《自动控制原理》课件第五章

第五章

控制系统的频域分析法

5.1频率特性5.2典型环节与开环系统的频率特性5.3频域稳定判据5.4稳定裕度5.5用频率法分析闭环系统的时域性能5.6Matlab应用实例

5.1频率特性

频率法所研究的问题仍然是自动控制系统控制过程的性能，即稳定性、快速性、稳态精度。

研究系统的控制性能最好是用时域特性进行度量，但对于高阶系统的时域特性很难用分析法确定，目前还没有直接按给出的时域指标进行系统设计的通用方法。而频率法是一种间接研究控制系统性能的工程方法，它研究系统的依据是频率特性，所以频率特性是控制系统的又一种数学模型。由于频率特性具有明确的物理意义，因此频率法可以通过实验方法进行研究，这正是频率法的优点，因为它提供了一种用实验确定元部件或系统数学模型的方法。频率法不仅适用于线性定常系统的分析和研究，而且可推广应用到某些非线性系统。所以，频率法在工程上得到了广泛的应用。5.1.1频率特性的基本概念

1.控制系统在正弦信号作用下的稳态输出

对于n阶线性定常系统的闭环传递函数式中，s1、s2、…、sn为n个互异闭环特征根。设输入信号r(t)＝Arsinωt，其中Ar为正弦输入幅值，ω为正弦输入频率。其拉普拉斯变换式为则

(5-1)式中，Ci和B、D均为待定系数。对(5-1)式进行拉普拉斯反变换，得系统的输出响应(5-2)在式(5-2)中，第一项ct(t)为系统的瞬态分量，若系统是稳定的，其特征根si均具有负实部，此项随着时间t趋于无穷而最后趋于零；第二项cs(t)为系统的稳态分量，这正是需要求解的部分，下面将对这部分进行推导。同理可得将B和D代入式(5-3)则从式(5-4)可见，线性定常系统在正弦信号作用下，输出的稳态分量和输入同频率的正弦信号只是在稳态输出的幅值和相位上不同，即输出幅值是输入幅值的|Φ(jω)|倍，输出相位与输入相位差∠Φ(jω)度。

2.频率特性的定义

在正弦信号作用下，线性定常系统稳态输出的振幅与输入振幅之比A(ω)称为幅频特性;稳态输出的相位与输入相位之差φ(ω)称为相频特性。即并称其指数表达形式为幅相频率特性，即如果将输入、输出的正弦函数用电路理论中的符号法表示，即输入为Arej0，输出为Acejφ(ω)，则输出与输入的复数之比为

所以，频率特性可定义为：在正弦信号作用下，线性定常系统输出的稳态分量与输入的复数比称为系统的频率特性(即为幅相频率特性，简称幅相特性)。频率特性描述了在不同频率下系统(或元件)传递正弦信号的能力。不难证明，频率特性与传递函效之间有着确切的简单关系。即Φ(s)|s＝jω＝Φ(jω)＝|Φ(jω)|ej∠Φ(jω)可见将传递函数中的复变量s用jω代换后，即可得到频率特性表达式。下面以RC网络为例求频率特性。RC网络如图5-1所示，则

(5-5)式中T＝RC。将式(5-5)中的s用jω代换，得频率特性(5-6)(5-7)幅频特性:相频特性:从式(5-6)和式(5-7)看出，幅频特性与相频特性都是输入正弦频率ω的函数。图5-1RC网络5.1.2频率特性的几何表示方法

频率特性具有复数形式，因此和其他复数一样，其函数表达式可以表示为直角坐标式、极坐标式和指数式三种具体形式，并且三者之间满足如图5-2所示的矢量关系，其纵、横坐标分别表示幅相频率特性G(jω)的虚部和实部。显然，幅频特性A(ω)、相频特性φ(ω)与实频特性X(ω)、虚频特性Y(ω)之间的关系为X(ω)=A(ω)cosj(ω)，Y(ω)=A(ω)sinj(ω)图5-2频率特性三种函数式的关系

用频率法分析、设计控制系统时，常常不是从频率特性的函数表达式出发，而是将频率特性绘制成一些曲线，再借助这些曲线对系统进行图解分析。因此必须熟悉频率特性的各种图形表示方法和图解运算过程。这里以图5-1所示的RC电路为例，介绍控制工程中常见的四种频率特性图示法(参见表5-1)，其中第2种和第3种图示方法在实际中应用最为广泛。

1．频率特性曲线

频率特性曲线包括幅频特性曲线和相频特性曲线。幅频特性是频率特性幅值|G(jω)|随ω的变化规律；相频特性是频率特性相位∠G(jω)随ω的变化规律。图5-1所示电路的频率特性曲线如图5-3所示。图5-3RC电路的频率特性曲线

2．幅相频率特性曲线

幅相频率特性曲线又称奈奎斯特(Nyquist)曲线，在复平面上以极坐标的形式表示。设系统的频率特性为

G(jω)＝|G(jω)|∠G(jω)=A(ω)ejj(ω)

把复数G(jω)表示成矢量，A(ω)为矢量的模，j(ω)为矢量的幅角。当ω从0→∞变化时，矢量G(jω)的矢端在复平面上描绘出的轨迹就是幅相频率特性曲线。通常把ω作为参变量标在曲线的旁边，并用箭头表示ω增大时特性曲线的走向。

图5-4中的实线就是图5-1所示电路的幅相频率特性曲线。图5-4RC电路的幅相频率特性

3.对数频率特性曲线

对数频率特性曲线又叫伯德(Bode)曲线，由对数幅频特性(曲线)和对数相频特性(曲线)两条曲线组成。

绘制伯德图时，为了作图和读数方便，常将两种曲线画在半对数坐标纸上，采用同一横坐标作为频率轴，其横坐标采用对数刻度(但以ω的实际值标定)，单位为rad/s(弧度/秒)。横坐标轴上任何两点ω1和ω2(设ω2＞ω1)之间的距离为lgω2－lgω1，而不是ω2－ω1。在横坐标上，若两对频率间距离相同，则其比值相等。

频率ω每变化10倍称为一个十倍频程，记作dec。每个dec在横坐标上的间隔为一个单位长度，如图5-5所示。由于横坐标按ω的对数分度，故对ω而言是不均匀的，但对lgω却是均匀的线性刻度。图5-5对数分度对数幅频特性将对数幅值L(ω)＝20lgA(ω)作为纵坐标值，单位是dB(分贝)。幅值A(ω)每增大10倍，对数幅值L(ω)就增加20dB。由于纵坐标L(ω)已作过对数转换，故纵坐标按分贝值是线性刻度的。

