25.1 求概率的方法 同步练习

第二十五章概率的求法与应用25.1求概率的方法基础过关全练知识点1用直接列举法求概率1.(2022湖南永州中考)李老师准备在班内开展“道德”“心理”“安全”三场专题讲座，若三场讲座随机安排，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为（）A.16 B.14 C.132.一个机器人在一条直线上移动，每次只能向左或向右移动一个单位长度，移动2次后它回到出发位置的概率等于（）A.23 B.12 C.143.(2022四川雅安中考)从-1，0，2中任取两个不同的数求和，则和为正数的概率为.

4.孙悟空、猪八戒、沙僧三人随机站成一横排照相.(1)孙悟空的位置在左一的概率为；

(2)求孙悟空与猪八戒相邻的概率.知识点2用列表法求概率5.(2022北京中考)不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A.14 B.13 C.126.如图，现分别旋转两个标准的转盘(左边的转盘被二等分，右边的转盘被三等分)，则指针所指的两个数字之积为奇数的概率是（）A.35 B.13 C.127.(2022贵州毕节中考)甲乙两人参加社会实践活动，随机选择“做环保志愿者”和“做交通引导员”这两项中的一项，那么两人同时选择“做环保志愿者”的概率是.

8.同时掷两枚质地均匀的骰子(骰子六个面上的点数分别代表1，2，3，4，5，6).计算下列事件发生的概率：(1)两枚骰子的点数相同；(2)至少有一枚骰子的点数为3.知识点3用画树状图法求概率9.(2021山东东营中考)经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐，假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（）A.29 B.13 C.4910.(2022北京平谷二模)甲、乙、丙、丁四名同学随机组合，两两一组做游戏，则甲与乙恰好被分在同一组的概率是（）A.16 B.14 C.1311.小颖有两件上衣，分别为红色和黑色，有三条裤子，分别为蓝色、黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好为红色上衣和白色裤子的概率是.

12.工厂从三名男工人和两名女工人中，随机选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为.

13.将一枚普通硬币连掷三次，分别求硬币落地后“三次正面朝上”“三次反面朝上”“两次正面朝上，一次反面朝上”“两次反面朝上，一次正面朝上”的概率.知识点4用频率估计概率14.在综合实践活动中，小明、小亮、小颖、小静四位同学用投掷图钉的方法估计针尖朝上的概率，他们的实验次数分别为20、50、150、200，其中实验相对科学的同学是（）A.小明 B.小亮 C.小颖 D.小静15.(2022辽宁抚顺中考)质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如表所示：抽检产品数n合格产品数m合格率m100890.8901501340.8932001790.8952502260.9043002710.9035004510.90210009040.904在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是(结果保留一位小数)，恰好是不合格产品的概率约是(结果保留一位小数).

16.一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率在20%附近波动，估计口袋中白球有个.

17.(2022北京房山期末)苗木种植不仅绿了家园，助力脱贫攻坚，也成为乡村增收致富的“绿色银行”.小王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：移植棵数n成活棵数m成活率m50470.9402702350.8704003690.9237506620.883150013350.890350032030.91570006335902根据以上信息，回答问题：(1)当移植的棵数是7000时，表格记录成活的棵数是，那么成活率x=；

(2)随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.9附近波动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是；

(3)若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活；

(4)若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵，此结论正确吗?说明理由.能力提升全练18.(2022北京门头沟一模)某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（）A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B.一副只有四种花色的52张普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是4D.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球19.(2022河南中考)为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为.

20.(2022北京丰台期末)小红利用计算机模拟“投针实验”：在一个平面上画一组间距d=0.73cm的平行线，将一根长l=0.59cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一条直线相交，也可能与所有直线都不相交，如图显示了小红某次实验的结果，那么可以估计出针与直线相交的概率是(结果保留小数点后两位).

