《自动控制原理》课件第三章

第三章线性系统的时域分析法

3.1线性系统的时域性能指标3.2线性系统的动态性能分析3.3线性系统的稳定性分析3.4线性系统的稳态误差计算3.5Matlab应用实例

3.1线性系统的时域性能指标

在确定系统的数学模型后，便可以分析控制系统的性能。在经典控制理论中，常用时域分析法、根轨迹分析法或频域分析法来分析线性系统的性能。本章主要研究用于线性系统性能分析的时域分析法。

设描述线性定常系统的闭环传递函数为Φ(s)，系统给定输入信号的拉普拉斯变换式为R(s)，系统输出信号的拉普拉斯变换式为C(s)。在零初始条件下，可得到系统输出的时域解为

(3-1)

1.典型输入信号

控制系统中常用的典型输入信号有脉冲函数、阶跃函数、斜坡函数、加速度函数和正弦函数等，现将几种典型输入信号列于表3-1中。

2.动态性能与稳态性能

稳定是控制系统能够运行的首要条件，因此只有当动态过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义。

1)动态性能

通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其他形式函数的作用下，其动态性能也是令人满意的。

描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标称为动态性能指标。为了便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，而且输出量及其各阶导数均为零。对于大多数控制系统来说，这种假设是符合实际情况的。对于图3-1所示单位阶跃响应h(t)，其动态性能指标通常如下：

(1)延迟时间td：指响应曲线第一次达到其终值h(∞)的一半所需的时间。

(2)上升时间tr：指响应曲线从终值的10%上升到终值的90%所需的时间。对于有振荡的系统，亦可定义为响应第一次上升到终值所需的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量，上升时间越短，响应速度越快。

(3)峰值时间tp：指响应曲线超过其终值到达第一个峰值所需的时间。

(4)调节时间ts：指响应曲线到达并保持在终值±5%范围内所需的时间。

(5)超调量σ%：指响应曲线的最大偏离量h(tp)与终值h(∞)的差与终值h(∞)比的百分数，即(3-2)若h(tp)＜h(∞)，则响应无超调量。超调量也称为最大超调量或百分比超调量。上述五个动态性能指标基本上可以体现系统动态过程的特征。在实际应用中，常用的动态性能指标多为上升时间、调节时间和超调量。通常，用tr或tp评价系统的响应速度，用σ%评价系统的阻尼程度，而ts是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。图3-1单位阶跃响应

2)稳态性能

稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。若时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数，则系统就存在稳态误差。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。

3.2线性系统的动态性能分析

3.2.1一阶系统分析

凡是以一阶微分方程作为运动方程的控制系统称为一阶系统。在工程实践中，一阶系统不乏其例。有些高阶系统的特性，常可用一阶系统的特性来近似表征。

1.一阶系统的数学模型

研究图3-2(a)所示RC电路，其运动微分方程为(3-3)式中，T=RC为时间常数。当电路的初始条件为零时，其传递函数为

对应的系统结构图如图3-2(b)所示。可以证明，室温调节系统、恒温箱以及水位调节系统的闭环传递函数形式与式(3-4)完全相同，仅仅是时间常数的含义有所区别。因此，式(3-3)或式(3-4)称为一阶系统的数学模型。在以下的分析和计算中，均假设系统的初始条件为零。

应当指出，具有同一运动方程或传递函数的所有线性系统，对同一输入信号的响应是相同的。当然，对于不同形式或不同功能的一阶系统，其响应特性的数学表达式具有不同的物理意义。(3-4)图3-2一阶控制系统

2.一阶系统的单位阶跃响应

设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数r(t)=1(t)，则由式(3-4)可得一阶系统的单位阶跃响应为

h(t)=1－e－t/T，t≥0(3-5)

由式(3-5)可见，一阶系统的单位阶跃响应是一条初值为零、以指数规律上升到终值hss=1的曲线，如图3-3所示。图3-3一阶系统的单位阶跃响应曲线3.2.2二阶系统分析

1.二阶系统的数学模型

在上一章中，例2-1、例2-2和例2-3都是由二阶微分方程来描述的，它们的传递函数都可转化为典型二阶系统的标准形式，其相应的结构图如图3-4所示。图3-4标准形式的二阶系统结构图由图3-4可知:

(3-6)或(3-7)二阶系统的特征方程为s2+2ζωns+ω2n=0

(3-8)其两个根(闭环极点)为(3-9)

2.二阶系统的单位阶跃响应

当二阶系统的输入为单位阶跃函数时，其输出响应将根据ζ取值范围的不同而有不同的响应形式，现以三种情况给出相应的响应形式，如式(3-10)、式(3-11)和式(3-12)所示。

1)欠阻尼(0＜ζ＜1)二阶系统的单位阶跃响应

系统有两个实部为负的共轭复极点

由式(3-10)可知:(3-13)

2)无阻尼(ζ=0)二阶系统的单位阶跃响应

系统有两个共轭纯虚根s1=jωn，s2=－jωn

由式(3-10)可知系统的单位阶跃响应为

h(t)=1－cosωnt

(3-14)

这是一条平均值为1的正弦或余弦形式的等幅振荡，其振荡频率为ωn，它仅取决于系统本身的结构参数，故称ωn为无阻尼振荡频率。这种情况称为无阻尼状态。

3)临界阻尼(ζ=1)二阶系统的单位阶跃响应

由式(3-13)可知此时的系统单位阶跃响应为

h(t)=1－e－ωnt(1+ωnt)

上式表明，当ζ=1时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调、单调上升过程，其变化率为当t=0时，响应过程的变化率为零；当t＞0时，响应过程的变化率为正，响应过程单调上升；当t→∞时，响应过程的变化率趋于零，响应过程趋于常值1。这种情况称为临界阻尼状态。

4)过阻尼(ζ＞1)二阶系统的单位阶跃响应

特征根为两个负实根令由式(3-12)可得此时二阶系统的单位阶跃响应为(3-15)以上四种情况的单位阶跃响应曲线如图3-5所示，其横坐标为无因次时间ωnt。由图3-5可见，在过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应具有最短的上升时间，响应速度最快；在欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短，通常取ζ=0.4～0.8为宜，此时超调量适度，调节时间较短；若二阶系统具有相同的ζ和不同的ωn，则其振荡特性相同，但响应速度不同，ωn越大，响应速度越快。