对数相频特性的纵坐标为相位j(ω)，单位是(°)(度)，采用线性刻度。

图5-1所示电路的对数频率特性如图5-6所示，其绘制方法将在5.2节介绍。图5-6RC电路的对数频率特性

4．对数幅相特性曲线

对数幅相特性曲线又称尼柯尔斯(Nichols)曲线，绘有这一特性曲线的图形称为对数幅相图或尼柯尔斯图。

对数幅相特性是由对数幅频特性和对数相频特性合并而成的曲线。对数幅相坐标的横轴为相位φ(ω)，单位是(°)(度)；纵轴为对数幅频值L(ω)＝20lgA(ω)，单位是dB。横坐标和纵坐标均是线性刻度。图5-1所示电路的对数幅相特性(曲线)如图5-7所示。

采用对数幅相特性可以利用尼柯尔斯曲线方便地求得系统的闭环频率特性及其有关的特性参数，用以评估系统的性能。图5-7RC电路的对数幅相特性

5.2典型环节与开环系统的频率特性

5.2.1典型环节与开环系统的幅相频率特性

1.典型环节的幅相频率特性

1)比例环节

比例环节的传递函数为

G(s)＝K

频率特性为

G(jω)＝K＋j0＝Kej0

比例环节的幅相频率特性是复平面实轴上的一个点，如图5-8所示，表明比例环节稳态正弦响应的幅值是输入信号的K倍，且响应与输入同相位。图5-8比例环节的幅相频率特性曲线

2)微分环节

微分环节的传递函数为

G(s)＝s

频率特性为

G(jω)=jω=ωej90°

微分环节的幅值与ω成正比，相位恒为90°。当ω＝0→∞时，幅相频率特性曲线从复平面的原点起始，一直沿虚轴趋于+j∞处，如图5-9中曲线①所示。图5-9微、积分环节的幅相频率特性曲线

3)积分环节

积分环节的传递函数为

G(s)=1/s

频率特性为

积分环节的幅值与ω成反比，相位恒为－90°。当ω＝0→∞时，幅相频率特性曲线从复平面的虚轴－j∞处出发，沿负虚轴逐渐趋于坐标原点，如图5-9中曲线②所示。

4)惯性环节(一阶系统)

惯性环节的传递函数为频率特性为当ω＝0时，幅值A(ω)＝1，相位j(ω)＝0°；当ω→∞时，A(ω)＝0，j(ω)＝－90°。分析s平面复矢量s－p1随ω增加时其幅值和相位的变化规律，可以确定幅相频率特性曲线的变化趋势，如图5-10(a)、(b)所示。图5-10惯性环节的极点分布和幅相频率特性曲线分析s平面复矢量s－p1随ω增加时其幅值和相位的变化规律，可以确定幅相频率特性曲线的变化趋势，如图5-11(a)、(b)所示。

可见，与最小相位惯性环节的幅相频率特性相比，非最小相位惯性环节的幅频特性与其相同，但相频特性不同。图5-11非最小相位惯性环节的极点分布和幅相频率特性曲线

5)一阶微分环节

一阶微分环节的传递函数为

G(s)=Ts+1

频率特性为

一阶微分环节幅相频率特性的实部为常数1，虚部与ω成正比，如图5-12中曲线①所示。对于非最小相位一阶微分环节，其传递函数和频率特性分别为G(s)=Ts－1幅相频率特性的实部为常数-1，虚部与ω成正比，如图5-12中曲线②所示。图5-12一阶微分环节的幅相频率特性曲线

6)振荡环节(二阶欠阻尼系统)

振荡环节的传递函数为式中，ωn＝1/T为振荡环节的无阻尼自然振荡角频率；ζ为阻尼比。相应的频率特性为当ω＝0时，G(j0)＝1∠0°；当ω＝ωn时，G(jωn)＝1/(2ζ)∠－90°；当ω＝∞时，G(j∞)＝0∠－180°。分析振荡环节极点分布以及当s＝jω＝j0→j∞变化时，矢量s－p1和s－p2的模和相位的变化规律，可以绘制出G(jω)的幅相频率特性曲线。振荡环节幅相频率特性的形状与ζ值有关，当ζ值分别取0.3、0.5和0.7时，幅相频率特性曲线如图5-13中实线所示。图5-13振荡环节极点分布和幅相频率特性曲线对于非最小相位振荡环节，其传递函数和频率特性分别为当ω＝0时，G(j0)＝1∠-360°；当ω＝ωn时，G(jωn)＝1/(2ζ)∠－270°；当ω＝∞时，G(j∞)＝0∠－180°。当ζ值分别取0.3、0.5和0.7时，幅相频率特性曲线如图5-13中虚线所示。可见，与最小相位振荡环节的幅相频率特性相比，非最小相位振荡环节的幅频特性与其相同，但相频特性不同。

7)二阶微分环节

二阶微分环节的传递函数和幅相频率特性分别为当ω＝0时，G(j0)＝1∠0°；当ω＝ωn时，G(jωn)＝2ζ∠90°；当ω＝∞时，G(j∞)＝∞∠180°。当ζ值分别取0.4、0.5和0.6时，二阶微分环节的幅相频率特性曲线如图5-14中实线所示。图5-14二阶微分环节幅相频率特性曲线

8)延迟环节

延迟环节的输入、输出间的关系为

c(t)=r(t－τ)

传递函数和幅相频率特性分别为

G(s)=e－τs

G(jω)=e－jτω

幅相频率特性曲线是一个单位圆，当ω＝0→∞时，j(ω)由0°→－∞，如图5-15所示。图5-15延迟环节幅相频率特性曲线

2.开环系统的幅相频率特性

如果已知开环频率特性G(jω)，可令ω由小到大取值，算出A(ω)和j(ω)的相应值，在复平面上描点绘图便可以得到准确的开环系统幅相频率特性曲线。

在实际系统分析过程中，往往并不需要绘出准确的幅相频率特性曲线，只需要知道幅相特性的大致图形即可。

可以将开环系统在s平面上的零、极点分布图画出来，令s＝jω沿虚轴变化，当ω＝0→∞时，分析各零、极点指向s＝jω的复矢量的变化趋势，就可以概略画出开环系统的幅相特性曲线。设系统的开环传递函数为其频率特性为图5-16绘出了0、Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ型系统幅相频率特性的起点、终点及大致形状。图5-16不同类型系统的幅相频率特性起点和终点示意图下面举例说明开环幅相频率特性曲线的画法。

例5-1

设系统的开环传递函数为

试绘制该系统开环幅相频率特性曲线。解系统的开环频率特性为系统为0型，当ω＝0时，G(j0)＝10∠0°；当ω→∞时，G(j∞)＝0∠－180°。可见，该特性曲线与负虚轴有交点。令Re[G(jω)]＝0，即1－0.1ω2＝0，得ωI=。将该值代入Im[G(jω)]得Im[G(jω)]＝－j10