21.(2022四川成都中考)如图，已知☉O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆.现假设可以随意在大正方形内取点，则这个点取在阴影部分的概率是.

22.(2022江苏无锡中考)建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为A1，A2，A3，A4，女生分别记为B1，B2，B3.学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动.(1)若任意抽取1位学生，则抽取的学生为女生的概率是；

(2)若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出解答过程)23.(2022北京第四十四中学期末)有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个除数字外其余都相同的球，它们分别写有数字-2，2；乙口袋中装有三个除数字外其余都相同的球，它们分别写有数字-5，m，5.小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数字记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数字记为b.若a<b，则小明胜；若a=b，则为平局；若a>b，则小刚胜.(1)若m=-2，用画树状图或列表的方法分别求出小明、小刚获胜的概率；(2)当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同?写出一个符合条件的整数m的值，并说明理由.素养探究全练24.“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1>A2>B1>B2>C1>C2(注：A>B表示A马与B马比赛，A马获胜).一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，比赛时，田忌采用孙膑的策略：分别用自己的下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵(C2A1，A2B1，B2C1)获得了整场比赛的胜利.假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：(1)如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，那么他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利?并求其获胜的概率；(2)如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，那么他是否必败无疑?若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率.

第二十五章概率的求法与应用25.1求概率的方法答案全解全析基础过关全练1.C一共有6种等可能的结果，其中第一场是“心理”专题讲座的结果有2种，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为26=132.B移动2次可能出现的情况：左左，左右，右右，右左，每种情况都是等可能的，其中移动2次后它回到出发位置的情况有2种，则移动2次后它回到出发位置的概率=24=123.2解析-1+0=-1，-1+2=1，0+2=2，所以任取两个不同的数求和一共有3种等可能的情况，其中和为正数的情况有2种，所以从-1，0，2中任取两个不同的数求和，和为正数的概率为234.解析(1)三人随机站成一横排照相，共有6种等可能的结果，分别是(孙悟空，猪八戒，沙僧)，(孙悟空，沙僧，猪八戒)，(猪八戒，孙悟空，沙僧)，(猪八戒，沙僧，孙悟空)，(沙僧，孙悟空，猪八戒)，(沙僧，猪八戒，孙悟空)，而孙悟空的位置在左一的结果有2种，∴孙悟空的位置在左一的概率为26=1(2)∵共有6种等可能的结果，其中孙悟空与猪八戒相邻的结果有4种，分别是(孙悟空，猪八戒，沙僧)，(猪八戒，孙悟空，沙僧)，(沙僧，孙悟空，猪八戒)，(沙僧，猪八戒，孙悟空)，∴孙悟空与猪八戒相邻的概率是46=25.A列表如下：红绿红(红，红)(绿，红)绿(红，绿)(绿，绿)共有4种等可能的情况，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况有1种，所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为14，B由题意列表如下：左转盘积右转盘12112224336从表中数据可知，共有6种等可能的结果，其中积为奇数的结果有2种，所以积为奇数的概率是26=17.1解析甲乙两人随机选择“做环保志愿者”和“做交通引导员”这两项中的一项，所有可能出现的结果如下：甲乙

做环保志愿者做交通引导员做环保志愿者做环保志愿者做环保志愿者做交通引导员做环保志愿者做交通引导员做环保志愿者做交通引导员做交通引导员做交通引导员共有4种等可能的结果，其中两人同时选择“做环保志愿者”的结果有1种，所以两人同时选择“做环保志愿者”的概率为148.解析列表如下：第1枚第2枚

