江苏省南京市、盐城市2023-2024学年高三下学期调研测试数学试题（解析版）

第第页南京市、盐城市2023—2024学年度高三调研测试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，则（）A.5 B.-1 C.1 D.7【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘法运算计算求解.【详解】.故选：D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数定义域化简集合B，再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意，，解得，即，而，所以故选：B3.已知，，则“”是“”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义判断即可.【详解】当时，则，但是，不是充分条件，当时，因为，，所以，即，当且仅当等号成立，所以是必要条件，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含.4.下列函数中是偶函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的定义进行判断即可.【详解】对于A，令，，，所以是偶函数，故A正确；对于B，令，，，所以是奇函数，故B错误；对于C，令，，，所以是奇函数，故C错误；对于D，令，，，所以是奇函数，故D错误.故选：A.5.从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有选法有（）A.140种 B.44种 C.70种 D.252种【答案】C【解析】【分析】根据组合数的计算，结合间接法求解即可.【详解】利用间接法可得男女生都要有的选法种数为.故选：C.6.已知反比例函数（）的图象是双曲线，其两条渐近线为x轴和y轴，两条渐近线的夹角为，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线，由此可求得其离心率为.已知函数的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线和y轴，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的性质，结合旋转即可求解.【详解】在第一象限内，函数的图象位于上方，由于和y轴是渐近线，所以两条渐近线之间的夹角，故，不妨将双曲线绕其中心旋转逆时针旋转,则可得到其焦点在轴上的双曲线，且两条渐近线之间的夹角，因此其中一条渐近线的倾斜角为，因此，进而可得故选：C.7.已知直线l与椭圆在第二象限交于，两点，与轴，轴分别交于，两点（在椭圆外），若，则的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到，再由条件得到也是的中点，从而得到关于的方程，进而求得，由此得解.【详解】设：（，），设Ax1,y1，B联立，得，由题意知，所以，，设的中点为，连接，因为，所以，得，又因为，，所以也是的中点，所以的横坐标为，从而得，因为交在第二象限，解得，设直线倾斜角为，得，得，故A正确.故选：A.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.8.平面向量，，满足，，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，计算得到，求出，利用求出答案.【详解】设，则，而，因为，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动.某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中，，，则（）A.X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平B.甲村的平均分低于乙村的平均分C.甲村的高度满意率与不满意率相等D.乙村的高度满意率比不满意率大【答案】BCD【解析】【分析】A选项，曲线越扁平，方差较大，判断A错误；B选项，求出两村的平均分，比较出大小；CD选项，由正态分布曲线的对称性判断.【详解】A选项，曲线越扁平，说明评分越分散，方差较大，因为，所以Y对应的正态曲线比X对应的正态曲线更扁平，A错误；B选项，甲村的平均分为70，乙村的平均分为75，故B正确；C选项，因为甲村的平均分为70，由对称性知，C正确；D选项，因为乙村的平均分为75，由对称性知，D正确.故选：BCD.10.设M，N，P为函数图象上三点，其中，，，已知M，N是函数的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高点，若，的面积是，M点的坐标是，则（）A. B.C. D.函数在M，N间的图象上存在点Q，使得【答案】BCD【解析】【分析】根据三角函数的性质，结合向量的数量积运算即可得，，，进而可判断AB,根据在图象上可得，根据圆的性质即可求解D.【详解】，而，故，，，A错误、B正确；，（），而，故，C正确；显然，函数的图象有一部分位于以为直径的圆内，当位于以为直径的圆内时，，D正确，故选:BCD.11.在四棱锥中，平面，，，四棱锥的外接球为球O，则（）A.⊥ B.C. D.点O不可能在平面内【答案】AC【解析】【分析】A选项，推出四点共面，结合得到⊥；B选项，若四边形为正方形，此时；C选项，得到球心在的垂直平分线上，故到平面距离为到平面距离的一半，C正确；D选项，举出实例，D错误.