/11≈－j2.87，得该特性曲线与虚轴交点为－j2.87。绘制该系统开环幅相频率特性曲线如图5-17所示。图5-17例5-1开环幅相频率特性曲线

例5-2

设系统的开环传递函数为G(s)=[K/s(T1s+1)(T2s+1)]，(K＞0，T1＞T2)，试绘制该系统开环幅相频率特性曲线。

解系统的开环频率特性为系统为Ⅰ型，当ω＝0+时，G(j0+)＝∞∠－90°，开环幅相频率特性曲线的渐近线与负虚轴平行，与虚轴的距离为VR＝limRe[G(jω)]＝－K(T1＋T2)；当ω→∞时，G(j∞)＝0∠－270°。该系统开环幅相频率特性曲线如图5-18所示。ω→0+图5-18例5-2开环幅相频率特性曲线例5-3

设系统的开环传递函数为G(s)=[K(20s+1)/s2(50s+1)(2s+1)]，K＞0，试绘制该系统开环幅相频率特性曲线。

解系统的开环频率特性为系统为Ⅱ型，当ω＝0+时，G(j0+)＝∞∠-180°；当ω→∞时，G(j∞)＝0∠-270°。取K=1时，该系统开环幅相频率特性曲线如图5-19所示。图5-19例5-3开环幅相频率特性曲线例5-4

设系统的开环传递函数为

，试绘制该系统开环幅相频率特性曲线。

解系统开环频率特性为开环幅相频率特性曲线的起点：G(j0+)＝∞∠－450°；终点：G(j∞)＝0∠－360°。注意到开环系统含有等幅振荡环节(ζ＝0，ωn＝2)，当ω＝2时，A(2)→∞，而相频特性

j(2－)＝－450°－atan(2)≈－513.4°

j(2+)＝－270°－atan(2)≈－333.4°即j(ω)在ω=2附近相角突变180°，幅相频率特性曲线在ω=2处呈现不连续现象。系统的概略开环幅相频率特性曲线如图5-20所示。图5-20例5-4开环幅相频率特性曲线5.2.2典型环节与开环系统的对数频率特性

1.典型环节的对数频率特性

1)比例环节

比例环节的频率特性为

G(jω)＝K

显然，它与频率无关，其对数幅频特性和对数相频特性分别为

L(ω)＝20lgK

j(ω)＝0°

其Bode图如图5-21所示。图5-21比例环节对数频率特性

2)微分环节

微分环节的频率特性为

G(jω)＝jω＝ω∠90°

其对数幅频特性和对数相频特性分别为

L(ω)＝20lgω

j(ω)＝90°

对数幅频特性曲线在ω＝1处通过0dB线，斜率为

20dB/dec；对数相频特性曲线为90°直线。微分环节对数频率特性曲线如图5-22中曲线①所示。

3)积分环节

积分环节的频率特性为

G(jω)＝1/jω＝1/ω∠－90°

其对数幅频特性和对数相频特性分别为

L(ω)＝－20lgω

φ(ω)＝－90°

对数幅频特性曲线在ω＝1处通过0dB线，斜率为

－20dB/dec；对数相频特性曲线为－90°直线。积分环节对数频率特性曲线如图5-22中曲线②所示。图5-22微、积分环节对数频率特性曲线

4)惯性环节(一阶系统)

惯性环节的频率特性为其对数幅频特性和对数相频特性分别为j(ω)＝－arctanTω当ω<<1/T时，L(ω)≈－20

lg1＝0dB，表明L(ω)低频段的渐近线是0dB水平线；当ω》》1/T时，L(ω)≈－20lgTω,表明L(ω)高频段的渐近线是斜率为－20dB/dec的直线。两条渐近线的交点频率ω＝1/T称为转折频率。图5-23中曲线①绘出了惯性环节对数幅频特性的渐近线与精确曲线以及对数相频特性曲线。由图可见，最大幅值误差发生在ω＝1/T处，其值近似等于－3dB。图5-23惯性环节的对数频率特性曲线惯性环节的对数相频特性从0°变化到－90°，并且关于点(1/T，-45°)对称。这一点读者可以自己证明。

对于非最小相位惯性环节，对数幅频特性和对数相频特性分别为

j(ω)＝－arctan(180°－Tω)

图5-23中曲线②绘出非最小相位惯性环节对数幅频特性的渐近线与精确曲线以及对数相频特性曲线。可见，与最小相位惯性环节的对数频率特性相比，非最小相位惯性环节的对数幅频特性与其相同，但相频特性|φ②(ω)|>|φ①(ω)|。

5)一阶微分环节

一阶微分环节的频率特性为其对数幅频特性和对数相频特性分别为j(ω)＝arctanTω因为一阶微分环节与惯性环节的传递函数成倒数关系，所以其Bode图关于频率轴对称。图5-24中曲线①绘出一阶微分环节对数幅频特性的渐近线与精确曲线以及对数相频特性曲线。图5-24一阶微分环节的对数频率特性曲线对于非最小相位一阶微分环节，对数幅频特性和对数相频特性分别为

j(ω)＝180°－arctanTω图5-24中曲线②绘出非最小相位一阶微分环节对数幅频特性的渐近线与精确曲线以及对数相频特性曲线。可见，与最小相位一阶微分环节的对数频率特性相比，非最小相位一阶微分环节的对数幅频特性与其相同，但相频特性|φ②(ω)|>|φ①(ω)|。

6)振荡环节(二阶欠阻尼系统)

振荡环节的频率特性为其对数幅频特性和对数相频特性分别为(5-8a)(5-8b)当ω/ωn<<1时,L(ω)≈－20lg1＝0dB,表明L(ω)低频段的渐近线是0dB水平线;当ω/ωn>>1时,L(ω)≈－40lg(ω/ωn),表明L(ω)高频段的渐近线是斜率为－40dB/dec的直线。两条渐近线的交点频率ω＝ωn称为转折频率。由于振荡环节的对数幅频特性不仅与ω/ωn有关，而且与阻尼比ζ有关，因此在转折频率附近一般不能简单地用渐近线近似代替，否则可能引起较大的误差。图5-25中曲线①给出了当ζ取0.1、0.3、0.5、0.7、0.8、1.0时对数幅频特性的准确曲线和渐近线。当ζ＜0.707时，图中所示曲线出现谐振峰值，ζ值越小，谐振峰值越大，它与渐近线之间的误差越大。