由于欠阻尼二阶系统与过阻尼(含临界阻尼)二阶系统具有不同形式的响应曲线，因此它们的动态性能指标的估算方法也不尽相同。下面将分别加以讨论。图3-5二阶系统单位阶跃响应曲线

3.欠阻尼二阶系统的动态过程分析

在控制工程中，除了那些不允许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、较快的响应速度和较短的调节时间。在欠阻尼二阶系统的各项动态性能指标中，除峰值时间、超调量和上升时间可用ζ和ωn准确表示外，延迟时间和调节时间都很难用ζ和ωn准确描述，而不得不采用工程上的近似计算方法。

为了便于说明改善系统动态性能的方法，图3-6给出了欠阻尼二阶系统各特征参量之间的关系。由图可见：衰减系数σ是闭环极点到虚轴的距离；阻尼振荡频率ωd是闭环极点到实轴的距离；自然频率ωn是闭环极点到坐标原点的距离；ωn所代表的矢量与负实轴夹角的余弦正好是阻尼比，即ζ=cosβ，因此将β称为阻尼角。下面将推导式(3-6)所描述的无零点欠阻尼二阶系统的动态性能指标计算公式。图3-6欠阻尼二阶系统的特征参量

1)延迟时间td的计算

在式(3-13)中，令h(td)=0.5，可得td的隐函数表达式为则ωntd和ζ的关系曲线图如图3-7所示。利用曲线拟合法，在较大的ζ范围内，近似有(3-16)当0＜ζ＜1时，亦可用下式近似描述：(3-17)上述两式表明，增大自然频率或减小阻尼比，都可以减小延迟时间。或者说，当阻尼比不变时，闭环极点距离复平面的坐标原点越远，系统的延迟时间越短；而当自然频率不变时，闭环极点距离复平面上的虚轴越近，系统的延迟时间越短。图3-7二阶系统ωntd与ζ的关系曲线

2)上升时间tr的计算

在式(3-13)中，令h(tr)=1，求得因为e－ζωntr≠0，所以有根据上升时间的定义，这里应取n=1，所以上升时间为(3-18)

3)峰值时间tp的计算

将式(3-13)对t求导，并令其为零，可求得

ζωne－ζωntpsin(ωdtp+β)－ωde－ζωntpcos(ωdtp+β)=0

整理得根据峰值时间的定义，应取ωdtp=π，所以峰值时间为(3-19)

4)超调量σ%的计算

因为超调量发生在峰值时间上，所以将式(3-19)代入式(3-13)中，得输出量的最大值为按超调量的定义，并考虑到h(∞)=1，可求得(3-20)

5)调节时间ts的计算

对于如式(3-13)所示的欠阻尼二阶系统单位阶跃响应，指数曲线是对称于h(∞)=1的一对包络线，整个响应曲线总是包含在这一对包络线之内，如图3-9所示。图中采用无因次时间ω

nt(弧度)作为横坐标，因此时间响应特性仅是阻尼比的函数。由图可见，实际输出响应的收敛程度小于包络线的收敛程度。图中选用ζ=0.707，但对于其他阻尼比的取值，亦存在类似情况。为方便起见，往往采用包络线代替实际响应来估算调节时间，所得结果略为保守。此外，图中还标明了阻尼正弦函数的滞后角，这是因为

时，必有

。整个响应在ωnt＜0时的延续部分，如图3-9中虚线所示。图3-9欠阻尼二阶系统h(t)的一对包络线根据上述分析，如果令Δ代表实际响应与稳态输出之间的误差，则有

假定ζ≤0.8，并在上述不等式右端分母中代入ζ≤0.8，选取误差带Δ=0.05，可以解得ts≤(3.5/ζωn)。在分析问题时，常取若选取误差带Δ=0.02，则有(3-21)(3-22)例3-1

设系统结构图如图3-10所示，若要求系统具有性能指标σ%=20%，tp=1s，试确定系统参数K和τ，并计算单位阶跃响应的特征量td、tr和ts。图3-10控制系统结构图解由图可知，系统闭环传递函数为

与传递函数标准形式(3-6)相比，可得由ζ和σ%的关系式(3-20)解得再由峰值时间计算公式(3-19)可算出从而解得若取误差带Δ=0.02，则调节时间为

4.过阻尼二阶系统的动态过程分析

由于过阻尼系统响应缓慢，故通常不希望采用过阻尼系统，但是，这并不排除在某些情况下，例如在低增益、大惯性的温度控制系统中需要采用过阻尼系统。此外，在有些不允许时间响应出现超调，而又希望响应速度较快的情况下，例如在指示仪表系统和记录仪表系统中，需要采用临界阻尼系统。特别是，有些高阶系统的时间响应往往可用过阻尼二阶系统的时间响应来近似，因此，研究过阻尼二阶系统的动态过程分析有较大的工程意义。当阻尼比大于1且初始条件为零时，二阶系统的单位阶跃响应如式(3-15)所示。显然，在动态性能指标中，只有延迟时间、上升时间和调节时间才有意义。然而，式(3-15)是一个超越方程，无法根据各项动态性能指标的定义求出其准确的计算公式。目前，工程上采用的方法仍然是利用数值解法求出不同ζ值下的无因次时间，然后制成曲线以供查用，或者是利用曲线拟合法给出近似计算公式。

1)延迟时间td的计算

由于式(3-16)在阻尼比大于等于1时仍然近似成立，故(3-23)

2)上升时间tr的计算根据上升时间的第一种定义方法，参照式(3-13)和式(3-15)，可得无因次上升时间ωntr与阻尼比的关系曲线，如图3-11所示。图中曲线可用下式近似描述：(3-24)图3-11过阻尼二阶系统ωntr与ζ的关系曲线

