电路分析基础 第2版 课件 第9-15章 含有耦合电感的电路 - 非线性电路简介

教学课件电

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析

基

础目录CATALOG第9章含有耦合电感的电路电流变换

9.1耦合电感

9.2含有耦合电感电路的计算

9.3空心变压器

9.4理想变压器

9.5应用案例(

，★)电压变换

阻抗变换

(

)(

)知

识

图

谱含有耦合电感的电路电流变换电路模型(，★)电压变换阻抗变换

串联：9.1耦合电感

9.2含有耦合电感电路的计算

9.3空心变压器

9.4理想变压器：无能量损耗、全耦合、参数无穷大

9.5应用案例各种阻抗概念原、副边等效电路并联：消耦：消去互感耦合互感及互感系数耦合系数k：互感电压：同名端(★)(

)变压：变流：变阻抗：9.1耦合电感

什么是互感现象？

两个载流线圈之间可以产生磁场耦合。一对相耦合的电感，若流过其中一个电感的电流随时间变化，则在另一电感两端将出现感应电压，而这两电感间可能并无导线相连，这便是电磁学中所称的互感现象。N111'i1Y11N22'2+–u11+–u21Y21**R心子原边副边1820年丹麦物理学家奥斯特发现电流的磁效应。开辟了新领域——电磁学。1.自感N11'i线圈中通以电流i，产生的磁通为F。Y=NF耦合现象9.1耦合电感

F磁通链：周围空间是线性磁介质时：Y=LiL=iY自感系数：1832年美国科学家亨利发现了电的自感现象。亨利还发明了继电器、无感绕组等。6载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象称为磁耦合。L1N111'i1F11L2N22'2F219.1耦合电感

2.互感线圈1中通以电流i1，产生的磁通为F11。F11：交链自身线圈1自感磁通链Y11=N1F11一部分或全部交链线圈2

互感磁通链Y21=N2F21还有一部分与空气相交链形成漏磁通。1833年俄国物理学家楞次发现了确定感生电流方向的定律──楞次定律。电磁现象也遵循能量守恒定律。L1N111'i1F11L2N22'2F219.1耦合电感

L1=i1

Y11自感系数：M21=i1

Y21互感系数：M21

：线圈1对线圈2的互感系数。单位：亨利（H）位置原因双下标的含义1864年英国物理学家麦克斯韦预言了电磁波的存在，为电路理论奠定了坚定的基础。当线圈周围无铁磁物质（空心线圈）时：M12=M21=M1)M值与线圈的形状、几何位置、空间磁介质有关。2)L总为正值，M值有正有负。注意

9.1耦合电感

耦合电感元件是耦合线圈的理想化模型，属于多端元件，在实际中广泛应用，如变压器，整流器，电流互感器等都是耦合电感元件。对耦合电感元件进行研究具有工程意义。变压器整流器电流互感器载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象称为磁耦合。9.1耦合电感

两线圈均通以电流时，均有自感磁通链和互感磁通链。L111'i1i2Y11Y12L22'2Y21Y22互感系数(互感)自感系数(自感)

由于线圈本身的电流变化而在本线圈中引起的电磁感应称为自感。()✔9.1耦合现象为了定量的描述两线圈耦合的耦合紧疏程度，把两线圈的互感磁通链与自感磁通链的比值的几何平均值定义为耦合系数k。耦合系数一般0≤k≤1当k˃0.5时，紧耦合当k<0.5时，松耦合紧绕在一起k=1(全耦合)垂直放置k=0(无耦合)耦合电感，则耦合系数k=()。(A)0.25

(B)0.5

(C)0.4

(D)0.8B任意两个相邻较近的线圈总要存在着互感现象。（

）×9.1耦合现象L111'i1i2Y11Y12L22'2Y21Y22同名端的规定L1L2+-+-u1u2i1i211'22'ML111'i1Y11L22'2Y12i2Y22Y12

若两个线圈同时通入电流，产生的磁场相互增强，则流入(或流出)电流的两个端子称为同名端，用“•”或“*”或“△”等标记。注意：线圈的同名端必须两两确定。两标记端互称同名端，两非

标记端亦互称同名端。标记端与非标记端互称异名端。若磁场相互削弱，则流入(或流出)电流的两个端子称为异名端，同名端：1和2，1'和2'异名端：1和2'，1'和213L1N111'i1F11L2N22'2F21i2F22F122.同名端的规定产生互感电压的是另一线圈的电流。通过线圈的绕向、位置和施感电流的参考方向，用右手螺旋法则，就可以判定互感是“增助”还是“削弱”。L1L2+-+-u1u2i1i211'22'M

实际应用中，电气设备中的线圈都是密封在壳体内，一般无法看到线圈的绕向，并且在电路图中绘出线圈的绕向也很不方便。为此引入同名端的概念。通常采用“同名端标记”表示绕向一致的两相邻线圈的端子。9.1耦合现象根据法拉第电磁感应定律：变化的磁场产生电场。L111'i1i2Y11Y12L22'2Y21+–u11+–u12+–u22u21–+Y22L1N111'i1i2Y11Y12L2N22'2Y21+–u11+–u12+–u22u21–+Y22000增助削弱u=dtdY=Ldtdi耦合电感的伏安关系的规定1)自感电压：u，i关联方向，自感电压取正，否则取负。+uiL-+uiL-2)互感电压：互感电压与其施感电流方向保持同名端一致。i1u21+–ML1L2122'1'若施感电流i1：同名端→另一端则互感电压u21：同名端→另一端

电流的入端和互感电压的“+”正极性端是同名端。1)自感电压与电流方向一致，取+；2)互感电压与施感电流相对于同名端方向一致，取+。注意

9.1耦合现象两线圈均通以电流时，均有自感电压和互感电压。L1N111'i1i2Y11L2N22'2Y21+–u11+–u12+–u22u21–+i1u22+–ML1L2122'1'i2+––+–u21u11u12+9.1耦合现象判断方法：电流从同名端流入各自线圈，产生磁通增助，方向一致。