由式(5-8b)可知，相角φ(ω)也是ω/ωn和ζ的函数，当ω＝0时，j(ω)=0；当ω→∞时，j

(ω)＝-180°；当ω＝ωn时，不管ζ取值为多少，j

(ωn)总是等于-90°，而且相频特性曲线关于(ωn，-90°)点对称，如图5-25曲线①所示。图5-25振荡环节的对数频率特性曲线对于非最小相位振荡环节，对数幅频特性和对数相频特性分别为图5-25中曲线②绘出非最小相位振荡环节对数幅频特性的渐近线与精确曲线以及对数相频特性曲线。可见，与最小相位振荡环节的对数频率特性相比，非最小相位振荡环节的对数幅频特性与其相同，但相频特性|φ②(ω)|>|φ①(ω)|。

7)二阶微分环节

二阶微分环节的频率特性为其对数幅频特性和对数相频特性分别为因为二阶微分环节与振荡环节的传递函数成倒数关系，所以其Bode图关于频率轴对称。图5-26中曲线①绘出ζ分别取0.1、0.3、0.5、0.7、0.8和1.0时对数幅频特性的渐近线与精确曲线以及对数相频特性曲线。图5-26二阶微分环节的对数频率特性曲线对于非最小相位二阶微分环节，对数幅频特性和对数相频特性分别为图5-26中曲线②绘出非最小相位二阶微分环节对数幅频特性的渐近线与精确曲线以及对数特性相频曲线。可见，与最小相位二阶微分环节的对数频率特性相比，非最小相位二阶微分环节的对数幅频特性与其相同，但相频特性|φ②(ω)|>|φ①(ω)|。

8)延迟环节

延迟环节的频率特性为

G(jω)＝e－jω

其对数幅频特性和对数相频特性分别为

L(ω)＝20lg1＝0dB

(5-9a)

φ(ω)＝－τω×180°/π

(5-9b)

式(5-9)表明，延迟环节的对数幅频特性与0dB线重合；对数相频特性值与ω成正比，当ω→∞时，相角迟后量也趋向∞。延迟环节的对数频率特性曲线如图5-27所示。图5-27延迟环节的对数频率特性曲线

2.开环系统的对数频率特性

设开环系统由n个环节串联组成，系统频率特性为式中取对数后，有A(ω)=A1(ω)A2(ω)…An(ω)(5-10a)(5-10b)下面以例5-2为例，讨论开环对数频率特性曲线的绘制。

该系统的传递函数为

，是由比例、积分和两个惯性环节串联组成的，其对数幅频特性为分别作出各环节对数幅频特性渐近线Li(ω)，i＝1，2，3，4，如图5-28所示。其中：

L1(ω)＝20lgK，是一条平行于横轴的直线；

L2(ω)＝20lgω，是在ω＝1处过0dB线、斜率为－20dB/dec的直线；L3(ω)、L4(ω)转折频率分别为1/T1、1/T2,其渐近线在转折频率处由0dB线折为－20dB/dec直线。将L1(ω)~L4(ω)叠加后得L(ω)，如图5-28中实线所示。图5-28例5-2系统的Bode图系统的对数相频特性为

j(ω)＝－90°－arctanT1ω－arctanT2ω

同样道理，先分别绘制出各环节的ji(ω)(i=1，2，3，4)，然后再叠加，就得到了系统开环对数相频特性j

(ω)，如图5-28所示。

考察所绘制的开环对数频率特性曲线可知，与开环幅相频率特性曲线一样，当ω→0时，L(ω)取决于G(s)中的K/sv：L(ω)起始段(0＜ω＜ω1，ω1为最小转折频率)的斜率为－20vdB/dec(v是积分环节的个数，本例v＝1)。若ω1＜1，则起始段的延长线在ω＝1处的幅值为20lgK。将起始段延长与0dB线相交，则交点频率ω＝K1/v，说明L(ω)的位置由K确定。随着ω的增加，每遇到一个转折频率，斜率就发生一次变化。了解了这些特点，就可以根据开环传递函数一次作出对数幅频特性渐近线，而不需要逐项叠加。由此得出，绘制开环对数频率特性曲线的步骤如下：

(1)将开环传递函数G(s)写成各典型环节串联的尾1标准形式，确定系统开环增益K，把各典型环节的转折频率由小到大依次标在频率轴上。

(2)绘制开环对数幅频特性的渐近线。由于系统低频段渐近线的频率特性为K/(jω)v，因此低频段渐近线为过点(1，20lgK)、斜率为-20vdB/dec的直线(v为积分环节数)，

如图5-29所示。图5-29开环对数幅频特性的低频段渐近线

(3)随后沿频率增大的方向每遇到一个转折频率就改变一次斜率。其规律是；遇到惯性环节的转折频率，斜率变化量为-20dB/dec；遇到一阶微分环节的转折频率，斜率变化量为+20dB/dec；遇到二阶振荡环节的转折频率，斜率变化量为

－40dB/dec；遇到二阶微分环节的转折频率，斜率变化量为+40dB/dec等。渐近线最后一段(高频段)的斜率为－20(n－

m)dB/dec，其中n和m分别为G(s)分母、分子的阶数。

(4)若有必要，对L(ω)渐近线上各转折频率及其附近(两侧各十倍频程内)进行修正，以得到精确的对数幅频特性曲线。

L(ω)通过0dB线时的交点频率ωc称为截止频率(或穿越频率、剪切频率)，它是频域分析及系统设计中的一个重要参数。

(4)若有必要，对L(ω)渐近线上各转折频率及其附近(两侧各十倍频程内)进行修正，以得到精确的对数幅频特性曲线。

L(ω)通过0dB线时的交点频率ωc称为截止频率(或穿越频率、剪切频率)，它是频域分析及系统设计中的一个重要参数。

(5)绘制对数相频特性曲线。可按照前述的常规方法或直接利用表达式绘出。对于最小相位系统，对数幅频特性与对数相频特性之间有一一对应的关系，当ω＝0→∞时，j(ω)＝

－90°×v→－90°×(n－m)；且当L(ω)的斜率对称时，j

(ω)曲线也是对称的。非最小相位系统没有这样的对应关系。

下面通过实例说明开环系统Bode图的绘制过程。例5-5

设系统的开环传递函数为

，试绘制该系统开环对数频率特性曲线。

解

(1)将G(s)转换为典型环节串联的标准形式，即系统开环增益K＝10，把各典型环节的转折频率由小到大依次标在频率轴上，如图5-30所示，即惯性环节：ω1＝1；一阶微分环节：ω2＝2；惯性环节：ω3＝20。