3)调节时间ts的计算

根据式(3-15)，令T1/T2为不同值，可以解出相应的无因次调节时间ts/T1，如图3-12所示。图中的阻尼比为参变量。由于因此，ζ与自变量T1/T2的关系为(3-25)当ζ＞1时，由已知的T1及T2值在图3-12上可以查出相应的ts，若T1≥4T2，即过阻尼二阶系统第二个闭环极点的数值比第一个闭环极点的数值大四倍以上时，系统可等效为具有－1/T1闭环极点的一阶系统，此时取ts=3T1，相对误差不超过10%。当ζ=1时，由于T1/T2=1，由图3-12可见，临界阻尼二阶系统的调节时间为

ts=4.75T1，ζ=1

(3-26)图3-12过阻尼二阶系统的调节时间特性例3-2

设角度随动系统如图3-13所示。图中，K为开环增益，T=0.1s为伺服电动机时间常数。若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间ts≤1s，问K应取多大？此时系统的延迟时间及上升时间各等于多少？图3-13角度随动系统解根据题意并考虑有尽量快的响应速度，应取阻尼比为1。由图3-13可得闭环特征方程为根据ζ=1和ωn=5rad/s，利用式(3-23)和式(3-24)可算出3.2.3高阶系统分析

1.高阶系统的单位阶跃响应

设有一高阶系统，其闭环传递函数为(3-27)为了便于求出高阶系统的单位阶跃响应，将上式的分子和分母多项式进行因式分解，得：(3-28)由于式(3-28)的分子、分母均为实系数多项式，故系统的零、极点只可能是实数或共轭复数。在实际的控制系统中，所有的闭环零、极点通常都不相同，因此，在输入为单位阶跃函数时，输出量的拉普拉斯变换式可表示为

(3-29)式中，q为实极点个数；r为共轭复极点对数，即q+2r=n。将上式展开成部分分式，可得(3-30)将式(3-30)进行拉普拉斯反变换，并设初始条件为零，可得高阶系统的单位阶跃响应为(3-31)例3-3

设三阶系统的闭环传递函数为

,试确定该系统的单位阶跃响应。

解首先将三阶系统闭环传递函数的分子、分母进行因式分解，并考虑到R(s)=1/s，可得其部分分式为其中A2与A2共轭。由以上留数的概念可得－于是有将上式与式(3-30)对照，可得最后，由式(3-31)可解出该系统的单位阶跃响应为

2.闭环传递函数的极点和零点对输出的影响

1)闭环极点对输出的影响

由于闭环极点就是描述系统微分方程的特征根，因此它们决定了所描述系统自由运动的模态，而且在强迫运动中也会包含这些自由运动的模态。下面举例说明。

设某系统闭环传递函数为

显然，其闭环极点为p1=－1，p2=－2；闭环零点为z1=－3,由此可看出，系统自由运动的模态分别是e－t和e－2t。当输入为r(t)=r1+r2e－5t，即R(s)=(r1/s)+(r2/s+5)时，可求得该系统的输出响应(设系统初始条件为零)为

2)闭环零点对输出的影响

传递函数的零点并不会形成自由运动模态，但它们却影响各个模态在响应中所占的比重，因而也会影响响应曲线的形状。下面举例说明。

设具有相同闭环极点、但零点不同的两个系统闭环传递函数分别为

它们的闭环极点都是-1和-2，但具有不同的零点。在零初始条件下，它们的单位阶跃响应分别为上述结果表明，因为这两个系统具有相同的闭环极点，所以在其单位阶跃响应中都有模态e－t和e－2t，但在响应中所占的比重却是不同的，它取决于极点之间的距离和极点与零点之间的距离，以及零点与原点之间的距离。在极点相同的情况下，Φ1(s)的零点更接近原点，且距离两个极点相对较远，因此，两个模态所占的比重较大，说明该零点的作用较为明显；而Φ2(s)的零点距离原点较远，且与两个极点的距离相对较近，因此，两个模态所占的比重较小，说明该零点的作用不明显。这样，尽管两个系统的模态相同，但由于零点的位置不同，其单位阶跃响应曲线就具有不同的形状，如图3-14所示。图3-14闭环零点对输出的影响

3.高阶系统的近似简化

1)左半平面一对非常靠近的零、极点可以相消这里，非常靠近的含义是指：这对零、极点之间的距离比之它们与其他零、极点的距离起码要减小1/10以下。

若某系统的一个零点z

r和一个极点p

k相距很近，即|pk－zr|很小，且比之与其他零、极点的距离要减小1/10倍以下，根据利用留数求Ai的概念可得由于上式分子中包含因子pk－zr，而|pk－zr|又很小，因此A

k也必然很小，因而p

k所对应的运动模态的成分也必然很小，则该项可以忽略不计。在进行简化时，可将非常靠近的这一对零、极点同时取消，并保持系统的稳态增益不变。具体地说，也就是将该系统原来的传递函数简化为

2)左半平面中距离虚轴非常远的极点可以忽略

这里，非常远的含义是指：这个极点距离虚轴的距离比之其他零、极点距离虚轴的距离起码要远10倍以上。

若某系统的一个极点pk距离虚轴非常远，即|Re(pk)|≥10|Re(pi)|(其中i≠k)，|Re(pk)|≥10|Re(zj)|，根据利用留数求Ai的概念可得因为|Re(pk)|很大，所以分子、分母中的每一个因子的模都比较大，而一般分母的阶次高于分子的阶次，最终使Ak也必然很小，加之极点pk具有很大的负实部，它所对应的运动模态迅速衰减，因此该极点可以忽略。忽略该极点时，可直接消去相应的因子，并保持系统的稳态增益不变。也就是说，将该系统原来的传递函数简化为定义：如果在所有闭环极点中，距离虚轴最近的极点,且其周围没有闭环零点，而其他闭环极点又远离虚轴，那么距离虚轴最近的闭环极点所对应的响应分量随着时间的推移衰减缓慢，无论是从指数还是从系数来看，在系统时间响应过程中起主导作用，这样的闭环极点就称为闭环主导极点。

闭环主导极点可以是实数极点，也可以是共轭复数极点，或者是它们的组合。主导极点对系统的性能起着决定性的作用。在控制工程实践中，通常要求控制系统既具有较高的响应速度，又具有一定的阻尼程度，因此高阶系统的增益常常调整到使系统具有一对闭环共轭主导极点，则原来的高阶系统可以用一个二阶欠阻尼的系统来近似地进行分析。

例3-4

已知闭环系统的传递函数为

,分析该系统的动态响应性能。

解分析该系统的传递函数可以看到，它有一个零点z1=－3.2；有四个极点，分别为p1=－3，p2=－10，p3，4=－1±j。可见，Φ(s)有一对非常靠近的零、极点(－3.2和－3)，它们之间的距离远小于它们与其他极点间的距离，则这一对零、极点可以相消。消去这对零极点后的传递函数变为再分析Φ1(s)，其中极点p2=－10与虚轴的距离比之其他两个极点p3，4=－1±j是非常远的，因此可以忽略。忽略该极点后的传递函数变为