1i111'22'·*分析···i2

2假设电流同时由1和2流入，两电流的磁场方向一致相互增强，可以判断：1和2是一对同名端；同理，2'和1'也是一对同名端。判断下列线圈的同名端。分析线圈的同名端必须两两确定。2'3'1'1231和2'同时流入电流时，两电流磁场的方向一致，因此1和2'是同名端；2和3'同时流入电流时，它们的电流磁场方向一致，2和3'也是同名端；*Δ同理，3和1'也是一对同名端。Δ**当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。据此可以通过实验测定同名端。

假设1、2是同名端，则2'否则，1、是同名端。电压表正偏，说明u2的实际极性与参考极性相同。S

闭合瞬间，若电压表正偏，则假设正确。因此，当闭合开关S时，增加i，M*－US121'+VS正偏u1*u22'i+++－－－3.同名端的实验测定方法9-1写出图中各电路的电压、电流关系式。i1i2L1L2+_u1+_u2M(a)

i1i2L1+_u1+_u2M

L2(b)应用举例

例：L1L2+_u1+_u2Mi1i2(c)

L1L2+_u1+_u2Mi1i2(d)

21010iS/At/sMR1R2iSL1L2+_u+_u2

应用举例例：解：9-21.耦合电感属于多端器件，试找出其在实际中更多的应用例子。2.在同名端的测定电路中，当断开S时，如何判定同名端？

3.为了增大或减小互感的影响，可以采取哪些措施？

4.同名端的工程意义是什么？如何判断耦合线圈的同名端？

思考回答耦合电感的串联9.2含有耦合电感电路的计算1.顺接串联iM**u2+–R1R2L1L2u1+–u+–去耦等效电路iRLu+–iu2+–R1R2L1+ML2+Mu1+–u+–判断：顺向串联的两个互感线圈，等效电感量为它们的

电感量之和。（

）×耦合电感的串联9.2含有耦合电感电路的计算2.反接串联iM**u2+–R1R2L1L2u1+–u+–去耦等效电路iRLu+–iu2+–R1R2L1-ML2-Mu1+–u+–1.同侧并联(同名端连接在同一个节点上)耦合电感的并联**L1L2+–j

j

jM.U

=j

L1.I1+j

M.I2.U+j

L2.I2=j

M.I1

.I

=.I1+.I2.U.I1

=j

L1+j

M.I

-.I1()=j

(L1-M).I1+j

M

.I把(3)代入(1)得……(1)……(2)………………(3)把(3)代入(2)得.U

=j

M.I

-.I2().I2+j

L2=j

M.I+j

(L2-M).I2(L1+-M)–Mj

j

(L2-M)j

去耦等效电感2.异侧并联(同名端不连接在同一个节点上)**L1L2+–j

j

jM(L1++M)–M-j

j

(L2+M)j

.U

=-j

M+j

(L1+M).I1

.I.U=

-j

M

.I

+j

(L2+M).I2去耦等效电感1.两个互感线圈只有一端相联，另一端与其它电路元件相联时，为了简化电路的分析计算，可根据耦合关系找出其无互感等效电路，称去耦等效法。两线圈上电压分别为：L1L2i1u1M*i2a*u2bcd变换可得：L1－MMi1u1i2au2bcdL2－M图中等效电感量分别为L1-M，L2-M和M，由于连接成T型结构形式，因之称为互感线圈的T形去耦等效电路。耦合电感的T型等效如果两个互感线圈是一对异名端连在一起时，如图示。L1L2i1u1M*i2a*u2bcdL1+M-Mi1u1i2au2bcdL2+M两线圈上电压分别为：变换可得：耦合电感的T型等效图中等效电感量分别为L1-M，L2-M和M，由于连接成T型结构形式，因之称为互感线圈的T形去耦等效电路。使用条件：三端联接的两个耦合电感必须有一侧联在一起，或经电阻联在一起。另一侧可任意联接。L2L1M312**L2-ML1-MM312同正异负L2L1M312R1R2L2+ML1+M-M312R1R2同减异加去耦等效法(消耦法)对含有耦合电感电路的分析计算总结如下：1.在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍应用前面介绍的相量分析方法。2.注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。3.一般直接采用支路法和回路法计算，有时也可先去耦等效再利用相量法分析计算。应用举例

例：9-3图示的电路中，已知M=μL1，R1=1kΩ，R2=2kΩ，L1=2H，L2=1.5H，μ=0.5。

试用戴维宁定理求电阻R2中的电流及电源发出的复功率。MM+_R1+_L1L2++__R2R1+_L1L2++__思考与练习1．由于线圈本身的电流变化而在本线圈中引起的电磁感应称为自感。（）2．任意两个相邻较近的线圈总要存在着互感现象。（

）3．两个串联互感线圈的感应电压极性，取决于电流流向，与同名端无关。（

）✔××4．互感系数M与()无关。A．两线圈形状和结构B．两线圈几何位置

C．空间媒质

D．两线圈电压电流参考方向D5．耦合电感，则耦合系数k=()。(A)0.25

(B)0.5

(C)0.4

(D)0.8B什么是同名端？引入同名端的意义。答：两个具有耦合的电感线圈同时有电流流过时，如果产生的磁通相互增助，则两线圈的电流流入端（或电流流出端）即为一对同名端。