(2)由G(s)可知，v＝1，K＝10，通过A点(ω＝1，201gK＝20dB)作一条斜率为－20dB/dec的直线，即L(ω)的低频段渐近线。

(3)在ω1＝1处，考虑惯性环节的作用，将渐近线斜率由－20dB/dec转为-40dB/dec；在ω2＝2处，考虑一阶微分环节的作用，将渐近线斜率由－40dB/dec转为－20dB/dec;在ω3＝20处，考虑惯性环节的作用，将渐近线斜率由

－20dB/dec转为－40dB/dec，即得开环对数幅频特性的渐近线，L(ω)的渐近线与精确的对数幅频特性曲线如图5-30所示。在所绘制L(ω)的渐近线上应标注各频段对应的斜率。图5-30例5-5系统的Bode图

(4)系统开环对数相频特性为

j(ω)＝－90°－arctanω＋arctan0.5ω－arctan0.05ω

可采用描点法得到j

(ω)，如图5-30所示，当ω＝0→∞时，j

(ω)＝－90°→－180°。

由图5-30可见，L(ω)的渐近线在ω2与ω3之间穿越0dB线，即L(ωc)＝0或A(ωc)＝1。由于ωc＞ω1＝1，ωc＞ω2＝2，ωc

＜ω3＝20，则L(ω)的渐近线满足:求得ωc≈5，则j(ωc)＝－90°－arctan5＋arctan0.5×5－arctan0.05×5＝114.5°5.2.3传递函数的频域确定

对于最小相位系统，由对数幅频特性确定相应的传递函数的步骤如下：

(1)由低频段渐近线的斜率为-20vdB／dec来确定v。

(2)由低频段渐近线的位置来确定K。因为当ω→0时，L(ω)＝20lg(K/ωv)＝20lgK－20lgωv，故可由以下两种方法确定K。

①当ω＝1时，L(ω)＝20lgK，因此由低频段渐近线或其延长线和ω＝1平行于纵轴的直线交点处的L(ω)值a可确定K，即K＝10a/20。

②当L(ω)＝0时，K＝ωv，因此低频段渐近线或其延长线与0dB线交点处的频率值

。

(3)由各转折频率ωi(i=1，2，…，n)确定各环节对应的时间常数Ti＝1/ωi。

(4)由各转折频率处两边折线的斜率变化情况确定Ti所对应的环节形式。

(5)若为二阶微分或振荡环节，可根据实际曲线和渐近线确定谐振峰值ωr，进而确定ζ；或由转折频率ωi＝1/T

i的修正值ΔL＝±20lg(2ζ)来确定ζ，这时其他相邻环节对它有一定影响，若它们相距较大时影响可忽略不计。例5-6

某最小相位系统的开环对数幅频特性如图5-31所示，试写出系统的开环传递函数。

解

(1)由图可以看出，该系统由一个积分环节、一个惯性环节和一个一阶微分环节组成。

(2)写出典型环节表达式：

(3)计算各环节参数。由ω＝1处低频渐近线的幅值a＝15dB可确定20lgK＝15，则K＝10a/20＝5.6。由图知各转折频率ω1＝2，T1＝1/2；ω2＝7，T2=1/7。所以该系统的开环传递函数为图5-31例5-6对数幅频特性曲线例5-7

某最小相位系统的开环对数幅频特性如图5-32所示，图中虚线为修正后的精确曲线，试写出系统的开环传递函数。

解

(1)由图可以看出，该系统由一个积分环节、一个一阶微分环节和一个振荡环节组成。

(2)写出典型环节表达式:

(3)计算各环节参数：①ω＝0.5处低频渐近线的幅值为32dB，则ω＝1时的幅值为20lgK＝32－20lg(1/0.5)＝26dB，得K＝20。图5-32例5-7对数幅频特性曲线②由图知各转折频率ω1＝0.5，T1＝2；ω2＝5，T2=0.2。

转折频率ω2＝5处的修正值为ΔL＝－20lg(2ζ)＝38－32＝6，求得ζ＝0.25。所以系统的开环传递函数为

5.3频域稳定判据

5.3.1Nyquist判据的数学基础

1.幅角原理

设s为复数变量，F(s)为s的有理分式函数。对于s平面上任意一点s，通过复变函数F(s)的映射关系，在F(s)平面上可以确定关于s的像。在s平面上任选一条闭合曲线Γ，且不通过F(s)的任一零点和极点，s从闭合曲线Γ上任一点s1起，沿Γ顺时针运动一周，再回到s1点，则相应地，F(s)平面上亦从点F(s1)起、到F(s1)点止亦形成一条闭合曲线Γ

F。为讨论方便，取F(s)为下述简单形式：

式中z1、z2为F(s)的零点；p1、p2为F(s)的极点。不失一般性，取s平面上F(s)的零点和极点以及闭合曲线的位置如图

5-33(a)所示，Γ包围F(s)的零点z1和极点p1。图5-33s平面和F(s)平面的映射关系设复变量s沿闭合曲线Γ顺时针运动一周，研究F(s)相角的变化情况:因为所以由于z1和p1被Γ包围，故按复平面矢量的相角定义：逆时针旋转为正，顺时针旋转为负，则

δ∠(s－z1)=δ∠(s－p1)=－2π零点z2未被Γ包围，过z2作两条直线与闭合曲线Γ相切，设切点为s1、s2，则在Γ的s1s2段，s－z2的角度减小；在Γ的s2s1段，s－z2的角度增大，且有((极点p2未被Γ包围，同理可得δ∠(s－p2)=0。所以δ∠F(s)=0。

2.复变函数F(s)的选择

对控制系统稳定性的判定是在已知开环传递函数的条件下进行的，为应用幅角原理，选择(5-11)

3.s平面闭合曲线Γ的选择

系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数极点即F(s)的零点的位置，因此当选择s平面闭合曲线Γ包围s平面的右半平面时，若Z＝0，则闭环系统稳定。考虑到前述闭合曲线Γ应不通过F(s)的零、极点的要求，Γ可取图5-34所示的两种形式。图5-34s平面的闭合曲线Γ

4.G(s)H(s)闭合曲线的绘制

由图5-34可知，s平面闭合曲线Γ关于实轴对称，且G(s)H(s)为实系数有理分式函数，故闭合曲线ΓGH亦关于实轴对称，因此只需绘制ΓGH在Im[s]≥0，s∈Γ对应的曲线段，得G(s)H(s)的半闭合曲线，称为奈奎斯特曲线，仍记为ΓGH。

