数学课堂导学案：平面向量共线的坐标表示

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1。向量共线条件的坐标表示【例1】平面内给定三个向量a=（3,2），b=（—1，2）,c=(4,1),若(a+kc）∥（2b-a）。求实数k的值.a+kc与2b-a是同向还是反向？思路分析:将a、b、c的坐标代入a+kc和2b-a并分别求出其坐标，利用两向量共线的条件即可求得k值.a+kc与2b—a是同向还是反向可表示为a+kc=λ(2b—a），依据λ的正负判断。解：∵（a+kc）∥（2b—a），又a+kc=(3,2)+k（4，1)=（3，2）+（4k，k)=（3+4k,2+k），2b—a=2(-1,2)-(3，2)=（—2,4）-(3，2)=（—5,2），∴2×(3+4k)—（-5）（2+k）=0。∴k=。此时a+kc=(3，2）+(）(4,1)=（，)，2b—a=2(—1，2)-(3，2)=(5，2），∴a+kc=(2b-a)。∵＜0,∴a+kc与2b—a反向.温馨提示两向量共线的条件有两种形式，在解题时应根据情况适当选用。2。向量共线条件的应用【例2】如果向量=i-2j,=i+mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,试确定实数m的值使A、B、C三点共线.思路分析：根据向量共线的条件，解关于m的方程即可.解法1：∵A、B、C三点共线，即、共线，∴存在实数λ使得=λ，即i—2j=λ（i+mj）.∴∴m=-2，即m=—2时，A、B、C三点共线。解法2：依题意知i=(1,0)，j=（0，1)，则=（1，0）-2（0，1）=（1，-2），=(1，0）+m（0，1）=（1,m)而,共线，∴1×m+2=0。故当m=-2时，A、B、C三点共线.温馨提示证明三点共线，只需构造两向量，证明它们共线即可.3。向量共线条件的综合运用【例3】已知两点A（3,—4），B（-9，2），在直线AB上求一点P,使||=|｜。思路分析：由||=|｜是线段长度之间的比例关系,又由于P在AB上所以可得=或=—.解：∵P在AB上且||=｜｜可得=或=—。设P（x，y），若=，则（x-3,y+4)=(—9-3，2+4)=(—4，2)，∴∴P(-1，—2）.若=-,则（x-3,y+4)=—（—9—3，2+4）=（4,—2），∴∴P（7,-6）.各个击破类题演练1若a=（1，2），b=（-3,2),当k为何值时，ka+b与a—3b平行?平行时是同向还是反向?解:ka+b=（k—3，2k+2),a—3b=（10,—4)，∵a-3b与ka+b平行,∴（k—3）×(-4)—10(2k+2)=0。解得k=-.此时ka+b=(—-3,—+2)=—(a-3b），∴当k=-时，ka+b与a-3b平行,并且反向。变式提升1若向量a=（x，1）,b=（4，x),则当x=_____________时，a与b共线且方向相同。解析：∵a∥b，∴x·x-4=0.∴x=±2.当x=2时，a,b方向相同,当x=-2时，a、b方向相反。答案:2类题演练2向量=（k，12），=（4，5)，=（10，k）当k为何值时，A、B、C三点共线？解法1:∵=—=（4，5）—（k，12）=（4—k,—7),=—=(10,k）-（4,5）=(6,k-5）.∵A、B、C三点共线，∴=λ,即(4—k,-7）=λ（6，k-5)=（6λ,（k-5）λ）。∴解可得k=11,或k=-2.解法2：接法1，∵A、B、C三点共线，∴（4-k）(k—5)=6×(—7）,解得k=11,或k=—2。变式提升2已知A（—2，—3）、B（2,1）、C（1，4)、D（—7,-4），试问：与是否共线?解：=（2,1）—（—2，-3)=（4，4），=（—7，—4）—（1，4）=(—8,—8).所以=—2，所以与共线。类题演练3如右图,已知A（—1，2），B（3,4）连结A、B并延长至P,使|｜=3｜｜，求P点坐标。解：设P（x,y），由题意=3，代入坐标得（x+1,y-2）=3(x—3，y—4），∴∴P(5,5）。变式提升3已知点A（4，0)，B（5，5），C（2，6）。求AC与OB的交点P的坐标。解：设=λ=λ（5,5）=（5λ，5λ)，则=（5λ-4