此时，就将原来的四阶系统简化成了以p3，4=－1±j为主导极点的二阶系统，并可求得该二阶系统的ωn=、=

,它的主要动态性能指标为σ%=4.3%，ts=2.3s。对原来的四阶系统进行仿真，得到实际的动态性能指标为σ%=4.2%，ts=2.2s。

3.3线性系统的稳定性分析

3.3.1线性系统稳定性的概念

1.稳定性的基本概念

任何系统在扰动作用下都会偏离原来的平衡状态而产生偏差。所谓稳定性，是指控制系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原来的平衡状态的性能，即恢复原平衡状态的能力。若线性控制系统在外界扰动的作用下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零(原平衡工作点)，则称系统渐近稳定，简称稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。为了说明稳定性的基本概念，先来看一个直观示例。图3-15所示是一个单摆的示意图，其中o为支点。设在外界扰动力的作用下，单摆由原平衡点a偏移到新的位置b，偏摆角为φ1。当外界扰动力消除后，单摆在重力作用下由b点回到原平衡点a，但由于惯性作用，单摆经过a点继续运动到c点。此后，单摆经来回几次减幅摆动，最终回到原平衡点a，故a点称为稳定平衡点。反之，若图3-15所示单摆处于另一平衡点d，则一旦受到外界扰动力的作用偏离了原平衡位置后，即使外界扰动力消失，无论经过多长时间，单摆也不可能回到原平衡点d。这样的平衡点称为不稳定平衡点。图3-15单摆单摆的这种稳定概念可以推广于控制系统。假如系统具有一个平衡工作状态，如果系统受到外界扰动作用偏离了原平衡状态，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统；如果系统受到外界扰动作用后，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始的平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则这样的系统称为小范围稳定的系统。对于稳定的线性系统，必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。有关非线性系统的稳定性问题，将在第八章讨论。

2.线性系统稳定的充分必要条件

对于线性定常控制系统，其运动可以用线性常微分方程来描述。由第二章的讨论可知，线性常微分方程的解由两部分组成：y(t)=yt(t)+ys(t)，其中yt(t)是暂态分量，ys(t)是稳态分量。若当暂态分量随时间的推移趋于零，即lim

yt(t)=0时，便称系统是稳定的。

分析微分方程解的结构可知，暂态分量完全由特征方程的根所决定。由表2-1特征方程根的类型及对应基本解组可以看出，当特征方程所有的根均具有负实部时，随时间的推移，所有暂态分量都将趋于零，则系统是稳定的。t→03.3.2Routh稳定判据及应用

1.Routh稳定判据

从以上分析可知，为了判断系统的稳定性，就需要知道系统特征方程的根在复平面的分布情况。对于高阶系统来说，特征方程的求解是一件很困难的事情，但是就判断系统稳定性而言，并不需要知道特征根在复平面的确切位置，而只要知道它们是否位于复平面的左半平面，这就无需直接求解特征方程的根了。常用的方法就是劳斯(Routh)判据。

劳斯稳定判据是根据系统特征方程的系数来判断其根是否均位于左半复平面，而无需准确求解。

设线性定常系统的特征方程为

D(s)=a0sn+a1sn－1+…an－1s+an=0劳斯稳定判据为表格形式，参见表3-2，该表称为劳斯表。劳斯表的前两行由系统特征方程的系数直接构成，其中第一行由特征方程的第一、三、五、……项的系数组成，第二行由特征方程的第二、四、六……项的系数组成；其余各行的数值需按表3-2所示逐行计算，凡在运算过程中出现的空位均置为零，这种过程一直进行到第n行为止，第n+1行仅第一列有值，且正好等于特征方程最后一项系数a

n。整个劳斯表格共n+1行，最下面的两行各有一列，其上面的两行各有两列，再上面的两行各有三列，依此类推。而最上面的一行应为(n+1)/2列(n为奇数)或(n+2)/2列(n为偶数)。劳斯稳定判据：线性系统稳定的充分必要条件是劳斯表的第一列所有数值的符号均相同，即特征方程所有的根均位于复平面的左半平面。第一列数值若不同符号，则符号发生变化的次数就等于特征方程的根落在复平面右半平面个数。

例3-5

设系统特征方程为

s4+2s3+3s2+4s+5=0

试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。

解由特征方程可得该系统的劳斯表为由于劳斯表的第一列数值有两次变号，故系统不稳定，且有两个正实部根。事实证明该系统特征方程的根分别为0.2878±1.4161j、-1.2878±0.8579j。

在应用劳斯稳定判据分析线性系统的稳定性时，有时会遇到两种特殊情况，使得劳斯表的计算无法进行到底，因此需要进行相应的数学处理，处理的原则是不影响劳斯稳定判据的判别结果。

(1)如果劳斯表第一列数值中出现0，按照表3-2的计算方法，则其下一行的数值中就会出现无穷大，从而使劳斯表无法正常计算下去。此时可用一个小的正数ε来代替这个0，再继续计算劳斯表的其余数值。例3-6

设系统特征方程为

s4+5s3+10s2+20s+24=0

试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。

解由特征方程可得该系统的劳斯表为这种情况下的劳斯表，如果ε上一行和下一行的数值符号不同，则认为有一次变号。该例中ε上面一行和下面一行数值符号相同，此时表明该系统有一对纯虚根存在，系统处于临界稳定。实际求得特征方程的根分别为±2j、-2、-3。

(2)如果劳斯表中的某一行所有数值都为0，此时表明特征方程的根中有大小相等且关于原点对称的根，按照表3-2所示方法同样无法正常计算下去。在这种情况下，可利用全零行的上一行各数值构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导函数的各项系数代替这个全零行，然后继续计算。例3-7

设系统特征方程为

s5+2s4+24s3+48s2－25s－50=0

试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。

解由特征方程可得该系统的劳斯表为观察劳斯表可知，第一列的数值有一次变号，表明特征方程有一个实部为正的根，则该系统不稳定。实际求得的特征根为±1、±5j、-2。

可以证明，上述特征方程的所有根均位于复平面左半平面的必要条件是所有的系数符号相同且没有缺项。对于一、二阶系统，它同时也是充分条件，但对于二阶以上的系统，这只是必要条件。