(1)G(s)H(s)无虚轴上极点。在s＝jω，ω＝0→+∞时，ΓGH对应开环幅相特性曲线G(jω)H(jω)；在s＝∞ejθ(θ＝+90°→0°)时，Γ

GH对应原点(n＞m时)或(K*，j0)点(n＝m时，K*为系统根轨迹增益)。

(2)G(s)H(s)有虚轴上极点。①当开环系统含有积分环节时，设在原点附近，闭合曲线Γ为s＝εe

jθ(θ＝°→+90°)，且有G1(εejθ)＝G1(j0)，故对应的ΓGH半闭合曲线为从G1(j0)点起，半径为∞、圆心角为－θ×v的圆弧，即可从G(j0+)H(j0+)点起逆时针作半径无穷大、圆心角为90°×v的圆弧，如图5-35(a)中虚线所示。②当开环系统含有等幅振荡环节时，设在jωn附近闭合曲线Γ为s＝jωn＋εejθ，θ＝－90°→+90°，且有G1(jωn＋εejθ)＝G1(jωn)，故因此，s沿Γ在jωn附近运动时，对应的ΓGH半闭合曲线为半径无穷大、圆心角等于v1×180°的圆弧，即应从G(jωn+)H(jωn+)点起以半径为无穷大逆时针作v1×180°的圆弧至G(jω－n)H(jω－n)点，如图5-35(b)中虚线所示。图5-35G(s)H(s)平面的半闭合曲线

5.闭合曲线ΓGH包围(-1，j0)点圈数R的计算

根据半闭合曲线ΓGH可获得ΓF包围原点的圈数R。设N为ΓGH穿越(－1，j0)点左侧负实轴的次数，N+表示正穿越(从上向下穿越)的次数之和，N－表示负穿越(从下向上穿越)的次数之和，则

N＝N+－N－

R＝2N

ΓF包围原点的圈数R等于半闭合曲线ΓGH包围(－1，j0)点的圈数N的2倍。计算R的过程中应注意正确判断ΓGH穿越

(－1，j0)点左侧负实轴时的方向、半次穿越和虚线圆弧所产生的穿越次数。图5-36系统开环半闭合曲线ΓGH5.3.2奈奎斯特稳定判据

由于选择闭合曲线Γ如图5-34所示，在已知开环系统在右半平面的极点数(不包括虚轴上的极点)和半闭合曲线ΓGH的情况下，根据幅角原理和闭环系统的稳定条件，可得下述奈奎斯特稳定判据(简称奈氏判据)。

奈氏判据：反馈控制系统稳定的充分必要条件是半闭合曲线ΓGH不穿过临界点(－1，j0)点且逆时针包围(－1，j0)点的圈数N等于开环传递函数的正实部极点个数P的1/2。

由幅角原理可知，闭合曲线Γ包围函数F(s)=1+G(s)H(s)的零点数即反馈控制系统正实部极点数为

Z＝P－2N

(5-12)当N≠P/2时，Z≠0，系统闭环不稳定。当半闭合曲线ΓGH穿过(－1，j0)点时，表明存在s＝±jωn，使得

G(±jωn)H(±jωn)＝－1

即系统闭环特征方程存在共轭纯虚根，则系统可能临界稳定或者不稳定。在计算ΓGH的穿越次数N时，应注意不计ΓGH穿越(－1，j0)点的次数。

例5-8

设系统开环传递函数为，试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。

解绘出系统的开环幅相频率特性曲线如图5-37所示。当ω＝0时，该曲线的起点在正实轴上，G(j0)＝5.2；当ω→+∞时，终点在原点。当ω＝1.58时，曲线与负虚轴相交于点－j5.05。当ω＝3时，曲线与负实轴相交于点－2。

图5-37例5-8开环半闭合曲线ΓGH右半s平面上系统开环极点的个数P＝0。随着ω＝0变化到ω→+∞时，开环频率特性G(jω)顺时针围绕(－1，j0)点一圈，即N＝－1。由式(5-12)可求得闭环系统在右半s平面的极点数为

Z＝P－2N＝0－2×(－1)＝2

所以闭环系统在右半s平面的极点数为2，闭环系统不稳定。例5-9

系统方框图如图5-38(a)所示，试判断系统的稳定性，并讨论K值对系统稳定性的影响。

解系统是一个非最小相位系统，开环传递函数在右半s平面上的极点个数P＝1。幅相频率特性曲线如图5-38(b)所示。当ω＝0时，该曲线从负实轴(－K

，j0)点出发，随着ω→+∞，该曲线以-90°趋于坐标原点；幅相频率特性曲线包围(－1，j0)点的圈数N与K值有关。图(b)中绘出了K＝1.2和K＝0.8的两条幅相频率特性曲线，可见：当K＞1时，曲线逆时针包围(－1，j0)点1/2圈，即N＝1/2，此时Z＝P－2N＝1－2×(1/2)＝0，故闭环系统稳定；当K＜1时，曲线不包围(－1，j0)点，即N＝0，此时Z＝P－2N＝1－2×0＝1，有一个闭环极点在右半s平面，故系统不稳定。图5-38例5-9图例5-10

设系统开环传递函数为

，试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。

解开环系统有一个积分环节，半闭合曲线ΓGH由开环幅相频率特性曲线和根据开环虚轴极点所补作的无穷大半径的虚线圆弧两部分组成，如图5-39所示。当ω＝0+时，该曲线起点在负虚轴上，G(j0+)＝∞e－j90°；当ω→+∞时，终点在原点。当ω＝0.7时，该曲线与负实轴相交于点－3。由图可知，N＝－1，而G(s)没有右半s平面的极点，因此P＝0。根据奈氏判据有Z＝P－2N＝0－2×(－1)＝2，有两个正实部的闭环极点，闭环系统不稳定。图5-39例5-10开环半闭合曲线ΓGH5.3.3对数稳定判据

由于复平面的半闭合曲线ΓGH可以转换为半对数坐标下的曲线，因此可以推广运用奈氏判据，使绘图工作大大简化。

对照极坐标图和伯德图，有如下对应关系：①极坐标图上以原点为圆心的单位圆对应于对数幅频特性曲线的零分贝线；单位圆外的区域，对应于零分贝线以上的区域；单位圆内的区域，对应于零分贝线以下的区域。②极坐标图上的负实轴对应于对数相频特性曲线上的±(2k＋1)π线。③极坐标图上单位圆外负实轴上的点，对应于对数幅频特性曲线上零分贝线以上和对数相频特性曲线上±(2k＋1)π的点。以上的对应关系如图5-40所示。图5-40极坐标图与伯德图的对应关系例5-11

已知系统的开环传递的数为试用对数频率稳定判据判别系统的稳定性。解依据Bode图的画法，可画出该系统的开环Bode图，如图5-41中实线所示。由于该系统开环含有两个积分环节，v＝2，因此不能直接用实线判别系统的稳定性，必须先补一段如图中所示的虚垂线。显然，由于P＝0且在L(ω)＞0dB的频段内，对数相频特性曲线j(ω)全部位于－180°线之上，不存在正、负穿越问题，因此该系统是闭环稳定的。图5-41例5-11系统开环Bode图5.3.4条件稳定系统

