山西省大同市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 含解析

大同市2024—2025学年度第一学期期中高一年级教学质量监测数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.5.本试卷共4页，满分100分，考试时间90分钟一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集定义计算即可.【详解】由题设得，故选:A.2.下列关于，的关系中，是的函数的是（）A.B.C.D.123400-61【答案】D【解析】【分析】利用函数的定义逐项分析判断.【详解】对于A，不等式的解集为，不是的函数，A不是；对于B，当时，有两个与对应，不是的函数，B不是；对于C，当时，有两个与对应，不是的函数，C不是；对于D，对于的每一个值，都有唯一值与之对应，是的函数，D是.故选：D3.设，，则下列不等式中不正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】运用函数单调性判定A，B，运用作差法判定D，运用特殊值判定C.【详解】解析：因为在0,+∞上是增函数，所以，故A正确；因为在0,+∞上是减函数，所以，故B正确；当时，，所以C错误；因为；所以.故D正确.故选：C.4.如图是某高一学生晨练时离家距离与行走时间之间的函数关系的图像.若用黑点表示该学生家的位置，则该同学散步行走的路线可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定的图象，结合选项判断得解.【详解】观察函数图象知，有一段时间该同学离家距离保持不变，选项ABC中，路线上的点离家距离是变化的，选项D中的路线符合要求.故选：D5.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可解题.【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，所以该命题的否定为“，”.故选：C6.，若是的最小值，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式，先求出当时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可．【详解】解：当时，，当且仅当：，即时，等号成立，此时函数的最小值为，若，则函数的最小值为，此时不是的最小值，此时不满足条件，若，则要使是的最小值，则满足，即解得，，，故选：D．7.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件定义判断即可.【详解】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.故选：B.8.已知正实数，满足，则的最小值是（）A.25 B.16 C.18 D.8【答案】B【解析】【分析】利用代换1法，结合均值不等式来求最小值.【详解】由展开变形得，则，因为，，所以原式，当且仅当，即，时等号成立.故选：B.二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分9.若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则xy，，且当时，，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是（）A.整数集是“紧密集合”B.实数集是“紧密集合”C.“紧密集合”可以是有限集D.若集合A是“紧密集合”，且x，，则【答案】BC【解析】【分析】根据“紧密集合”具有的性质逐一排除即可.【详解】A选项：若，，而，故整数集不是“紧密集合”，A错误；B选项：根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确；C选项：集合是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；D选项：集合是“紧密集合”，当，时，，D错误．故选：BC.【点睛】新定义题目的关键在于正确理解定义，从题意入手.10.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（）A.若为的跟随区间，则B.函数存在跟随区间C.若函数存在跟随区间，则D.二次函数存在“3倍跟随区间”【答案】ACD【解析】【分析】A，由已知可得函数在区间上单调递增，进而可以求解的值；B，假设存在跟随区间，则根据跟随区间条件求解，的值，结合函数图象进行判断；C，先设跟随区间为，则根据跟随区间满足的条件建立方程组，找出，的关系，然后统一变量表示出，列出关于的关系式，利用方程思想求解的取值范围，D，若存在3倍跟随区间，则设定义域为，值域为，由此建立方程组，再等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解．【详解】选项：由已知可得函数在区间,上单调递增，则有，解得或1（舍，所以，正确；选项：若存在跟随区间，又因为函数在单调区间上递减，图象如图示，则区间一定是函数的单调区间，即或,则有，解得，此时异号，故函数不存在跟随区间，不正确；选项：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，若存在跟随区间，则有，即，两式作差得：，即，又，所以，得，所以，设，则，即在区间上有一个实数根，只需：，解得，正确；选项：若函数存在3倍跟随区间，设定义域为，值域为，当时，函数在定义域上单调递增，则，是方程的两个不相等的实数根，解得或，故存在定义域为使得值域为，正确，故选：ACD.【点睛】关键点点睛：根据新的定义求解参数或者是判断函数是否符合新定义，考查学生的理解新知识运用新知识的能力，解答时要能根据新定义，灵活求解，综合性较强.三、填空题：本题共2小题，每小题4分，共8分.11.若二次函数的图像过原点，且，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由图象过原点知二次函数解析式中不含常数项，即可设，写出，用表示出后可得出其范围．【详解】设，∵图象过原点，∴，即，∴，，，∴，又，∴，故答案为．【点睛】本题考查不等式的性质，解题时需把作为一个整体，用它们表示出，然后再求取范围，如果由，得出，，然后再求的范围，就是错误的．12.已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为_________.【答案】【解析】【分析】由题设易得，令并判断其单调性、奇偶性，进而求不等式的解集.详解】由，得，因为，，所以，即，设，则在上单调递减，而，则，解得；因为为上的奇函数，所以，则为上的偶函数，故在上单调递增，而，则，解得；综上，原不等式的解集为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据指数幂运算法则将原式转化为即可求值；（2）利用立方和公式化简因式分解再求值.【详解】（1）原式；（2）原式.【点睛】此题考查根据指数幂的运算法则求代数式的值，利用整体代换，涉及因式分解.14.已知函数，且.（1）求的值；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用可得答案；（2）利用在上是增函数可得答案.小问1详解】因为，所以，即，所以；【小问2详解】由于，所以其定义域为，又在上是增函数，由可得，解得，所以实数的取值范围为.15.设函数，．（1）当时，求的最大值和最小值；（2）若函数的最小值为，求．【答案】（1）最大值，最小值；（2）．【解析】【分析】（1）利用二次函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值；（2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，由此可得出的表达式.【详解】（1）当时，，其中，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，因为，，，因此，，；（2）二次函数图象的对称轴为直线.①当时，即时，函数在上单调递增，故；②当时，即时，函数在单调递减，故；③当，即时，.综上，．16.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．【答案】（1）0；（2）见解析；（3）【解析】【详解】试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f(－x)和f(x)的关系；（3）先利用f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2得到f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16).再根据单调性列出不等式求解即可.(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．17.某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为时，该公司对函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立.(1)现有两个奖励函数模型：①；②.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围.【答案】(1)函数模型：②符合公司要求；(2)．【解析】【分析】(1)由判断函数模型：①不符合条件③，故不符合公司要求；一一验证函数模型：②满足题目给出的三个条件，说明函数模型：②符合公司要求；(2)由说明符合条件①，再求解基本不等式及基本不等式取最值时满足的条件求出a满足②③的范围，取交集即可．【详解】(1)对于函数模型：①，验证条件③：当时而即不成立，故不符合公司要求；对于函数模型：②，当时，条件①是增函数满足；∴，满足条件②；对于条件③：记则∵∴当时，∴恒成立，即条件③也成立.故函数模型：②符合公司