借助同名端可以确定互感电压的参考高低电位，从而求解含有耦合电感的电路。思考与练习1.去耦法是通过对耦合电感并联分析得出的，耦合电感串联时去耦法还适用吗？

2.通过耦合电感串、并联的分析，总结含耦合电感电路的分析方法。3.如果误把顺接串联的两互感线圈反接串联，会发生什么现象？为什么？

4.为什么要消去互感？消去互感的好处是什么？9.3

空心变压器变压器是利用互感来实现能量或信号传递的器件。

原边(一次侧，初级线圈)：与电源相接的线圈。空心变压器：当变压器线圈的心子为非铁磁材料时，称空心变压器。副边(二次侧，次级线圈)：与负载相接的线圈。空心变压器电路模型**

Z心子原边副边**j

L1j

L2+–R1R2Z=R+jXj

M一次回路阻抗Z11=R1+jL1二次回路阻抗Z22=(R2+R)+j(L2+X)空心变压器的组成**j

L1j

L2+–R1R2Z=R+jXj

M+–Z11一次等效电路一次输入阻抗：1.一次等效电路Z22=(R2+R)+j(L2+X)是二次回路阻抗二次感(容)性阻抗反映到一次为容(感)性阻抗。引入阻抗二次回路阻抗2.对于空心变压器，若原边回路总阻抗为Z11，副边回路总阻抗为Z22，互感阻抗为jωM。则副边对原边的引入阻抗Zl等于()。A．jωM+Z22B．C．jωM+Z11D．1.空心变压器副边如接感性负载，则反映到原边的引入电抗一定呈容性。()✔B一次和二次之间没有电的联系，但在互感的作用下，二次有一个互感电压，它将使二次产生电流。+–Z22二次等效电路2.二次等效电路二次互感电压二次回路阻抗**j

L1j

L2+–R1R2Z=R+jXj

M一次对二次的引入阻抗。二次开路时的互感电压。应用一次等效电路**j

L1j

L2j

M+–R1R2RL+–Z11一次等效电路应用举例例：

解法1：

L1=3.6H，

L2=0.06H，M=0.465H，R1=20Ω，R2=0.08Ω，RL=42Ω，ω=314rad/s，9-4。+–Z11一次等效电路应用二次等效电路+–Z22二次等效电路解法2：1.空心变压器主要应用于哪些场合？2.如何理解空心变压器电路模型中各元件的物理意义？检验学习结果3.空心变压器一次引入阻抗消耗的功率与二次阻抗消耗功率的关系是什么？4.空心变压器二次如接感性负载，则反映到一次的引入阻抗一定是容性阻抗。对吗？

9.4

理想变压器理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。2.全耦合1.无损耗理想变压器的三个理想化条件3.参数无限大R1=R2=0，忽略铁心损耗。i1i2**n:1+_u1+_u2

以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。注意i1i2**n:1+_u1+_u2i1i2**n:1+_u1+_u21.变换电压：u1和u2的参考“+”都在同名端时，电压与匝数成正比。否则前面加“-”。理想变压器的主要性能k=1(全耦合)F1=F2

=F11+F22

=Fu1=dtdY1=N1dtdFu2=dY2dt=N2dtdFi1i2**n:1+_u1+_u2若i1、i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：电流从异名端流入，关联参考方向下注意

i1i2**n:1+_u1+_u22.变换电流：i1和i2都从同名端流入(或流出)时：电流与匝数成反比。无损耗：3.变换阻抗注意

**n:1+_+_ZZeq=Zeqn2Z+–

理想变压器的阻抗变换是只改变阻抗的大小，Zeq是二次侧阻抗ZL折算到一次侧的等效阻抗。不改变阻抗的性质。(2)在任一瞬间，副边输出功率恒等于原边输入的功率。就是说它具有改变电压、电流和阻抗的作用，但并不改变功率。(1)理想变压器既不储能，也不耗能，不是动态元件，在电路中只起传递信号和能量的作用。4.功率性质表明i1i2**n:1+_u1+_u29-5已知电源内阻RS=1k

，负载电阻RL=10

。为使RL获得最大功率，求理想变压器的变比n。当

n2RL=RS

时匹配，即：10n2=1000

n2=100，n=10

。RLuSRS**n:1+_n2RL+–uSRS应用变阻抗性质：应用举例例：解：9-6列方程解得:+–1:1050

1**+_+_应用举例例：解法1：阻抗变换+–1+–解法2：戴维宁等效变换解法3：求Req：Req=1021=100戴维宁等效电路：+–1:101**+_+_Req1:101**+_10050+_+_2．理想变压器主要特性不包括（

）。

(A)变换电压

(B)变换电流

(C)变换功率

(D)变换阻抗1．理想变压器的三个理想化条件是：（

），全耦合，参数无限大。5．使200Ω负载电阻与50Ω的电源内阻相匹配的匝数比为()。(A)0.25(B)0.5(C)4(D)2

你对本节知识

掌握得如何？无损耗C4．若理想变压器次级绕组两端跨接的负载电阻为l.0kΩ，匝数比为2，则初级回路中

的反映负载为()。

(A)250Ω(B)2kΩ(C)4kΩ(D)1.0kΩCB3．理想变压器除了可以用来变换电压和电流，还可以用来变换（

）。阻抗思考回答1.理想变压器和全耦合变压器有何相同之处？有何区别？4.试述理想变压器和空心变压器的反映阻抗不同之处。

3.若理想变压器的匝数比为n，跨接于次级绕组两端的负载的反映阻抗是多少?2.理想变压器有哪些作用？

9.5应用案例

通过变压器可把电网电压变为所需的低电压，然后经过整流、滤波、稳压获得所需的稳恒的直流电压。图中整流器是将交流电转换为直流电的电子电路。变压器在该电路中的作用是将交流电耦合到整流器中。这里的变压器起两个作用：第一个作用是降低电压；第二个作用是在交流电源与整流器之间提供电气隔离，从而降低电子电路在工作时出现电击的危险性。电压变换电流互感器的原边绕组线径较粗，匝数很少，与被测电路负载串联；副边绕组线径较细，匝数很多，与电流表或功率表、电度表、继电器的电流线圈串联。通过电流互感器可把大电流变为小电流，方便测量。电流变换变压器的另一个作用是使负载电阻与电源内阻匹配以实现最大功率传输，这一技术称为阻抗匹配。实现最大功率传输的条件是负载电阻RL必须与电源内阻RS相匹配。但在大多数情况下，RL与RS是不匹配的，而且两者都是固定的，不能改变。例如，扬声器与音频功率放大器相连接时，扬声器的电阻只有几欧姆，而音频功率放大器的内部电阻却高达几千欧姆，就需要采用变压器，通过变阻抗实现阻抗匹配实现最大功率传输，从而使扬声器的功率最大。阻抗变换(1)端口电压与电流参考方向关联时，自感电压取正，否则取负。(2)施感电流的流入端与另一线圈的端口电压正极性端是同名端