例5-9所示系统的分析表明，若开环传递函数在右半s平面的极点数P＝1，当开环传递函数的某些参数(如开环增益K)改变时，闭环系统的稳定性将发生变化。这种闭环有条件的稳定系统称为条件稳定系统。

相应地，无论开环传递函数的系数怎样变化，例如

，系统总是闭环不稳定的，这样的系统称为结构不稳定系统。

5.4稳定裕度

5.4.1相角裕度

ΓGH曲线在A(ωc)＝1(ωc为截止频率)时，使系统达到临界稳定状态所需附加的相角滞后量称为相角裕度，记为γ。如图5-42所示。相角裕度定义为

γ＝j(ωc)－(－180°)＝180°+j(ωc)

相角裕度γ的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环相频持性φ(ωc)再滞后γ度，则系统将处于临界稳定状态；若相角滞后大于γ，则系统将变成不稳定的。图5-42相角裕度和幅值裕度的定义由于L(ωc)＝20lgA(ωc)＝20lg1＝0dB，故在Bode图中，相角裕度表现为L(ω)＝0dB处的相角j(ωc)与－180°线之间的角度差，如图5-43所示。上述两图中的γ均为正值。图5-43稳定裕度在Bode图上的表示5.4.2幅值裕度

ΓGH曲线与负实轴交点处的频率ωx称为相角穿越频率。此时ΓGH曲线的幅值为A(ωx)，如图5-42所示。幅值裕度是指(－1，j0)点的幅值1与A(ωx)之比，常用h表示，即

幅值裕度的物理意义在于：稳定系统的开环增益再增大h倍，则ω＝ωx处的幅值A(ωx)等于1，ΓGH曲线正好穿越(－1，j0)点，系统处于临界稳定状态；若开环增益增大h倍以上，则系统将变成不稳定的。在对数坐标图上，

hdB＝20lgh＝0－20lgA(ωx)＝－L(ωx)

即h的分贝值等于0dB线与L(ωx)之间的距离(0dB线以下为正)，如图5-43所示。例5-12

某单位反馈系统的开环传递函数为

。

(1)试求K＝5时系统的相角裕度和幅值裕度。

(2)用频率分析法求出系统处于临界稳定状态时的K值。

解

(1)开环幅频特性为开环相频特性为

j(ω)＝－90°－arctanω－arctan0.1ω当K＝5时，开环系统对数频率持性曲线如图5-44所示。其中，对数幅频特性渐近线转折频率为ω1＝1和ω2＝10，L(1)＝20lgK＝20lg5。图5-44例5-12开环Bode图该系统为Ⅰ型系统，低频段的延长线与0dB线的交点为ω＝K＝5，因此有将L(ωc)＝0和L(1)＝20lg5代入上式，得根据相角裕度的定义，有

γ＝180°+j(ωc)＝180°－168.5°＝11.5°由j(ωx)＝－90°－arctanωx－arctan0.1ωx＝－180°，得代入开环幅频特性得

根据幅值裕度的定义，有

hdB＝20lgh＝－20lgA(ω

x)＝6.5dB

(2)由幅值裕度h的物理意义可知，将开环放大系数增大2.112倍，即K＝5×2.112＝10.56，则系统处于临界稳定状态。对于最小相位系统，要使系统稳定，要求相角裕度γ＞0°，幅值裕度h＞1(或hdB＞0dB)。为保证系统具有一定的相对稳定性，稳定裕度不能太小。在工程设计中，一般取γ＝30°～60°，h＞2，对应的hdB＝6dB。

对于最小相位系统，开环对数幅频特性曲线和开环对数相频特性曲线有一一对应关系。当要求相位裕度在30°～60°之间时，意味着开环对数幅频特性曲线在截止频率ω

c附近的斜率应大于-40dB/dec，且有一定的宽度。在大多数实际系统中，要求ωc附近斜率为-20dB/dec，如果此斜率设计为-40dB/dec，系统即使稳定，其相位裕度也过小；如果此斜率设计为-60dB/dec或更小，则系统是不稳定的。

5.5用频率法分析闭环系统的时域性能

5.5.1用开环频率特性分析系统的时域性能

在频域中对系统进行分析、设计时，通常是以频域指标作为依据的，但是不如以时域指标直接、精确，必须进一步探讨频域指标与时域指标之间的关系。考虑到对数频率特性在控制工程中应用的广泛性，本节将基于Bode图，首先讨论开环对数幅频特性L(ω)的形状与频域指标的关系，然后根据频域指标与时域指标的关系估算出系统的时域响应性能。

实际系统的开环对数幅频特性L(ω)一般都符合如图5-45所示的特征：左端(频率较低的部分)高；右端(频率较高的部分)低。图5-45开环对数幅频特性的三个频段

1.L(ω)低频渐近线与系统稳态误差的关系

系统开环传递函数中所含积分环节的个数(系统型别)确定了开环对数幅频特性的低频渐近线的斜率，而低频渐近线的高度则取决于开环增益的大小。因此，L(ω)低频段渐近线集中反映了系统跟踪控制信号的稳态精度信息。根据L(ω)低频段可以确定系统型别v和开环增益K，利用第三章中介绍的静态误差系数法可以确定系统在给定输入下的稳态误差。

说明：在对数幅频特性曲线上标注斜率值时，可省略单位dB/dec，只标注数字即可。如-20dB/dec标注－20，

+20dB/dec标注+20等。

2.L(ω)中频段特性与系统动态性能的关系

开环对数幅频特性的中频段是指截止频率ωc附近的频段。设开环部分纯粹由积分环节构成，图5-46(a)所示的对数幅频特性对应一个积分环节，斜率为－20dB/dec，相角

j(ω)＝－90°，因而相角裕度γ＝90°；图5-46(b)所示的对数幅频特性对应两个积分环节，斜率为－40dB/dec，相角j

(ω)＝－180°，因而相角裕度γ＝0°。图5-46L(ω)中频段对稳定性的影响一般情况下，开环对数幅频特性的斜率在整个频率范围内是变化的，故截止频率ωc处的相角裕度γ应由整个对数幅频特性中各段的斜率共同确定。在ωc处，L(ω)曲线的斜率对相角裕度γ的影响最大，而远离ωc的对数幅频特性，其斜率对γ的影响很小。

截止频率ωc和相角裕度γ是系统开环频域指标，主要由中频段决定，它与系统动态性能指标之间存在着密切关系，因而频域指标是表征系统动态性能的间接指标。为了保证系统有满意的动态性能，希望L(ω)曲线以－20dB/dec的斜率穿过0dB线，并保持较宽的频段。