2.Routh稳定判据的应用

由前面的分析可知，当特征根距离虚轴很近时，系统的衰减系数就会很小，从而导致系统的动态过程产生强烈的振荡特性。为了使稳定系统具有良好的动态响应，我们常常希望在复平面左半平面上系统特征根的位置与虚轴之间有一定的距离。为此，可在复平面左半平面上作一条s=-a的垂线，而a是系统特征根与虚轴之间的最小给定距离，通常称为给定稳定度；然后用新变量s1=s+a代入原系统特征方程，得到一个以s1为变量的新的特征方程，对这个新的特征方程应用劳斯稳定判据，可以判别系统的特征根是否全部位于s=-a垂线之左。此外，应用劳斯稳定判据还可以确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响，即确定一个或两个使系统稳定，或使系统特征根全部位于s=-a垂线之左的参数取值范围。例3-8

设比例-积分(PI)控制系统如图3-16所示，其中K1为与积分器时间常数有关的待定参数。已知参数ζ=0.2及ωn=86.6rad/s，试用劳斯稳定判据确定使闭环系统稳定的K1取值范围。如果要求闭环系统的极点全部位于s=－1垂线之左，问K1取值范围又应为多大？图3-16比例-积分控制系统解根据图3-16可写出系统的闭环传递函数为因而，系统闭环特征方程为D(s)=s3+2ζωns2+ω2ns+K1ω2n=0代入题中的已知条件，得D(s)=s3+34.6s2+7500s+7500K1=0列出相应的劳斯表为

根据劳斯稳定判据，令劳斯表中第一列各数值均为正，求得K1的取值范围是

0＜K1＜34.6当要求闭环极点全部位于s=－1垂线之左时，可令s=s1－1,代入原特征方程后得到如下新的特征方程：(s1－1)3+34.6(s1－1)2+7500(s1－1)+7500K1=0列出相应的劳斯表为令劳斯表中第一列各数值均为正，求得使全部闭环极点位于s=－1垂线之左的K1的取值范围是

1＜K1＜32.3如果需要确定系统其他参数，例如时间常数对系统稳定性的影响，所用的方法是类似的。一般来说，这种待定的参数不能超过两个。

3.4线性系统的稳态误差计算

3.4.1线性系统的稳态误差

设控制系统结构框图如图3-17所示。当输入信号R(s)与主反馈信号B(s)不相等时，比较装置的输出为

E(s)=R(s)－H(s)C(s)

(3-32)

此时，系统在E(s)信号的作用下产生动作，使输出量趋

于希望值。通常称E(s)为误差信号，简称误差(或偏差)。图3-17控制系统结构框图误差有两种不同的定义方法：一种是式(3-32)所描述的在系统输入端定义误差的方法；另一种是从系统输出端来定义，它定义误差为系统输出量的希望值与实际值之差。前者定义的误差在实际系统中是可以量测的，具有一定的物理意义；而后者定义的误差在系统性能指标的提法中经常使用，但在实际系统中有时无法量测，因而一般只有数学意义。

上述两种定义误差的方法存在着内在联系。将图3-17变换为图3-18所示的等效形式，则因R′(s)代表输出量的希望值，因而E′(s)是从系统输出端定义的非单位反馈系统的误差。不难证明，E(s)与E′(s)之间存在如下简单关系：

(3-33)图3-18等效单位反馈系统在以后的叙述中，均采用从系统输入端定义的误差E(s)来进行计算和分析。特别指出，对于单位反馈控制系统，输出量的希望值就是输入信号，因而对误差的两种定义方法是一致的。误差本身是时间的函数，其时域表达式为(3-34)式中，Φe(s)为系统误差传递函数，可由下式决定:(3-35)在误差信号e(t)中，包含瞬态分量ets(t)和稳态分量ess(t)两部分。由于系统必须稳定，故当时间趋于无穷时，瞬态分量必为零。因而，控制系统的稳态误差定义为误差信号的稳态分量ess(∞)，常以ess简单标志。如果有理函数sE(s)除在原点处有唯一的极点外，在右半s平面及虚轴上解析，即其极点均位于s左半平面(含坐标原点)，则根据拉普拉斯变换的终值定理，由式(3-35)求出系统的稳态误差(3-36)由于上式算出的稳态误差是误差信号稳态分量在时间趋于无穷时的数值，故有时称之为终值误差。它不能反映误差随时间的变化规律，具有一定的局限性。例3-9

设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=1/Ts，输入信号分别为r1(t)=t2/2和r2(t)=sinωt，试求该控制系统的稳态误差。

解当r1(t)=t2/2时，R1(s)=1/s3。由式(3-35)求得显然，sE(s)在s=0处，有一个极点。对上式取拉普拉斯反变换，得误差响应为

e(t)=T2e－t/T+T(t－T)式中，ets(t)=T2e－t/T，随时间的推移逐渐衰减为零；ess(t)=T(t－T)，表明ess(∞)=∞。当r2(t)=sinωt时，R2(s)=(ω/s2+ω2)。因为

所以得显然，ess(∞)≠0。由于正弦函数的拉普拉斯变换式在虚轴上不解析，因此不能应用终值定理来计算系统在正弦函数作用下的稳态误差，否则会得到的错误结论。3.4.2给定输入作用下的稳态误差

1.系统类型

由稳态误差计算通式(3-36)可见，控制系统稳态误差数值与开环传递函数G(s)H(s)的结构和输入信号R(s)的形式密切相关。对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数描述的系统结构。因此，按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。

在一般情况下，开环传递函数可表示为

(3-37)这种以开环系统在s平面坐标原点上的极点数来分类的方法，其优点在于：可以根据已知的输入信号形式，迅速判断系统是否存在原理性稳态误差及稳态误差的大小。它与按系统的阶次进行分类的方法不同，阶次m和n的大小与系统的型别无关，且不影响稳态误差的数值。

为了便于讨论，令必有s→0时，G0(s)H0(s)→1。因此，式(3-37)可改写为(3-38)则系统稳态误差计算通式可表示为(3-39)