时互感电压取正，否则取负。4.电压小结：看看记记一、耦合电感3.电流同时由两线圈上的同名端流入或流出时，两互感线圈的磁场相互增强。

1.2.耦合系数，k=1称全耦合。二、耦合电感的串并联L2-ML1-MM312同正异负L2L1M312同减异加2.去耦等效法（消耦法）12L2+ML1+M-M3L2L1M312**ML1L2顺接取“+”ML1L2反接取“-”**1.串联三、空心变压器电路模型

一次回路二次回路j

M**j

L1j

L2+–R1R2Z=R+jX+–Z11一次等效电路二次等效电路一次对二次的引入阻抗二次对一次的引入阻抗+–Z22一次电流在二次产生的互感电压。四、理想变压器的主要性能1.变换电压：u1和u2的参考“+”都在同名端时，电压与匝数成正比。

，否则前面加“-”。i1i2**n:1+_u1+_u2i1i2**n:1+_u1+_u22.变换电流：i1和i2都从同名端流入(或流出)时，否则变号。

，3.变换阻抗：4.功率性质：理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中

只起传递信号和能量的作用。**n:1+_+_ZZeqn2Z+–

理想变压器的阻抗变换性质是只改变阻抗的Zeq是二次侧阻抗ZL折算到一次侧的等效阻抗。大小，不改变阻抗的性质。1.图示电路中，假定1端和2端为耦合线圈的同名端，试说明

自感电压和互感电压的极性与同名瑞的关系。i1u21+–ML1L2u12+–122'1'1)端口电压与电流参考方向关联时，自感电压取正，否则取负。2)施感电流的流入端与另一线圈的端口电压正极性端是同名端

时互感电压取正，否则取负。能力检测题开关S打开时为顺接串联，电流为=500º3+5+j(7.5+12.5+2×6)=1.52A–76º解：+_

2.图示电路中，已知R1=3Ω，R2=5Ω，ωLl=7.5Ω，ωL2=12.5Ω，

ωM=6Ω，U=50V，求当开关打开和闭合时的电流。？方法一：用等效电路消去互感代入参数得：S闭合时：等效电路++__S闭合时：方法二:列回路电流方程SR1R2j

L1j

L2j

MUII1I2(R1+j

L1)+j

M=II1U(R2+j

L2)+j

M=0I1I=I(R1+j

L1)–R2+j

L2(j

M)2U=7.79A51.50º其他同方法一。3.已知US=20V，原边引入阻抗Zl=(10–j10)

，求ZX并求负载获得的有功功率。j2**+–10j10j10ZX解：负载获得功率：结论：实际是最佳匹配：=10–j10+–10+j10

Zl=10–j10

4.下图所示电路，已知，，，，，，二端网络的戴维宁等效电路。，求此有源+_+_**

M23M12L1L3L2L1–M12+M23L3+M12–M23L2-M12–M23

+_+_解：5.下图电路中R=50Ω，L1=70mH，

L2=25mH，M=25mH，C=1μF，正弦电压源的电压U=500V，ω=104rad/s。求各支路电流。+_R解：+_

ML1L2R

Cuii1i2+_R6.下图所示空心变压器电路，已知，，，，，求当负载，试为何值时，吸收的功率最大。解：j

M**j

L1j

L2+–R1RL应用一次等效电路，一次等效电路10+–R17.下图所示电路中，正弦电压源，其角频率，问互感系数M为何值时，整个电路处于为何值。谐振状态，谐振时+_

M

11H1H0.5F解：谐振状态：8.下图是含理想变压器的电路，已知，，，试求初、次级电流。2:1++–R1R2解：9.图示电路中负载电阻RL吸收的最大功率等于多少？

解：5:136VΩ-+i1i2+–3+–6Vi1本章结束希望同学们对本章内容予以重视，多做习题才能真正掌握其方法。教学课件电

路

分

析

基

础第10章非正弦周期电流电路目录CATALOG滤波器

10.1非正弦周期信号

10.2非正弦周期函数分解为傅里叶级数10.3有效值、平均值和平均功率10.4非正弦周期电流电路的计算10.5应用案例频谱分析仪

(

，★)

(

，★)知

识

图

谱非正弦周期电流电路滤波器

10.5应用案例频谱分析仪

系数求取(

，★)10.1非正弦周期信号：谐波分析法

10.2非正弦周期函数分解为傅里叶级数10.3有效值、平均值和平均功率10.4非正弦周期电流电路的计算对称函数的系数特点频谱图有效值：平均值：平均功率：计算：滤波(无源)(

，★)幅值频谱相位频谱10.1非正弦周期信号

在自然界中，信号的形式多种多样，除了我们前面介绍的直流和正弦信号之外，还有大量的非正弦信号。工程实际中经常遇到的按非正弦规律变化的电源和信号源。0tuT0tuT2T0tuT2Tu0tT