【详解】A选项，四棱锥的外接球为为顶点的球，而四点共面，故这四点必共圆，又，故为直径，⊥，A正确：B选项，由A可知，四点共圆，又，为直径，若四边形为正方形，此时，，B错误；C选项，因为平面，所以球心到两点的距离相等，即球心在的垂直平分线上，故到平面距离为到平面距离的一半，故，C正确；D选项，当四边形为正方形时，连接，相交于点，则⊥平面，结合球心在的垂直平分线上，此时为中点，点O在平面上，D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.满足的函数可以为______.（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】对数函数均满足要求，考虑到定义域需要加绝对值【详解】可令，满足要求.故答案为：.（答案不唯一）13.的值为______.【答案】-2【解析】【分析】将所给式中正切化成正余弦，再借助二倍角公式计算即得.【详解】故答案为：-214.若数列满足，（），则______.【答案】3268【解析】【分析】由数列递推式可得到，和已知等式作差得，利用累加法即可求得答案.【详解】由题意可得，作差得，故，故答案为：3268四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设数列的前n项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求的前50项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据的关系，结合等比数列的性质即可求解，（2）根据等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】由，得（），两式相减得：（），即（），当时，，得，所以（），故是首项为，公比为的等比数列.从而.【小问2详解】由（1）得.所以16.在平行六面体中，底面为正方形，，，侧面底面.（1）求证：平面平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【小问1详解】因为底面为正方形，所以，又侧面底面，侧面底面，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.【小问2详解】因为，，连接，则为正三角形，取中点，则，由平面及平面，得，又，所以底面，过点作交于，如图以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.设平面的法向量，所以令，则，可得平面的法向量.所以，故直线和平面所成角的正弦值为.17.春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖概率是，项目B和C中奖的概率都是.（1）若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C三个项目，如果A、B、C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券.求每位顾客获得奖券金额的期望；（2）若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目.已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率.【答案】（1）16（2）【解析】【分析】（1）根据题意先写出获得奖券金额的可能取值，再根据相互独立事件的概率乘法公式计算得出对应的概率后即可计算数学期望；（2）根据条件概率定义及计算公式计算可得.【小问1详解】设一位顾客获得元奖券，则的可能取值为100，50，0，，，，所以每位顾客获得奖券金额的期望是（元）【小问2详解】设“该顾客中奖”为事件，参加项目A，，分别记为事件，，，则，所以，即已知某顾客中奖了，则他参加的是A项目的概率是.18.已知双曲线C：（，）的两个焦点是，，顶点，点M是双曲线C上一个动点，且的最小值是.（1）求双曲线C的方程；（2）设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点.若O，A，G，H四点共圆，求点P的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）法一：由顶点可得，根据双曲线方程可得解得，进而可得方程；法二：由顶点可得，根据双曲线定义分析可得解得，进而可得方程；（2）法一：设点，直线：，直线：，，，，联立方程直线利用韦达定理结合分析求解；法二：由结合双曲线的方程可得，，联立求解即可.【小问1详解】（法一）已知双曲线方程是（，），由顶点得，所以，设点Mx,y，，，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为，所以，所以，，故双曲线：.（法二）.当且仅当时取等号，故的最小值为，所以，所以，，故双曲线：【小问2详解】（法一）设点，，，则直线：，设直线的方程为，，设点，，联立，消去得，其中，，，（*），设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，所以或，故直线的斜率与直线的斜率满足.因为直线的方程是，所以，所以，且，所以，将（*）代入，整理得到，解得或（舍），所以.（法二）同法一可知直线的斜率与直线的斜率满足，又，则，所以，设直线的方程是，将点代入直线，得到①，又双曲线的方程可化为，由得，设，则，直线和直线的斜率是该方程的两个根，所以，所以②，联立①②，得到，所以.【点睛】方法点睛：与端点相关问题的解法解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程（组）求解．19.函数的导数记作，即；同时，在区间上的导数为.若在区间上，，则称函数具有性质.若函数的导数为，且函数具有性质，则对于，有，等号当且仅当是线性函数时成立.若函数具有性质，且存在常数m，，使得.（1）证明：具有性质.（2）证明：（i）；（ii）.（3）当，时，函数具有性质，求证：【答案】（1）证明见解析（2）（i）证明见解析（ii）证明见解析（