2.阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数

在图3-17所示的控制系统中，若r(t)=R·1(t)，其中R为输入阶跃函数的幅值，则R(s)=R/s。由式(3-39)可以算出各型系统在阶跃函数输入作用下的稳态误差为对于0型单位反馈系统，在单位阶跃输入作用下的稳态误差可参见图3-1。显然，其稳态误差是希望输出1与实际输出K/(1+K)之间的位置误差。习惯上常采用静态位置误差系数K

p表示各型系统在阶跃输入作用下的位置误差。根据式(3-36)，当R(s)=R/s时，有(3-40)式中(3-41)称为静态位置误差系数。由式(3-41)和式(3-38)可知，各型系统的静态位置系数为如果要求系统对于阶跃输入作用不存在稳态误差，则必须选用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统。习惯上常把系统在阶跃输入作用下的稳态误差称为静差。因而，0型系统可称为有(静)差系统或零阶无差度系统;Ⅰ型系统可称为一阶无差度系统;Ⅱ型系统可称为二阶无差度系统，以此类推。

3.斜坡输入作用下的稳态误差与静态速度误差系数

在图3-17所示的控制系统中，若r(t)=Rt，其中R表示速度输入函数的斜率，则R(s)=R/s2。将R(s)代入式(3-39)，可得各型系统在斜坡输入作用下的稳态误差为

Ⅰ型单位反馈系统在斜坡输入作用下的稳态误差可参见图3-19。图3-19Ⅰ型单位反馈系统的速度误差如果用静态速度误差系数表示系统在斜坡函数作用下的稳态误差，可将R(s)=R/s2代入式(3-36)，得(3-42)式中(3-43)称为静态速度误差系数，其单位与开环增益K的单位相同，为s－1。显然，0型系统的Kv=0；Ⅰ型系统的Kv=K；Ⅱ型及Ⅱ型以上系统的Kv=∞。通常，式(3-42)表达的稳态误差称为速度误差。必须注意，速度误差的含意并不是指系统稳态输出与输入之间存在速度上的误差，而是指系统在速度函数输入作用下系统稳态输出与输入之间存在位置上的误差。此外，式(3-42)还表明：0型系统在稳态时不能跟踪斜坡输入；对于Ⅰ型单位反馈系统，稳态输出速度恰好与输入速度相同，但存在一个稳态位置误差，其数值与输入速度信号的斜率R成正比，而与开环增益K成反比；对于Ⅱ型及Ⅱ型以上系统，稳态时能准确跟踪斜坡输入信号，不存在位置误差。如果系统为非单位反馈系统，其H(s)=Kh为常数，那么系统输出量的希望值为R′(s)=R(s)/Kh，系统输出端的稳态位置误差为(3-44)上式所表示的关系，对于下面即将讨论的系统在加速度函数输入作用下的稳态误差计算问题同样成立。例3-10

设有一非单位反馈控制系统，其G(s)=10/(s+1),H(s)=Kh，输入信号r(t)=1(t)。试分别确定当Kh为1和0.1时，系统输出端的稳态位置误差ess′

(∞)。

解由于题中系统的开环传递函数故该系统为0型系统，其静态位置误差系数Kp=K=10Kh。由式(3-40)可算出系统输入端的稳态误差为系统输出端的稳态位置误差可由式(3-44)算出：当Kh=1时，有当Kh=0.1时，有此时，系统输出量的希望值为r(t)/Kh=10。

4.加速度输入作用下稳态误差与静态加速度误差系数

在图3-17所示的控制系统中，若r(t)=(Rt2/2)，其中R表示加速度输入函数的速度变化率，则R(s)=R/s3。将R(s)代入式(3-39)，可得各型系统在加速度输入作用下的稳态误差为Ⅱ型单位反馈系统在斜坡输入作用下的稳态误差可参见图3-20。图3-20Ⅱ型单位反馈系统的加速度误差如果用静态加速度误差系数表示系统在加速度输入作用下的稳态误差，可将R(s)=R/s3代入式(3-36)，得(3-45)(3-46)式中称为静态加速度误差系数，其单位为s－2。显然，0型及Ⅰ型系统的Ka=0；Ⅱ型系统的Ka=K；Ⅲ型及Ⅲ型以上系统的Ka=∞。

通常，将式(3-45)表示的稳态误差称为加速度误差。与前面情况类似，加速度误差是指系统在加速度函数输入作用下系统输出与输入之间的位置误差。式(3-45)表明：0型及Ⅰ型单位反馈系统，在稳态时都不能跟踪加速度输入；对于Ⅱ型单位反馈系统，稳态输出的加速度与输入加速度函数相同，但存在一定的稳态位置误差，其值与输入加速度信号的变化率R成正比，而与开环增益K成反比；对于Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统，只要系统稳定，其稳态输出就能准确跟踪加速度输入信号，不存在位置误差。静态误差系数K

p、K

v和K

a定量描述了系统跟踪不同形式输入信号的能力。在系统输入信号的形式、输出量的希望值及容许的稳态位置误差确定后，可以方便地根据静态误差系数去选择系统的型别和开环增益。但是，对于非单位反馈系统而言，静态误差系数没有明显的物理意义，也不便于图形表示。

如果系统承受的输入信号是多种典型函数的组合，例如

则根据线性叠加原理，可将每一输入分量单独作用于系统，再将各稳态误差分量叠加起来，得到显然，这时至少应选用Ⅱ型系统，否则稳态误差将为无穷大。无穷大的稳态误差表示系统输出量与输入量之间在位置上的误差将随时间t而增长，最终趋于无穷大。由此可见，采用高型别系统对提高系统的控制准确度有利，但应以确保系统的稳定性为前提，同时还要兼顾对系统动态性能的要求。

反馈控制系统的型别、静态误差系数和输入信号形式之间的关系统一归纳在表3-3中。该表表明，同一个控制系统在不同形式的输入信号作用下具有不同的稳态误差。这一现象的物理解释可用下例说明。例3-11

设具有测速发电机内反馈的位置随动系统如图3-21所示。要求计算该系统的稳态误差，并对系统在不同输入形式下具有不同稳态误差的现象进行物理说明。

解由图3-21得系统的开环传递函数为可见，该系统是K=1的Ⅰ型系统，其静态误差系数分别为Kp=∞、Kv=1、Ka=0。当r(t)分别为1(t)、t和t2/2时，相应的稳态误差分别为0、1和∞。图3-21位置随动系统系统对于阶跃输入信号不存在稳态误差的物理解释是清楚的。由于系统在受到单位阶跃位置信号作用后，其稳态输出必定是一个恒定的位置(角位移)，这时伺服电动机必须停止转动。显然，要使该电动机不转，加在电动机控制绕组上的电压必须为零。这就意味着系统输入端的误差信号的稳态值应等于零。因此，系统在单位阶跃输入信号作用下不存在位置误差。