非正弦周期交流信号的特点(1)不是正弦波(2)按周期规律变化

f(t)=f(t+nT)10.1非正弦周期信号10.1.1产生非正弦周期电压和电流的原因1.激励(电源或信号源)本身是非正弦信号0tuT函数信号发生器中的方波电压

0tuT2T电子示波器扫描电压的锯齿波

非正弦电压或电流

线性电路非正弦信号2.电路中含有非线性元件（如二极管半波整流电路）uR0tT输出半波整流R+-+-uSuRD

非线性电路正弦激励

非正弦电压或电流

t0uS输入正弦波因为二极管具有：正偏导通、反偏阻断的单向导电性3.电路中有不同频率的电源共同作用

交直流共存电路

放大电路内部各电流、电压都是交直流共存的非正弦交流电。ui交流信号源IB基极载波ib信号电流iB晶体管输入电流iC晶体管输出电流uCE晶体管输出电压直流电源

非正弦周期信号

随时间按非正弦规律变化的周期性电压和电流。定义例如tu(t)0

上图所示周期性方波电压，是一个典型的非正弦周期信号波，它实际上可以看作是一系列大小不同的、频率成整数倍的正弦波的合成波。u(t)t0u1u3U1m

以一个周期的情况为例进行分析

u3频率是方波频率的3倍，称为方波的3次谐波。

u1与方波同频率，称为方波的1次谐波或者基波。u1和u3的合成波，显然，与u1、u3相比，合成波较接近方波。U1m13tu(t)0u135u5u13U1m15u5频率是方波频率的5倍，称为方波的5次谐波。u13和u5的合成波，与u13相比，显然更接近方波。

由上述分析可得，如果再叠加上一个7次谐波、9次谐波……直到叠加无穷多个，其最后结果肯定与周期性方波电压的波形相重合。结论：一系列振幅不同，频率成整数倍的正弦波，叠加以后可构成

一个非正弦周期信号。

即：一系列振幅不同，频率成整数倍的正弦波，叠加以后

可构成一个非正弦周期波。

方波中的u1、u3、u5等，这些振幅不同、频率分别是非正弦周期波频率k次倍的正弦波统称为非正弦周期波的谐波，并按照频率是非正弦周期波频率的倍数分别称为1次谐波(基波)、3次谐波、5次谐波……。非正弦周期信号谐波的相关概念

谐波与基波的倍数用k表示，k为奇数的谐波称为非正弦周期函数的奇次谐波；k为偶数时则称为非正弦周期波的偶次谐波。而把2次及2次以上的谐波统称为高次谐波。IS0tT/2TImiSIS0IS0三次谐波直流分量+基波+三次谐波一系列振幅不同，频率成整数倍的正弦波，叠加以后可构成一个非正弦周期信号。本章的讨论对象及处理问题的思路：非正弦周期变化的电源线性电路谐波分析法的步骤图示(分析用相量法，叠加在时域内)

RLC+_RLC+_+_+_RL短

C开+_+_+_叠加定理非正弦周期u、i

(稳态响应)10.1.2谐波分析法

----非正弦周期电流电路的分析方法首先，应用傅里叶级数展开的数学方法，将非正弦周期激励电压、电流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之和；然后，根据叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下在电路中产生的不同频率正弦电流分量和电压分量；最后，把所得分量按时域形式叠加。得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。

这种方法称为谐波分析法。实质上是把非正弦周期电流电路的计算化为直流电路一系列正弦电流电路的计算。思考与练习1．下列4个表达式中，是非正弦周期性电流的为（

）。(B)(C)(D)(A)2．非正弦周期量作用的线性电路中具有叠加性。（

）4．只有电路中激励是非正弦周期信号时，电路中的响应才是非正弦的。（

）5．对已知波形的非正弦周期量，正确写出其傅里叶级数展开式的过程称谐波分析。（

）3．一系列振幅不同，频率成整数倍的正弦波叠加后可构成一个非正弦周期波。（

）6．高于三次谐波的正弦波才能称之为高次谐波。（

）B✖✔✔✔✖思考与练习1.什么叫非正弦周期波，你能举出几个实际中的非正弦周期波的例子吗？

2.电路中产生非正弦周期波的原因是什么？试举例说明。

3.有人说：“只要电源是正弦的，电路中各部分的响应也一定是正弦波”，这种说法对吗？为什么？4.试述谐波分析法的应用范围和应用步骤。

10.2非正弦周期函数分解为傅里叶级数10.2非正弦周期函数分解为傅里叶级数f(t)=f(t+kT)(k=1,2,3,…)

设f(t)为非正弦周期函数，如果满足狄里赫利条件，就可展开为傅立叶级数。极值点的数目为有限个间断点的数目为有限个在一个周期内绝对可积f(t)满足10.2.1非正弦周期函数的傅里叶级数

注意

实际应用中除了直流电和正弦交流电，遇到的激励大多为非正弦周期信号，它们通常都能满足狄里赫利条件。可展开成收敛的傅里叶级数。

任何一个非正弦周期函数表示为傅里叶级数时，理论上都需由无限多项才能逼近原来的波形，但实际工程计算中，一般采用有限项数来近似代替无限多项。所取项数的多少与要求的准确程度有关，即取决于非正弦周期波所含有的谐波成份。+…..10.2非正弦周期函数分解为傅里叶级数傅里叶级数是一个无穷三角级数。展开式中:1)A0—常量，与频率无关（直流分量、零频分量）；2)Akmcos(kω1t+ψk

)

—正弦量，为k次谐波（谐波分量）；A1mcos(ω1t+ψ1

)

一次谐波（或基波分量）3)谐波分类：A0

直流分量A3mcos(3ω1t+ψ3

)

三次谐波Akmcos(kω1t+ψk

)

k次谐波…

……A2mcos(2ω1t+ψ2

)