1234561(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)2(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)(5，2)(6，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5)(5，5)(6，5)6(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)(1)由表可知，共有36种等可能的结果，其中两枚骰子的点数相同的结果有6种，∴P(两枚骰子的点数相同)=636=1(2)共有36种等可能的结果，其中至少有一枚骰子的点数为3的结果有11种，∴P(至少有一枚骰子的点数为3)=11369.A画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果有2种，∴恰好有一车直行，另一车左拐的概率为29，10.C画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲、乙恰好在同一组的结果有4种，∴甲、乙恰好在同一组的概率为412=1311.1解析画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中恰好为红色上衣和白色裤子的结果有1种，∴恰好为红色上衣和白色裤子的概率为1612.3解析画树状图如图：共有20种等可能的结果，其中这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，∴这两名工人恰好都是男工人的概率为620=313.解析画树状图如下：共有8种等可能的结果，“三次正面朝上”的结果有1种，所以P(三次正面朝上)=18“三次反面朝上”的结果有1种，所以P(三次反面朝上)=18“两次正面朝上，一次反面朝上”的结果有3种，所以P(两次正面朝上，一次反面朝上)=38“两次反面朝上，一次正面朝上”的结果有3种，所以P(两次反面朝上，一次正面朝上)=3814.D实验相对科学的是实验次数最多的小静.15.0.9；0.1解析由表格中的数据得，产品的合格率在0.9附近波动，故恰好是合格产品的概率约是0.9，恰好是不合格产品的概率约是1-0.9=0.1.16.8解析设口袋中白球有x个，根据题意，得22+x×100%=20%，解得x=8，经检验，x=8是原方程的根且符合题意，17.解析(1)6335；0.905.(2)0.9.(3)9000棵.(4)此结论错误，理由：∵随着移植棵数的增加，树苗成活的频率在0.9附近波动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.9，0.9×20000=18000(棵)，但概率0.9是由频率估计的，实际情况可能不是0.9，故若小王移植20000棵这种树苗，不一定成活18000棵.能力提升全练18.C由题图可知，这个实验的频率在0.15~0.20之间.A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为13；B.一副只有4种花色的52张普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是1352=14；C.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是4的概率为16；D.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为23.∵只有16在0.15~0.19.1解析画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和丙的结果有2种，∴恰好选中甲和丙的概率为212=120.0.51解析在大量重复实验中，根据用频率估计概率的方法可估计出针与直线相交的概率是0.51.21.π−2解析如图，作OD⊥CF于D，设☉O与AE切于点B，连接OB，OA，OC，设☉O的半径为r，∵☉O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆，∴OB=OC=r，△AOB、△COD是等腰直角三角形，∴AB=OB=r，OD=CD=22r∴AE=2r，CF=2r，∴这个点取在阴影部分的概率是πr2−22.解析(1)37(2)解法一(画树状图法)：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的结果有6种，∴抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率为612=1解法二(列表法)：列表如下：A1A2A3A4B1A1，B1A2，B1A3，B1A4，B1B2A1，B2A2，B2A3，B2A4，B2B3A1，B3A2，B3A3，B3A4，B3共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的结果有6种，∴抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率为612=123.解析(1)画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a<b的结果有2种，a>b的结果有3种，∴小明获胜的概率为26=13，小刚获胜的概率为36(2)根据题意列表可得：Ab

-22-5(-2，-5)(2，-5)m(-2，m)(2，m)5(-2，5)(2，5)一共有6种等可能的情况，其中a>b的情况有2种，a<b的情况有2种，未知情况有2种：(-2，m)和(2，m).当-2>m，且2<m时，小明与小刚获胜的概率相同，此时m<-2，且m>2，无解，舍去；当-2<m，且2>m时，小明与小刚获胜的概率相同，此时-2<m<2；当-2=m，且m=2时，小明与小刚获胜的概率相同，此时m=-2，且m=2，无解，舍去.综上，当-2<m<2(m为整数)时，小明与小刚获胜的概率相同，故m可以取-1，0，1.当m为0时，小明和小刚获胜的概率相同.理由：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a<b的结果有3种，a>b的结果有3种，∴小明获胜的概率=小刚获胜的概率=36=1素养探究全练24.解析(1)田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜.此时，比赛的所有可能的对阵为(C2