当单位斜坡输入信号作用于系统时，系统的稳态输出速度必定与输入信号速度相同。这样，就要求伺服电动机作恒速运转，因此在该电动机控制绕组上需要作用一个恒定的电压，由此推得误差信号的终值应等于一个常值，所以系统存在常值速度误差。当加速度输入信号作用于系统时，系统的稳态输出也应该等加速变化，为此要求伺服电动机控制绕组有等速变化的电压输入，最后归结为要求误差信号随时间线性增长。显然，当t→∞时，系统的加速度误差必为无穷大。3.4.3动态误差系数

利用动态误差系数法可以研究输入信号几乎为任意时间函数时的系统稳态误差变化，因此动态误差系数又称为广义误差系数。为了求取动态误差系数，写出误差信号的拉氏变换式

E(s)=Φe(s)R(s)

将误差传递函数Φe(s)在s=0的邻域内展成泰勒级数，得于是，误差信号可以表示为如下级数：(3-47)上述无穷级数收敛于s=0的邻域，称为误差级数，相当于在时间域内t→∞时成立。因此，当所有初始条件均为零时，对式(3-47)进行拉普拉斯变换，就得到作为时间函数的稳态误差表达式(3-48)式中(3-49)称为动态误差系数。习惯上，称C0为动态位置误差系数；称C1为动态速度误差系数；称C2为动态加速度误差系数。应当指出，动态误差系数的“动态”两字的含义是指这种方法可以完整描述系统稳态误差ess(t)随时间变化的规律，而不是指误差信号中的瞬态分量ets(t)随时间变化的情况。此外，由于式(3-48)描述的误差级数在t→∞时才能成立，因此如果输入信号r(t)中包含有随时间增长而趋近于零的分量，则这一输入分量不应包含在式(3-48)中的输入信号及其各阶导数之内。式(3-48)表明，稳态误差ess(t)与动态误差系数Ci、输入信号r(t)及其各阶导数的稳态分量有关。由于输入信号的稳态分量是已知的，因此确定稳态误差的关键是根据给定的系统求出各动态误差系数。在系统阶次较高的情况下，利用式(3-49)来确定动态误差系数是不方便的，下面介绍一种简单的求法。

将已知的系统开环传递函数按s的升幂顺序排列，写成如下形式：

(3-50)令则误差传递函数可表示为(3-51)用上式的分母多项式去除其分子多项式，得到一个s的升幂级数(3-52)将上式代入误差信号表达式，得(3-53)比较式(3-47)和式(3-53)可知，它们是等阶的无穷级数，其收敛域均是s=0的邻域。因此，式(3-52)中的系数Ci正是我们要求的动态误差系数。在一个特定的系统中，可以建立某些动态误差系数与静态误差系数之间的关系。利用式(3-50)和式(3-51)进行长除，可得如下简单关系：因此，在控制系统设计中，也可以把C0、C1和C2作为一种性能指标。对于某些系统，例如导弹控制系统，常以对动态误差系数的要求来表达对系统稳态误差过程的要求。例3-12

设单位反馈控制系统的开环传递函数为若输入信号r(t)=sin5t，试求系统的稳态误差ess(t)。

解方法一：由于输入信号为正弦函数，因此无法用静态误差系数法确定ess(t)，现采用动态误差系数法求系统的稳态误差。由于系统误差传递函数为故动态误差系数为C0=0，C1=10－2，C2=9×10－4，C3=－1.9×10－5，…可求得稳态误差式中ω0=5。对上述级数求和，得

ess(t)=－0.055cos(5t－24.9°)因此，系统稳态误差为余弦函数，其最大幅值为0.055。方法二：利用反变换法求解。误差信号为式中,系数a、b、c、d待定。上式通分后得如下代数方程组：利用行列式求解方法，可以算出：

c=－0.0498，d=－0.115

由于闭环系统是稳定的，故稳态下对上式取拉普拉斯反变换，可求得与方法一同样的系统稳态误差。3.4.4扰动作用下的稳态误差

由于输入信号和扰动信号作用于系统的不同位置，因此，即使系统对于某种形式输入信号作用的稳态误差为零，但对于同一形式的扰动作用，其稳态误差也未必为零。设控制系统如图3-22所示，其中N(s)代表扰动信号的拉普拉斯变换式。由于在扰动信号N(s)作用下系统的理想输出应为零，故该非单位反馈系统响应扰动n(t)的输出端误差信号为(3-54)图3-22控制系统式中，G(s)=G1(s)G2(s)H(s)为该系统的开环传递函数；G2(s)为以n(t)为输入、Cn(s)为输出时该系统前向通道的传递函数。记

(3-55)为系统对扰动作用的误差传递函数，并将其在s=0的邻域展成泰勒级数，则式(3-55)可表示为(3-56)设系统扰动信号可表示为(3-57)则将式(3-56)代入式(3-54)，并取拉普拉斯反变换，可得稳定系统对扰动作用的稳态误差表达式(3-58)式中(3-59)称为系统对扰动的动态误差系数。将Φen(s)的分子多项式与分母多项式按s的升幂顺序排列，然后利用长除法可以方便地求得Cin。当sEn(s)在s右半平面及虚轴上解析时，同样可以采用终值定理法计算系统在扰动作用下的稳态误差。

例3-13

设比例控制系统如图3-23所示。图中，R(s)=R0/s为阶跃输入信号；M为比例控制器输出转矩，用以改变被控对象的位置；N(s)=n0/s为阶跃扰动转矩。试求该系统的稳态误差。

解由图可见，该系统为Ⅰ型系统。令扰动N(s)=0，则系统对阶跃输入信号的稳态误差为零。但是，如果令输入为零，则系统在扰动作用下输出量的实际值为而输出量的希望值为零，因此误差信号图3-23比例控制系统系统在阶跃扰动转矩作用下的稳态误差(3-60)系统在阶跃扰动转矩作用下存在稳态误差的物理意义是明显的。在稳态时，比例控制器产生一个与扰动转矩n0大小相等而方向相反的转矩－n0以进行平衡，该转矩折算到比较装置输出端的数值为－n0/K1，所以系统必定存在常值稳态误差－n0/K1。例3-14