二次谐波k≥2高次谐波奇次谐波偶次谐波非正弦周期函数的傅里叶级数基波(和原函数同频)二次谐波(2倍频)直流分量k≥2高次谐波+…..周期函数f(t)=f(t+kT)T为周期函数f(t)的周期，k=0，1，2，……满足狄里赫利条件，10.2非正弦周期函数分解为傅里叶级数分解为傅立叶级数，目的是：把复杂周期信号(非正弦信号)视作不同频率简单周期信号(正弦信号)的叠加。系数之间的关系为：f(t)=A0+

Akmcos(k1t+Ψk)--傅里叶级数也可表示成：

k=1求出a0、ak、bk便可得到原函数f(t)

的展开式。系数的计算：利用函数的对称性可使系数的确定简化。注意利用函数的对称性可使系数的确定简化。注意1.函数f(t)的波形在横轴上下部分包围的面积相等，a0=0。T0tf(t)2T

-T/2t

T/2

0

Tf(t)利用函数的对称性可使系数的确定简化。注意f(t)

-T/2t

T/2

0

-T/2t

T/2f(t)

0

如果非正弦周期信号的波形对称于纵轴，其傅里叶级数中只含有余弦项和直流分量，而没有正弦项。如果信号的波形对称于原点，傅里叶级数中不含有直流分量和余弦项，它仅由正弦项所组成。

a0=0，ak=0，bk≠0

3.偶函数，2.奇函数，a0≠0，ak≠0，bk=0

a0=0，ak=0，bk≠0

tf(t)T/2T0

镜像对称，只含有奇次谐波分量，而不含有直流分量和偶次谐波分量。24.奇谐波函数0

2==+-=kbaTtftf)()(，a0-k2=0将f(t)波形移动半个周期后，与原波形对称于横轴。只需计算a2k+1，b2k+1

25.偶谐波函数

+=Ttftf)()(-两个相差半个周期的函数值大小相等，符号相同。偶谐波函数的傅里叶级数中只含直流分量和各偶次谐波分量，而不含有奇次谐波分量。故称偶谐波函数。只需计算a0，a2k，b2k。

tf(t)T/2T0a2k+1，b2k+1

=0=0由于只要求得各谐波分量的振幅和初相，就可确定一个函数的傅里叶级数。在电路中为了直观地表示，常用频谱图表示。频谱——描述各谐波分量振幅和相位随频率变化的图形称为频谱图或频谱。10.2非正弦周期函数分解为傅里叶级数Akm0k

1

1.振幅频谱的图形Akm～k

1

把振幅频谱的顶端用

虚线连接起来，可得

到振幅频谱的包络线。非正弦周期函数的频谱由于只要求得各谐波分量的振幅和初相，就可确定一个函数的傅里叶级数。在电路中为了直观地表示，常用频谱图表示。频谱——描述各谐波分量振幅和相位随频率变化的图形称为频谱图或频谱。1.幅度频谱：f(t)展开式中Akm与(=k1)的关系。反映了各频率成份

的振幅所占的“比重”。因k是正整数，故频谱图是离散的，也称

线频谱。

10.2非正弦周期函数分解为傅里叶级数0的图形k12.相位频谱：以角频率为横坐标,Ψk为纵坐画出的图形(Ψk~的图形)

Akm0k

1

1

2

1

3

1

4

1

k

1

0

2

2谱线Ψk

2.相位频谱的图形k

1Ψk～1.幅度频谱的图形Akm～k

1

1

2

1

3

1

4

1

k

1

0

2

2谱线Ψk

2.相位频谱的图形k

1Ψk～如果把各次谐波的初相用相应线段依次排列还可得到相位频谱。

频谱图中各次谐波的角频率均为非正弦周期波角频率的整数倍，所以频谱是离散的，因此又称为线频谱。

从实际工程计算上讲，只能取傅里叶级数无穷项中的有限项，因此就会有误差问题。如果级数收敛很快，只取级数的前几项就可以了，5次以上谐波可以略去。这种误差在工程应用中是允许的。应用举例例：解：10-1设锯齿波i(t)的波形如图(a)所示，试画出其振幅频谱。其中傅里叶级数为

i0tI-IT/2-T/2T

今后若无说明，均指振幅频谱。i(t)=

2Icos(

1t-90o)+21cos(2

1t+90o)+31cos(3

1t-90o)+41cos(4

1t+90o)+

由于傅里叶级数是收敛的，一般谐波次数越高，振幅越小。0wIkmw12w13w14w15w12I/pI/p2I/3pI/2p检验学习结果1．如果非正弦周期信号的波形对称于原点，其傅里叶级数中不含有（

）

分量和（

）项，仅由（

）项所组成。

2．如果非正弦周期信号的波形移动半个周期后，便与原波形对称于横轴（即镜像

对称），其傅里叶级数中只含有（

）谐波分量，而不含有（

）

分量和（

）谐波分量。3．如果非正弦周期信号的波形对称于纵轴，其傅里叶级数中只含有余弦项和直流

分量，而没有正弦项。（

）直流余弦正弦奇次偶次直流✔4．对已知波形的非正弦周期量，正确写出其傅里叶级数展开式的过程称谐波分析。

（

）5．高于三次谐波的正弦波才能称之为高次谐波。（

）✔✖1.非正弦周期信号的谐波表达式是什么形式？其中每一项的意义是什么？2.举例说明什么是奇次谐波和偶次谐波？波形具有偶半波对称时是否一定有直流成分？3.能否定性地说出具有奇次对称性的波形中都含有哪些谐波成分？4.稳恒直流电和正弦交流电有谐波吗？什么样的波形才具有谐波？试说明。检验学习结果10.3有效值、平均值和平均功率若有效值:一个周期内平方的积分的平均值开平方。非正弦周期函数的有效值结论：为直流分量及各次谐波分量有效值的平方和的平方根。10-2