1)二阶系统

典型二阶系统的开环传递函数为

其闭环传递函数为

(1)γ(ωc)与σ％的关系。系统开环频率特性为开环幅频和相频特性分别为由A(ωc)＝1，解得

(5-13)有了ωc和ζ的关系，就可以求得相角裕度γ(ωc)和ζ的关系。在ω＝ωc时的相频特性为(5-14)相角裕度为将式(5-13)代入式(5-14)得(5-15)图5-47γ(ωc)与σ％的关系这就是二阶系统频率指标相角裕度γ(ωc)和系统特征参数阻尼比ζ之间的关系。这个关系可绘成曲线，如图5-47所示。在第三章我们已求得了系统超调量σ％和系统阻尼比ζ之间的关系为

将式(5-16)也绘于图5-47上。根据给定的相角裕度γ(ωc),可以由所绘曲线直接查得动态特性的最大超调量σ％。

(2)γ(ωc)与ts的关系。对于二阶系统已经求得的相角裕度γ(ωc)和阻尼比ζ之间的关系(见式5-15)，结合在第三章中已经求得调节时间t

s的近似表达式将式(5-13)代入，得

由式(5-15)和式(5-17)可以得到(5-18)(5-17)这就是二阶系统tsωc与γ(ωc)之间的关系，绘成曲线示于图5-48。可以看出，调节时间ts与相角裕度γ(ωc)有关。如果有两个系统，其γ(ωc)相同，那么它们的超调量大致是相同的，但它们的动态过程时间与截止频率ωc成反比。ωc越大的系统，调节时间ts越短。所以ωc在对数频率特性中是一个重要的性能指标，它不仅影响系统的相角裕度，也影响系统的动态过程时间。图5-48tsωc与γ(ωc)的关系

2)高阶系统

对于一般三阶或三阶以上的高阶系统，要准确推导出开环频域特征量(γ和ωc)与时域指标(σ％和ts)之间的关系是很困难的，即使导出这样的关系式，使用起来也不方便，实用意义不大。在控制工程分析与设计中，通常采用下述两个近似公式由频域指标估算系统的时域动态性能指标：(5-19)(5-20)根据式(5-19)和式(5-20)绘成图5-49所示的两条曲线，以供查阅。图中曲线表明，随着γ值的增加，高阶系统的超调量σ％和调节时间ts(ωc一定时)都会降低。图5-49高阶系统σ%、ts与γ的关系

3.L(ω)高频段对系统性能的影响

L(ω)的高频段特性是由小时间常数的环节构成的，其转折频率均远离截止频率ωc，所以对系统动态响应的影响不大。但是，从系统抗干扰的角度出发，研究高频段的特性是具有实际意义的。

单位反馈系统的开环频率特性G(jω)与闭环频率特性Φ(jω)的关系为

在高频段，一般有20lg|G(jω)|<<0，即|G(jω)|<<1。故由上式可得5.5.2用闭环频率特性分析系统的时域性能

1.闭环频率特性曲线的绘制

和系统的开环频率特性一样，也可以通过闭环频率特性来对系统进行研究，但是闭环频率特性的作图不方便。随着计算机技术的发展，近年来多采用专门的计算工具来解决作图问题，而很少采用手工作图法来完成。

1)基本关系

对于单位反馈控制系统，闭环频率特性与开环频率特性的关系为

2)矢量表示法

利用开环频率特性的极坐标图，可以得到闭环频率特性和开环频率特性的矢量关系，如图5-50所示。因为所以利用上述矢量关系作图，可以借助计算机绘图工具将闭环频率特性准确地绘出。对于非单位反馈控制系统，令图5-50矢量图

则

先用单位反馈系统的方法绘出频率特性:再根据上式绘制闭环频率特性Φ(jω)=M(ω)∠α(ω)。

3)利用Matlab绘制闭环系统的频率特性

闭环系统的一般结构形式如图5-51(a)所示。以典型二阶系统

、H(s)＝1为例，设ωn＝10，ζ＝0.5，绘制系统闭环对数幅频特性的Matlab程序如下：>>wn=10；zeta=0.5；>>num=wn∧2；den=conv([1，0]，[1，2*zeta*wn])；>>g=tf(num，den)；h=1；>>phi=feedback(g，h)；>>h=bodeplot(phi)；>>setoptions(h，′PhaseVisible′，′off′，′MagUnits′，′abs′)；>>axis([0.1，1000，0，1.4])；grid；所绘制的闭环系统幅频特性曲线如图5-51(b)示。图5-51利用Matlab绘制闭环频率特性

2.闭环频域性能指标

图5-52所示为闭环幅频特性M(ω)的典型形态。由图可见，闭环幅频特性的低频部分变化缓慢，较为平滑，随着频率的不断增大，幅频特性出现极大值，继而以较大的陡度衰减至零。图5-52典型闭环幅频特性M(ω)

3.闭环频域指标与时域指标的关系

1)二阶系统

典型二阶系统的开环传递函数为

其闭环传递函数为闭环频率特性为

(1)Mr与σ％的关系。典型二阶系统的闭环幅频特性为在ζ较小时，幅频特性出现峰值。其中谐振峰值和谐振频率可用极值条件求得，即令则

(2)Mr、ωb与ts的关系。在带宽频率ωb处，典型二阶系统闭环频率特性的幅值为则(5-21)由得由上式可看出，对于给定的谐振峰值，调节时间与带宽频率成反比，说明系统自身的“惯性”很小，动作过程迅速，系统的快速性好。

2)高阶系统

对于高阶系统，难以找出闭环频域指标和时域指标之间的确切关系。但如果高阶系统存在一对共轭复数闭环主导极点，可近似采用针对二阶系统建立的关系。

通过对大量系统的研究，归纳出了下面两个近似的数学关系式，即

σ%=[0.16+0.4(Mr－1)]×100%，0≤Mr≤1.8t

s=kπ/ωc

式中

k=2+1.5(Mr－1)+2.5(Mr－1)2，0≤Mr≤1.85.5.3开环频域指标与闭环频域指标的关系

1.γ与M

r的关系

对于二阶系统，通过图5-53中所示的曲线可以看到γ与Mr之间的关系；对于高阶系统，可通过图5-54找出它们之间的关系。一般Mr出现在ωc附近，可用ωc代替ωr来计算Mr，并且当γ较小时，可近似认为AB＝|1＋G(jωc)|(参见图5-54)，于是有－(5-22)当γ较小时，式(5-22)的准确性较高。图5-53二阶系统σ％、γ、Mr与ζ的关系图5-54求取Mr与γ的关系

2.ωc