2024学年湖南衡阳县四中高二数学第一学期期中考试卷附答案解析

学年湖南衡阳县四中高二=第一学期期中考试=数学试卷（B卷）

一、选择题（每小题5分，共40分）1．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是()A.与 B.与 C.与 D.2．已知空间向量，，且，则()A.10 B.6 C.4 D.3．过下列两点,的直线的斜率为()A.1 B.0 C.-1 D.不存在4．圆的圆心到直线的距离为()A.2 B. C.1 D.5．平面内点P到,的距离之和是10,则动点P的轨迹方程是()A. B. C. D.6．已知直线l的方向向量是,平面的一个法向量是,则l与的位置关系是()A. B.C.l与相交但不垂直 D.或7．已知圆：与圆：外切，则r的值为()A．1 B．5 C．9 D．218．已知直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为()A. B. C. D.二、多项选择题（每小题6分，共18分）9．已知的三个顶点,,,则下列说法正确的是()A.直线AC的斜率为B.直线AB的倾斜角为锐角C.BC边的中点坐标为D.BC边上的中线所在的直线方程为10．已知圆与直线,下列选项正确的是()A.圆的圆心坐标为 B.直线过定点C.直线与圆相交且所截最短弦长为 D.直线与圆可以相离11．如图,在正方体中,E,F分别为的中点,则()A.B.平面C.平面D.直线DF与直线CE所成角的余弦值为三、填空题（每小题5分，共15分）12．已知直线，直线．若，则实数a的值为______．13．方程表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是__________.14．欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为______.四、解答题（共77分）15．（13分）求满足题意的直线方程:（1）求过点,斜率是直线的斜率的的直线方程;（2）求过点,且在x轴上的截距等于在y轴上截距的直线方程.16．（15分）已知圆C上有两个点，，且AB为直径.（1）求圆C的方程；（2）已知，求过点P且与圆C相切的直线方程.17．（15分）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点，且与椭圆有相同的焦点．(2)经过两点，．18．（17分）如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线，所成角的余弦值.19．（17分）如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面,,E是的中点,作交于点F.（1）求证：平面;（2）求平面与平面的夹角的大小.

期中考试数学参考答案1．答案：D解析：因为，则四边形是平行四边形，结合题图，，A错误；，B错误；与方向不相同，C错误；，D正确.故选：D.2．答案：C解析：因为，所以，即，，则.故选：C.3．答案：A解析：由斜率的坐标计算公式可知过两点，的直线的斜率为.故选：A.4．答案：D解析：圆心为，点到直线的距离为.故选D.5．答案：B解析:由题意,平面内点P到,的距离之和是10,动点P的轨迹为椭圆,焦点在轴上,,,解得:,,轨迹方程为:,故选:B.6．答案：D解析：7．答案：A解析：因为圆与圆外切，所以，解得.故选：A8．答案：D解析：依题意，得圆心，半径，直线恒过定点.，点D在圆C内部，的值最小时，直线AB与CD垂直.又，.故选D.9．答案：CD解析：对于A,直线AC的斜率为,故A错误;对于B,直线AB的斜率为,所以直线AB的倾斜角为钝角,故B错误;对于C,设BC边的中点为,则,即点,故C正确;对于D,BC边上的中线AD所在的直线方程为,整理得,故D正确.故选:CD.10．答案：AC解析：对于A中,由圆,可得圆的圆心坐标为,半径为,所以A正确;对于B中,由直线,可化为,令,解得,,所以直线恒过点,所以B不正确;对于C中,由圆心坐标为和定点,可得,根据圆的性质,当直线与CP垂直时,直线与圆相交且所截的弦长最短,则最短弦长为,所以C正确;对于D中,由直线恒过定点,且,即点在圆内,所以直线与圆相交,所以D不正确.故选：AC.11．答案：AD解析：以点D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,,,,,.,,,.A选项,因为,所以,A正确.B选项,设平面的法向量为,则,令得,,,故,因为,所以与不垂直,则直线DF与平面不平行,B错误.C选项,若平面,则.因为,所以直线BF与直线不垂直,矛盾,C错误.D选项,,D正确.故选:AD12．答案：1或解析：因为直线，直线，且，所以，解得或.故答案为：1或.13．答案：解析：由题意可得解得,故实数k的取值范围是.故答案为：.14．答案：/解析：依题意，解得，所以圆，即，故圆心坐标为，即的外心坐标为，又的重心坐标为，又点、均在直线上，所以的欧拉线方程为.故答案为：.15．答案：（1）（2）或解析：（1）斜率是直线的斜率的的直线斜率,利用斜截式可得:,化为一般式:.（2）直线经过原点时满足条件,可得直线方程为:,即;直线不经过原点时,截距不为0,设直线方程为:,把点代入可得:,解得,化为一般式:;综上:所求直线为或.16．答案：（1）（2）解析：（1）因为圆C的直径为AB，故其圆心为，其半径为，故圆C的方程为：.（2）因为，故P在圆C上，连接PC，而直线的斜率：，故圆C在P处的切线的斜率为，故所求切线的方程为：.17．答案：(1)(2)解析：(1)因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且．设所求椭圆的标准方程为．因为所求椭圆过点，所以有①又，②由①②解得．故所求椭圆的标准方程为．(2)设椭圆方程为，且，在椭圆上，所以，则椭圆方程.18．答案：（1）证明见解析；（2）解析：（1）证明：连几何体为正方体，，，平面，平面，平面；（2）以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系.令，可得点D的坐标为，点E的坐标为，点F的坐标为，点B的坐标为，，，所成角的余弦值为.19．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系,设.依题