已知周期电流i=1+0.707cos(ωt-200)+0.42cos(2ωt+500)A，试求其有效值。

例：解：应用举例10.3有效值、平均值和平均功率非正弦周期函数的平均值

以电流i

为例，其定义如下：即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的积分的平均值。正弦电流的平均值为

它相当于正弦电流经过全波整流后的平均值，这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。

用波形因子Kf

来反映波形的性质，为有效值与平均值的比值。即例：解：应用举例10-3

计算正弦电压i(t)=Imcosωt的平均值，并求正弦电压的有效值与平均值之比。波形因子

设i(t)=Imcosωt平均值为测量仪表的使用

对非正弦周期电流电路的测量，使用不同的测量仪表将得出不同的结果。

磁电式仪表

(直流仪表)

直流分量

电磁式仪表

有效值

全波整流仪表

平均值非正弦周期电流与电压的测量10.3有效值、平均值和平均功率非正弦周期函数的平均功率利用三角函数的正交性，得：平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率平均功率只取决于电阻，与电容和电感无关，又有若u=u1+u2,i=I0+i1+i32.

若已知电路参数，平均功率还可用以下公式计算：式中，I为非正弦周期电流的有效值。只有同频率的电压谐波和电流谐波才能构成平均功率。

不同频率的电压和电流不能构成平均功率，只能构成瞬时功率。

注意非正弦周期函数的视在功率(3)平均功率：应用举例(1)的有效值：(2)的有效值：

10-4电路如图所示，施加于二端网络N的电压、电流分别为：求(1)的有效值；(3)平均功率。(2)的有效值；，例：解：+-Nab应用举例例：解：

10-5已知某无独立电源的一端口网络的端口电压、电流分别为：试求：(1)电压、电流的有效值；(2)网络消耗的平均功率和网络的功率因数。(1)(2)2.何谓非正弦周期函数的平均值？如何计算？

3.非正弦周期函数的平均功率如何计算？不同频率的谐波电压和电流能否构成平均功率？4.非正弦波的“峰值越大，有效值也越大”的说法对吗？试举例说明。1.非正弦周期量的有效值和正弦周期量的有效值在概念上是否相同？其有效值与它的最大值之间是否也存在的数量关系？思考回答10.4非正弦周期电流电路的计算谐波分析法非正弦周期信号谐波分析法=直流分析+相量法+时域叠加线性定常电路诸次谐波之和(直流分量)分解叠加定理可用直流分量单独作用直流分析法可用各次谐波分别单独作用的稳态解相量法时域叠加可用新问题用老方法10.4非正弦周期电流电路的计算谐波分析法步骤谐波分析法的步骤图示(分析用相量法，在时域内叠加)。RLC+_RLC+_+_+_RL短

C开+_+_+_叠加定理10.4非正弦周期电流电路的计算谐波分析法步骤

对于线性电路，可用叠加定理，即求出直流及各次谐波分量单独作用时的值，然后再叠加。一般步骤：1.将非正弦激励源分解成傅里叶级数(给定或查表)。2.分别计算激励的直流分量和各次谐波分量单独作用时的响应。画各分电路图注意点：

1)直流分量激励下，C开路，L短路；

2)各次谐波分量激励下，电抗值不同3.各分量产生的分响应的时域形式（瞬时值）叠加求和。IC010V+-I02W2WIL0(b)

(1)

10V分量作用。电路如图(b)所示：IC0=0，I0=IL0=5A(2)100cost

V分量作用，

电路如图(c)所示：iC(t)LRu(t)iL(t)+-i(t)(a)RC+-(c)2W2Wj2W-j2W应用举例解：

10-6

电路如图(a)所示，已知。求：，。例：(3)分量作用，电路如图(d)所示：(4)在时间域进行叠加：+-2W2Wj6W(d)+-(c)2W2Wj2W-j2W+-IL0(b)(1)单独作用：1)

2V分量作用,电路如图(b)所示：2)V分量作用,电路如图(c)

所示：解：例：

10-7电路如图(a)所示，已知，，求：。+-(a)iL(t)iS(t)uS(t)(c)j5S+-j5Ω应用举例(2)单独作用，电路如图(d)所示：(3)和共同作用：(d)j4S(d)+-(a)iL(t)iS(t)uS(t)(1)应用举例解：例：10-8电路如图所示，已知ω=1000rad/s，C=1μF，R=1Ω，在稳态时，uR中不含基波，而二次谐波与电源二次谐波电压相同，求：(1)uS的有效值；(2)电感L1和L2；(3)电源发出的平均功率。其中。(2)并联谐振相当于开路。-+uS+uR-

若使uR中二次谐波与电源二次谐波电压相同，则L1、C

、

L2电路发生串联谐振，即串联谐振相当于短路：(3)-+uS+uR-小结

当激励函数中的直流分量单独作用时，电容相当于开路，电感相当于短路。判断电路是否发生谐振(3)激励函数中各次谐波分别作用时求得的频域响应，必须变成时域响应才能

进行叠加。也就是说，只能用各次谐波的时域函数(瞬时值)进行加减，不同

频率正弦量不能用相量相加。(2)当激励函数中的各谐波分量分别作用时，由于感抗与谐波次数成正比即有

(

)，容抗与谐波次数成反比(

)，因而电路对不同频率

的谐波所呈现的阻抗(或导纳)也必然不同。2.对非正弦周期信号作用下的线性电路应如何计算？计算方法根据什么原理？3.若已知基波作用下的阻抗Z=30+j20Ω，求在三次和五次谐波作用下负载的复阻抗又为多少？4.为什么对各次谐波分量的电压、电流计算可以用相量法？而结果不能用各次谐波响应分量的相量叠加？1.线性R、L、C组成的电路，对不同频率的阻抗分量阻抗值是否相同？变化规律是什么？检验学习结果10.5应用案例10-9若输入信号为非正弦周期信号，试分析电路的输出u0与输入ui相比有何变化？解：例：电感通低频，阻高频：电容通高频，阻低频：滤波电路LLC输入输出++--(a)低通滤波器u0uiCCL输入输出++--u0ui(b)高通滤波器

