变化．根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种．这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天．每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段．以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说11.5天、14天、16.5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日．临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置（平衡位置），请根据自己的出生日期，绘制自己的体力、情绪和智力曲线，并总结自己在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力．生物节律是自然进化赋予生命的基本特征之一,人类和一切生物都要受到生物节律的控制与影响。人体生物节律是指体力节律、情绪节律和智力节律。

每个人从他出生那天起一直到生命终结,都存在着体力23天、情绪28天、智力33天的周期性波动规律,称为人体生物节律。每一个周期中又存在着高潮期、低潮期和临界期。由于它具有准确的时间性，因此，也称之为人体生物钟。在我们日常生活中，有人会觉得自己的体力、情绪或智力有时很好，有时很坏，人从他诞生之日起，直至生命终结，其自身的体力、情绪和智力都存在着由强至弱、由弱至强的周期性起伏变化。人们把这种现象称作生物节律，或生物节奏、生命节律等。产生这种现象的原因是生物体内存在着生物钟，它自动地调节和控制着人体的行为和活动。20世纪初，德国医生菲里斯和奥地利心理学家斯瓦波达经过长期临床观察，发现了人体生物节律。人体生物节律的发现，引起了人们比较广泛的注意。1937年，国际上召开了首届生物节律的国际会议。1960年，在美国召开的生物节律的国际会议，标志着生物节律学的研究已经走上了一个新的阶段。人体生物节律，其基本理论认为:人体生理状况从体温、血压到各器官的新陈代谢及精神状态，都有其周而复始的循环规律。这种规律是能够测定的，现在一般采用电子计算机计算的方法。菲里斯和斯瓦波达发现，人体生物节律中的体力周期是23天，情绪周期是28天，智力周期是33天。生物节律(生物钟)广泛存在于大自然的各种生命活动中，是上亿年内生物在其发生和进化过程中，为了与环境变化相适应而逐渐形成的内源性的与自然环境周期性变化相似的节律性的生命活动。从蓝藻到人类，几乎所有生物体的生理、代谢活动和行为过程都表现出以24小时为周期的昼夜节律性。人们最熟悉的昼夜节律是每天的睡眠一觉醒节律。人体生物节律一词，代表人体内的生理——生物循环。人体生物节律，是指人的体力、情绪和智力的周期循环。科学家对人体研究结果表明，人的体力循环周期为23天，情绪循环周期为28天，智力循环周期为33天。这三个近似月周期的循环，统称为生物节律，在每一周期内有高潮期、低潮期、临界日和临界期。人体生物节律理论认为，这些循环从人出生的那时刻开始，就分别按各自的周期循环变化，首先进入高潮期，然后经过临界日变换为低潮期，按正弦曲线的规律持续不断地变化，一直到生命结束为止。当这些循环处于高潮期，人们的行为处于最佳状态，体力旺盛，情绪高昂、智力开阔；当循环处于低潮期，体力衰减，耐力下降，情绪低落、心神不宁，反应迟钝，智力抑制，工作效率低。特别是临界期，体内生理变化剧烈，各器官协调机能下降，容易发生错误行为。

习题5.71．天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化．如图所示为一造父变星的亮度随时间的周期变化图．此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？变星的亮度变化周期为5.5天；最亮时约是3.7等星；最暗时约是4.4等星．（1）小球在开始振动（即t=0）时的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？（3）经过多少时间小球往复运动一次？（4）每秒钟小球能往复振动多少次？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2cm.．3．北京天安门广场的国旗是每天在日出时随太阳升起，在日落时降旗．请根据年鉴或其他参考资料，统计过去一年不同日期的日出和日落时间．（1）在同一直角坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？5：154．夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上，为保证居民空调制冷