24.3 正多边形和圆 人教版数学九年级上册教案

24.3正多边形和圆教学目标：1.了解正多边形和圆的有关概念.2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.教学重点：理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.教学难点：会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.教学导入一、知识链接观察下列各图形，并度量各图形的边长和角度，你有什么发现？教学过程二、要点探究探究点1：正多边形的对称性问题1什么叫做正多边形？问题2矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？问题3正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？要点归纳：正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.探究点2：正多边形的有关概念及性质问题1怎样把一个圆进行四等分？问题2依次连接各等分点，得到一个什么图形？探究归纳把⊙O进行5等分，依次连接各等分点得到五边形ABCDE.(1)填空：①SKIPIF1<0_______=______SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0_______=______SKIPIF1<0;③∠A_____∠E.(2)这个五边形ABCDE是正五边形吗？简单说说理由.要点归纳：像上面这样，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆，这个正多边形也称为这个圆的内接正多边形.问题3以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？想一想所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？要点归纳：正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角，正多边形的每个中心角都等于SKIPIF1<0.练一练完成下面表格：正多边形边数内角中心角外角346n探究点3：正多边形的有关计算探究归纳如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：①它的中心角等于度；②OCBC(填＞、＜或＝）；③△OBC是三角形；④圆内接正六边形的面积是△OBC面积的倍.⑤圆内接正n边形面积公式：.典例精析例1如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是()60°45°36°D．30°变式题如图，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AD和CE相交于点P，则∠APE的度数是（）A．36°B．60°C．72°D．108°例2(教材P106例题)有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积(精确到0.1m2).方法总结：圆内接正多边形的辅助线的作法：1.连半径，得中心角；2.作边心距，构造直角三角形.练一练正多边形边数半径边长边心距周长面积324262三、课堂小结正多边形的性质正多边形和圆的关系圆内接正n边形；圆外切正n边形；任何正多边形都有一个外接圆和内切圆，且这两个圆是同心圆.正多边形的对称性正多边形都是轴对称图形；偶数边的正多边形同时也是中心对称图形，中心就是对称中心.正多边形的有关计算添加辅助线的方法：连半径，作边心距当堂检测1.一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形2.如图，已知⊙O的内接正方形边长为4，则⊙O的半径是（）A．2B．4C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0第2题图第3题图第5题图3.已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C.D外任意一点，则∠CPD的度数为（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°4.若正多边形的边心距与半径的比为1∶2，则这个多边形的边数是.5.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为度.(不取近似值)6.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要cm.7.如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG=BH．(1)求∠FAB的度数；(2)求证：OG=OH．拓广探索如图，M，N分别是☉O内接正多边形AB，BC上的点，且BM=CN.(1)图①中∠MON=_______；图②中∠MON=_______；图③中∠MON=_______；(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.参考答案自主学习知识链接每个图形中，各边相等，每个角也相等课堂探究二、要点探究探究点1：正多边形的对称性问题1：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.问题2：矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等；问题3：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形；正四边形、正六边形是中心对称图形，正三角形、正五边形不是中心对称图形.探究点2：正多边形的有关概念及性质问题1：如图①，过圆心作两条互相垂直的直径，分别与圆交于点点A.B.C.D，则点A.B、C.D将圆四等分.问题2：四边形ABCD是一个正方形.探究归纳（1）SKIPIF1<03（2）SKIPIF1<03（3）=（2）五边形ABCDE是正五边形.理由如下：同（1）可得∠A=∠B=∠C=∠D=∠E.由题意得SKIPIF1<0即AB=BC=CD=DE=EA.∴五边形ABCDE是正五边形.问题3解：如图，EF是边AB.CD的垂直平分线，∴OA=OB，OD=OC.GH是边AD.BC的垂直平分线，∴OA=OD；OB=OC.∴OA=OB=OC=OD.∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.AC.CA分别是∠DAB及∠DCB的平分线，BD.DB分别是∠ABC及∠ADC的平分线，∴OE=OH=OF=OG.∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.想一想任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.练一练正多边形边数内角中心角外角360°120°120°490°90°90°6120°60°60°nSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0探究点3：正多边形的有关计算探究归纳①60②=③等边④6⑤S正多边形=SKIPIF1<0×周长×边心距典例精析例1C变式题C例2解：过点O作OP⊥BC于M.在Rt△OPB中，OB＝4m，PB＝SKIPIF1<0利用勾股定理，可得边心距SKIPIF1<0亭子地基的面积SKIPIF1<0练一练正多边形边数半径边长边心距周长面积3SKIPIF1<02SKIPIF1<06SKIPIF1<04SKIPIF1<02184622SKIPIF1<02SKIPIF1<0当堂检测1.C2.C3.B4.35.SKIPIF1<06.SKIPIF1<07.(1)解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∠FA