设电动机转速控制系统如图3-24所示。其中，输入信号r(t)=0，负载扰动n(t)=－t。试计算该系统的稳态误差。图3-24电动机转速控制系统解由图可知，给定系统对于扰动信号n(t)的误差传递函数为

因为n(t)具有式(3-57)所示的形式,其中n0=0,n1=－1，k=1,所以可应用式(3-58)计算系统对扰动作用的稳态误差。根据n′(t)=－1由式(3-58)算得系统对斜坡扰动的稳态误差为3.4.5改善系统稳态精度的措施

1.增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益

由表3-3可见，增大系统开环增益K以后，对于0型系统，可以减小系统在阶跃输入时的位置误差；对于Ⅰ型系统，可以减小系统在斜坡输入时的速度误差；对于Ⅱ型系统，可以减小系统在加速度输入时的加速度误差。

由例3-13可见，增大扰动作用点之前的比例控制器增益K1，可以减小系统对阶跃扰动转矩的稳态误差。式(3-60)表明，系统在阶跃扰动作用下的稳态误差与K2无关。因此，增大扰动点之后系统的前向通道增益不能改变系统对扰动的稳态误差数值。

2.在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节

在图3-22所示非单位反馈控制系统中，设式中，N1(s)、M1(s)、N2(s)、M2(s)、H1(s)及H2(s)均不含s=0的因子；v1、v2为系统前向通道的积分环节数。系统对输入信号的误差传递函数为(3-61)如果系统主反馈通道传递函数含有v3个积分环节，即H(s)=H1(s)/sv3H2(s)，而其余的假定同上，则系统对扰动作用的误差传递函数为(3-62)

3.采用串级控制抑制内回路扰动

当控制系统中存在多个扰动信号且控制精度要求较高时，宜采用串级控制方式，可以显著地抑制内回路的扰动影响。

图3-25所示为串级直流电动机速度控制系统，具有两个闭合回路：内回路为电流环，称为副回路；外回路为速度环，称为主回路。主、副回路各有其相应的调节器和测量变送器。其中主回路中的速度调节器称为主调节器，主回路的测量变送器为速度反馈装置；副回路的电流调节器称为副调节器，副回路的测量变送器为电流反馈装置。主调节器与副调节器以串联的方式进行共同控制，故称为串级控制。由于主调节器的输出作为副调节器的给定值，因而串级控制系统的主回路是一个恒值控制系统，而可以将副回路看做是一个随动系统。根据外部扰动作用位置的不同，扰动亦有一次扰动和二次扰动之分：被副回路包围的扰动称为二次扰动，如图3-25所示系统中由电网电压波动形成的扰动ΔUd；处于副回路之外的扰动称为一次扰动，如图3-25所示系统中由负载变化形成的扰动Iz。图3-25串级直流电动机速度控制系统串级控制系统在结构上比单回路控制系统多了一个副回路，因而对进入副回路的二次扰动有很强的抑制能力。为了便于定性分析，设一般的串级控制系统如图3-26所示。图中Gc1(s)和Gc2(s)分别为主、副调节器的传递函数，H1(s)和H2(s)分别为主、副测量变送器的传递函数，N2(s)为加在副回路上的二次扰动。图3-26串级控制系统结构图若将副回路视为一个等效环节G2′

(s)，则有在副回路中，输出C2(s)对二次扰动N2(s)的闭环传递函数为比较G2′

(s)和Gn2(s)可见，必有于是，图3-26所示串级系统结构图可等效为图3-27所示结构图。显然，在主回路中，系统对输入信号的闭环传递函数为

系统对二次扰动信号N2(s)的闭环传递函数为对于一个理想的控制系统，总是希望多项式比值C1(s)/N2(s)趋于零，而C1(s)/R1(s)趋于1，因而串级控制系统抑制二次扰动的能力可用下式表示：图3-27串级控制系统的等效结构图若主、副调节器均采用比例调节器，其增益分别为Kc1和Kc2，则上式可写为由于在串级控制系统设计时，副回路的阶数一般都取得较低，因而副调节器的增益可以取得较大，通常满足Kc1Kc2＞Kc1可见，与单回路控制系统相比，串级控制系统对二次扰动的抑制能力有很大的提高，一般可达到10～100倍。

4.采用复合控制方法

如果控制系统中存在强扰动，特别是低频强扰动，则一般的反馈控制方式就难以满足高稳态精度的要求，此时可以采用复合控制方法。

复合控制系统是在系统的反馈控制回路中加入前馈通路，以组成一个前馈控制与反馈控制相结合的系统。只要该系统参数选择合适，不但可以保持系统稳定，极大地减小乃至消除稳态误差，而且可以抑制几乎所有的可测量扰动，其中包括低频强扰动。

例3-15

如果在例3-13所示系统中采用比例-积分控制器，如图3-28所示，试分别计算该系统在阶跃转矩扰动和斜坡转矩扰动作用下的稳态误差。图3-28比例-积分控制系统

解由图3-28可知，在扰动作用点之前的积分环节数v1=1，而v3=0，故该比例-积分控制系统对扰动作用为Ⅰ型系统，在阶跃扰动作用下不存在稳态误差，而在斜坡扰动作用下存在常值稳态误差。

由图3-28不难写出扰动作用下的系统误差表达式为设sEn(s)的极点位于s左半平面，则可用终值定理法求得稳态误差。当N(s)=n0/s时，有当N(s)=n1/s2时，有显然，提高比例增益K1可以减小斜坡转矩作用下的稳态误差，但K1的增大要受到稳定性要求和动态过程振荡性要求的制约。系统采用比例-积分控制器后，可以消除阶跃扰动转矩作用下的稳态误差，其物理意义是清楚的：由于控制器中包括积分控制作用，只要稳态误差不为零，控制器就会产生一个继续增长的输出转矩来抵消阶跃扰动转矩的作用，力图减小所产生误差，直到稳态误差为零为止，系统取得平衡而进入稳态。在斜坡转矩扰动作用下，系统存在常值稳态误差的物理意义可以这样解释：由于转