感抗和容抗对各次谐波的反应不同，这种性质在工程上有广泛的应用。通常

可以利用电感和电容组成不同的电路，接在输入和输出之间，可让某些所需

频率分量顺利通过而抑制某些不需要的分量，这种电路称为滤波器。滤波器是一种有用频率信号顺利通过而同时抑制(或大大衰减)无用频率信号的电子装置。工程上常用来进行信号处理、数据传递和抑制干扰。低通滤波器：使低频电流分量顺利通过，抑制高频电流分量。高通滤波器：使高频电流分量顺利通过，抑制低频电流分量。

是研究电信号频谱结构的仪器，是从事电子产品研发、生产、检验的常用工具，它以图形方式显示信号幅度按频率的分布，它的显示窗口的横坐标表示频率，纵坐标表示信号幅度，可以全景显示，也可以选定带宽测试。其应用十分广泛，用于信号失真度、调制度、频率稳定度和交调失真等信号参数的测量，是一种多用途的电子测量仪器，是对无线电信号进行测量的必备手段。频谱分析仪一、非正弦周期信号：随时间按非正弦规律变化的周期性电压和电流。小结：看看记记产生原因：1.激励(电源或信号源)本身是非正弦信号✔2.电路中含有非线性元件3.电路中有不同频率的电源共同作用非正弦周期电流电路：线性电路在非正弦周期激励下的稳态响应。

2.偶函数：

1.奇函数：f(t)

-T/2t

T/2

0

-T/2t

T/2f(t)

0a0=0二、非正弦周期函数分解为傅里叶级数tf(t)T/2T0tf(t)T/2T023.奇谐波函数：0

2==+-=kbaTtftf)()(，-k2镜像对称，只含有奇次谐波分量。24.偶谐波函数：

+=Ttftf)()(-镜像对称，只含有直流分量和偶次谐波分量。

5.频谱：描述各谐波分量振幅和相位随频率变化的图形称为频谱图或频谱。振幅频谱Akm～k

10k

1Ikmw12w13w14w15w12I/pI/p2I/3pI/2p二、有效值、平均值和平均功率磁电系仪表：恒定分量(直流分量)电磁系仪表：

有效值全波整流仪表：平均值2.平均值：1.有效值：3.平均功率：三、非正弦周期电流电路的计算1.求所给定的非正弦激励源的傅里叶级数(查表)，根据准确度要求

取若干项。2.分别求出激励的直流分量和各次谐波分量单独作用时的响应。画各分电路图注意点：

1)直流分量激励下，C开路，L短路；2)各次谐波分量激励下，电抗值不同。3.将直流分量和各次谐波分量的瞬时响应叠加求和。能力检测题1．已知某非正弦周期信号在四分之一周期内的波形为一锯齿波，且在横轴上方，幅值等于1V。如图所示，试根据下列情况分别绘出一个周期的波形。u(t)/Vt0T/41(1)u(t)为偶函数，且具有偶半波对称性；(2)u(t)为奇函数，且具有奇半波对称性；(3)u(t)为偶函数，无半波对称性；(4)u(t)为奇函数，无半波对称性；(5)u(t)为偶函数，只含有偶次谐波；(6)u(t)为奇函数，只含有奇次谐波；u(t)/Vt0T/4(1)1u(t)/Vt0T/4(2)1u(t)/Vt0T/41(4)u(t)/Vt0T/41(3)u(t)/Vt01(5)u(t)/Vt0T/41(6)(1)电压的有效值解：2．一个RLC串联电路，其

(2)电路中的电流(3)电路消耗的功率。；，外加电压为。试求：(1)电压的有效值；(2)直流U0=11V作用时,L短路,C开路,I0=0,P0=0。基波作用时,Ri(t)u(t)L+-C二次谐波作用时：Ri(t)u(t)L+-C3．有效值为100V的正弦电压加在电感L两端时得电流I=10A，当电压中有3次谐波分量，而有效值仍为100V时，得电流I=8A，试求这一电压的基波和3次谐波电压的有效值。解：

(1)由于基波的电压和电流同相位，RLC电路在基波

频率下发生串联谐振，有：4．己知一个RLC串联电路的端口电压和电流为：试求：(1)R、L、C的值；(2)的值；(3)电路消耗的P。解：Ri(t)u(t)L+-C(2)三次谐波时，Z3的阻抗角为：(3)电路消耗的P为：？Ri(t)u(t)L+-C5．下图所示电路中，已知：电压u=100cos(t

45

)+50cos(2t)+25cos(3t+45)V，i=80cos(t)+20cos(2t)+10cos(3t)mA。(1)求一端口网络N的电压u和电流i的有效值。(2)求一端口网络N消耗的平均功率。(3)求各频率时N的输入阻抗。

N+ui-解：(1)iS(t)单独作用时，电路如右上图所示：解：

+-i1(t)iS(t)i2(t)I1iS(t)I26．图示电路中，已知(2)求电路消耗的平均功率。(1)求电流及其有效值；，iS(t)=5mAuS(t)=10

cos(104t+30

)V。

LC发生串联谐振，相当于短路i2(t)=2.5+5cos(104t+30°)mA+-

j

L单独作用时，电路如下所示：(2)uS(t)(3)由叠加定理得i1(t)=-2.5mA基波电流无法到达负载，要求4ω1的谐波电流全部传送至负载，电路发生串联谐振。解：7．图示为滤波器电路，要求4ω1的谐波电流全部传送至负载，而使基波，试求和电流无法到达负载。如ω1=1000r